初三奥数题
***初三奥数题,已知3a^2-10ab+8b^2+5a-10b=0,求……
已知实数a 、b 满足3a^2-10ab+8b^2+5a-10b=0,求u=9a^2+72b+2的最小值
答案:
分解因式(a-2b)(3a-4b)+5a-10b=0
即(a-2b)(3a-4b+5)=0
从而a=2b或4b=3a+5带入u 就可做了。
a=2b的u=-34
4b=3a+5的u=11
即u 最小为-34
***从1,2,3,4……2010这2010个正整数中,最多有多少个数,可以在这些数中任选三个数的乘积都能被33整除?
答案:33的倍数共有60个
所以{3,11,33,66,99……1980, 任意一个数}
所以最多63个数 ***(1)五位数 abcde 满足下列条件 它的各位数都不为0
(2)它是 一个完全平方数
(3)它的万位上的数字a 和 bc de 都是完全平方数 求 所有满足上诉条件的5位数
***怎样的四个点可以共圆,初三奥数题
APB=∠BQR=90°,∴BQRP 四点共圆,这是为什么??这题奥数题的答案说。∠
这是因数四边形BQRP 的两个对角BRP 和PBQ 的和是90°
依据是对角互补的四边形是圆内接四边形!
***如图,圆O 中,AB,AC 为切线分别切圆与D,E 且BC 过O 点,F 为弧
DE 上一点,过F
OCN 作圆O 的切线交AB,AC 于M,N 。求证,△MBO ∽
△OCN 就意味着∠B=∠C ,但是题目只说BC 过O ) 答案:少一个条件:AB=AC(△MBO ∽
1) 显然∠DOB=90°-∠B ,∠EOC=90°-∠C ,于是∠DOE=180°-(∠DOB+∠EOC)=∠B+∠C=2∠B
2) 显然∠DOM=∠FOM ,∠EON=∠FON ,于是∠DOE=∠DOM+∠FOM+∠EON+∠FON=2(∠FOM+∠FON)=2∠MON
3) 比较1) 、2) 的结论可知∠MON=∠B=∠C
△4) 根据3) 的结论,以及∠BMO=∠OMN 可知△MBO ∽MON
△5) 根据3) 的结论,以及∠CNO=∠ONM 可知△OCN ∽MON
△6) 由4) 、5) 的结论可知△MBO ∽OCN
证毕
***绝对值用 y=++……+()表示。(x-1)(x-2)(x-2003)取最小值是,实数x 的值为??? 答案:显然当x=1002时y 最小。证明如下:
解:y=[(x-1)+(x-2003)]+[(x-2)+(x-2002)]+...+[(x-1001)+(x-1003)]+(x-1002)
显然,当x=(1,2003)时[此时的()表示区间],[(x-1)+(x-2003)]取最小值;
当x=(2,2002)时,[(x-2)+(x-2002)]取最小值;...
... ...
当x=(1001,1003)时,[(x-1001)+(x-1003)]取最小值;
当x=1002时,(x-1002)取最小值。
所以当y 取最小值时,x 满足x 属于(1,2003)且x 属于(2,2002)... 且x 属于(1001,1003),且x=1002.
所以此时x=1002
***a<0,b ≤0,c >0,且√b2-4ac=b-2ac,求b2-4ac 的最小值。要过程!!!!!!!
解:∵√b ²-4ac=b-2ac
∴-4ac=(b-2ac)² 两边平方得:b ²
∴4a ²c ²+4abc-4ac=0
∵4ac ≠0 ∴ac+b-1=0 ∴ac=1-b
∴b ²-4ac=b²-4(1-b)=b²+4b-4=(b+2)²-8
∴-4ac 的最小值为-8 当b=-2时,b ²
***已知a 为实数,且使关于x 的二次方程x2+a2x+a=0有实根,则该方程的根x 所能取到的最大值是
要过程!!!!!!!!!!!!!!!!!!详细点儿!!!
解:x^2+a2x+a=0
(x+a)^2-a^2+a=0
a^2+a=0 a=0 或a=-2
x+a=0 x=-a x=2
不晓得作对没,错了给我说下,有正确的也给我说下 ***a<0,b≤0,c >0,且√b2-4ac=b-2ac,求b2-4ac 的最小值。要过程!!!!!!!
√b ²-4ac=b-2ac 解:∵
∴-4ac=(b-2ac)² 两边平方得:b ²
∴4a ²c ²+4abc-4ac=0
∵4ac ≠0 ∴ac+b-1=0 ∴ac=1-b
∴b ²-4ac=b²-4(1-b)=b²+4b-4=(b+2)²-8
∴-4ac 的最小值为-8 当b=-2时,b ²
***绝对值用 y=++……+()表示。(x-1)(x-2)(x-2003)取最小值是,实数x 的值为??? 解:显然当x=1002时y 最小。证明如下:
解:y=[(x-1)+(x-2003)]+[(x-2)+(x-2002)]+...+[(x-1001)+(x-1003)]+(x-1002)
显然,当x=(1,2003)时[此时的()表示区间],[(x-1)+(x-2003)]取最小值;
当x=(2,2002)时,[(x-2)+(x-2002)]取最小值;...
... ...
当x=(1001,1003)时,[(x-1001)+(x-1003)]取最小值;
当x=1002时,(x-1002)取最小值。
所以当y 取最小值时,x 满足x 属于(1,2003)且x 属于(2,2002)... 且x 属于(1001,1003),且x=1002.
所以此时x=1002
***已知a 为实数,且使关于x 的二次方程x2+a2x+a=0有实根,则该方程的根x 所能取到的最大值是
要过程!!!!!!!!!!!!!!!!!!详细点儿!!!
解x^2+a2x+a=0
(x+a)^2-a^2+a=0
a^2+a=0 a=0 或a=-2
x+a=0 x=-a x=2
不晓得作对没,错了给我说下,有正确的也给我说下
***a <0,b ≤0,c >0,且√b2-4ac=b-2ac,求b2-4ac 的最小值。要过程!!!!!!!
√b ² 解:∵-4ac=b-2ac
∴-4ac=(b-2ac)² 两边平方得:b ²
∴4a ²c ²+4abc-4ac=0
∵4ac ≠0 ∴ac+b-1=0 ∴ac=1-b
∴b ²-4ac=b²-4(1-b)=b²+4b-4=(b+2)²-8
∴-4ac 的最小值为-8 当b=-2时,b ²
***锐角三角形ABC 的三边是a ,b ,c ,它的外心到二边的距离分别为m ,n ,p ,那么m:n:p等于A 1/a:1/b:1/c B.a:b:c C. cos A:cos B:cos C D.sinA: sinB: sinC
选择什么?为什么?
解:选择C
m=r*cosA,
n=r*cosB
P=r*cosC
***1讨论 求二次函数y=x^+mx+m(-3
答案: 看图像,易知二次函数开口向上。可根据对称轴的位置分三类讨论: (1)对称轴在x=-3与x=-1之间,即-3-1,即m6。同样根据图像知最小值在x=-3时取到,y(min)=9-2m
2. 抛物线y=x^+px+q有一点M (Xo ,Yo) 位于x 轴下方
(1)求证:已知抛物线必与x 轴有两个交点 A (X1,0) B(X2,0)
其中X1
(2)求证:X1
(3)当点M 为(1,-1999)时 求整数X1,X2
答案:2. (1)配方:y=(x+p/2)^2+q-(p^2)/4.将M(Xo,Yo)代入得Yo=(Xo+p/2)^2+q-(p^2)/44q,由判别式知x^+px+q=0有两根 (2)设y=(x-x1)(x-x2),将xo 代入,则yo=(xo-x1)(xo-x2)0且(xo-x2)0,因为x1
***已知y=x^-绝对值(x)-12的图像与x 轴两点A 、B 另一抛物线y=ax^+bx+c过点A 、B 顶点为P APB是等腰直角三角形 求a 、b 、c
-|x|-12=0 解得|x|1=4,|x|2=-3(舍去) 答案:当y=0时 |x|²
所以该函数与x 轴的交点为A(-4,0)和B(4,0)
AB 与点C, 因为P 是顶点 他在对称轴上 所以PC 垂直平分AB, 满足APB 是过P 点作PC ⊥
等腰三角形,要满足他是直角三角形 则PC=二分之一AB=4(三角形一边上的中线等于这条边的一半是直角三角形) P 在对称轴上则P(0,4)或P(0,-4)
+4,将B 点代入得16a+4=0,a=-0.25 若P(0,4)则该抛物线解析式为y=ax²
所以a=-0.25,b=0,c=4
-4,将B 点代入得16a-4=0,a=0.25 若P(0,-4)则该抛物线解析式为y=ax²
所以a=0.25,b=0,c=-4
***已知a+b+c=2,abc=4.
求(1.) a,b,c中最大数的最小值。
(2.)(a 的绝对值+b的绝对值+c的绝对值) 的最小值
我需要详细的过程,谢谢
答案:不妨设a 最大,
(1)由题意b+c=2-a,bc=4/a,故b,c 是方程x^2-(2-a)x+4/a=0的两根
则△=(a-2)^2-4*4/a≥0
因a 最大, 必有a>0,去分母得a^3-4a^2+4a-16≥0,(a-4)(a^2+4)≥0
所以a ≥4, 即a,b,c, 中最大者的最小值为4
(2)显然b,c 均为负,|a|+|b|+|c|=a-b-c=2a-2,
当且仅当a 取最小值4时,|a|+|b|+|c|最小, 最小值为6
:
***已知 4(x 的平方)-2(根号2)mx+m=0 关于X 的两根是直角三角形两锐角的正弦 求M 的值 并求两锐角已知:2-5sinA*cosA+4=3 A为锐角 求(sinA 的平方)(cosA 的平方)
tanA 的值 要详细过程
x1^2+x^2=(x1+x2)^2-2x1x2=1 x1+x2=(根号答案:由题意,得
2)m/2,x1x2=m/4 m^2/2-m/2=1,m^2-m-2=0,
m=-1或2 当m-1时,两根之和小于0,不满足
/2 所以两锐角都是45度。 2-5sinA*cosA+4所以m=2,方程的解是x=(根号2)(sinA 的平方)
(cosA 的平方) =(2(sinA 的平方)-5sinA*cosA+4(cosA 的平方))/(sinA 的平方+cosA的平方) =(2(tanA 的平方)-5tanA+4)/(tanA的平方+1)=3 所以2(tanA 的平方)-5tanA+4=3tanA的平方+3 tanA的平方+5tanA-1=0 因为A 为锐角 所以tanA 的值是(根号29-5)/
***如图 ABC 在l 上 且AB=2BC 点M 在l 外 角AMB=90度 角BMC=45度 求sinMBA 的值(图在下面)
=(MA²*BC+MC²*AB)答案设:BC=x,则AB=2x 由斯特瓦尔特定理可得:MB²
/AC-AB*BC 化简,得:MA²-MC²=3x² 再由正
=MC/sinMBC AB/sin90°=AM/sinMBA 弦定理得:BC/sin45°
sinMBA=sinMBC 两式相除,得:MA=根号2*MC 结合上式:MA=根号6*x sinMBA=MA/AB=(根号6)/2 案:
***.已知 4(x 的平方)-2(根号2)mx+m=0 关于X 的两根是直角三角形两锐角的正弦 求M 的值 并求两锐角
+x2²=1 由韦达定理知:x1+x2=(根号2)/2*m① 答案:易知x1²
x1*x2=m/4② ①²-2*②:m²-m+2=0 m1=2,m2=-1 当m1=2时:x1=x2=根号2/2
当m2=-1时:x1=(根号2+根号6)/4 所以两锐角皆为45°
x2=(根号2-根号6)/4 所以两锐角为75° 和15°
***.已知:2(sinA 的平方)-5sinA*cosA+4(cosA 的平方)=3 A为锐角 求tanA 的值
+3cosA² 答案:把右式的3化为3sinA ²
化简,得:-sinA ²-5sinA*cosA+cosA²=0
然后有个很重要的技巧:两边同除以cosA ²
然后化简:tanA ²+5tanA-1=0
又因为A 是锐角 所以tanA=(-5+根号29)/2
***函数y=根号(x^2+9)+ 根号(x^2-8x+17)的最小值。求过程
+9) + √[((x-4)²+1] 答案:y=√(x²
可以看成是:
x 轴上的点(x ,0)到点(0,3)和到点(4,1)的距离和。
点(0,3)关于x 轴的对称点为(0,-3)
点(0,-3)到点(4,1)的距离为最小值
=√(4²+4²) =4√2
***A、B 、C 、D 四点共圆,另一圆圆心在AB 上,且与四边形ABCD 其余三边都相切,求证:AD+BC=AB(AB 和CD 是对边)
B 和∠C 。然后根据四点共圆说明对角和为180°答案:这道题先画个图。设出来∠。
EOF+∠C=180°因为圆心O 向BC,CD,DA 作的垂线的垂足设为E,F,G 。那么∠。
∠FOG+∠B=180°EOF=∠A ,∠FOG=∠D 。 。那么有∠
A+r/sin∠D. 下面我设内切圆半径为r ,一方面知道AB=AO+BO=r/sin∠
AD+BC=AG+GD+CF+EB而AG=rcot∠A,GD=rtan(1/2*∠D),CF=rtan(1/2*∠A),
EB=rcot∠D. 这样用半角公式知道左边=右边。证毕。这是我直接的想法。
其实就是AO=AG+FC,BO=BE+DF。
当然可以转换成欧式几何的语言来说明,
将△OFC 绕O 点旋转,使得G 与F' 重合并且AG 与旋转后的FC(F'C')在一条直线上。那么
OC'A=90°-1/2*∠A 那么有AO=AO=AG+FC.同理 我们考虑△AOC' ,∠
BO=BE+DF。又由于DF=DG,CF=CE,所以有AB=AD+BC。
***△ABC 中,角A=45度, D 、E 为AB 的三等分点 ,a,b,c, 分别为角A ,角B ,角C 的对边,在AC 上有一动点P ,则DP ,EP 的距离和最小值为多少
答案:过A 点做AB 的垂线L ,可以在L 上找到一点F ,使得AF=AD。显然AC 是角DAB 的角平分线,连接EF ,与AC 的交点即为所求的P 点。
最短距离为(2/3*c)^2+(1/3*c)^2=5/9*c^2.再开方。根号5/3*c即为最短距离。
***若|2008-x|+√(根号)x-2009=x 求x- 2008的二次方
答案:若|2008-x|+√(x-2009)=x
求x- 2008²
解:要使√(x-2009)有意义
则:x-2009≥0
故:x ≥2009
故:|2008-x|=x-2008
因为:|2008-x|+√(x-2009)=x
故:x-2008+√(x-2009)=x
故:√(x-2009)= 2008
故:x-2009=2008²
=2009 故:x- 2008²
***关于x 的一元二次方程x2-x+a(1-a )=0有两个不相等的正根则a 可取值为? 答案:解:因为有两个不相等的实根
所以 △>0
即 1-4a (1-a )=(1-2a)^2>0
所以 a ≠0.5
又因为有不相等的正根
|1-2a|)/2>0 所以(1±
即|1-2a|
解之,得 0
所以 0
***首项系数不相等的两个二次方程(a-1)x*x-(a*a+2)x+(a*a+2a)=0及(b-1)x*x-(b*b+2)x+(b*b+2b)=0(其中a 、b 为非负整数) 有一个公共根. 求a 和b
答案:方程1:(a-1)x*x-(a*a+2)x+(a*a+2a)=[(a-1)x-(a+2)](x-a)=0 x=a或x=(a+2)/(a-1)=1+3/(a-1) 同理 方程2:x=b或x=(b+2)/(b-1)=1+3/(b-1) 因为 两方程的首项系数不相等 所以 a≠b 所以 1+3/(a-1)≠1+3/(b-1) 而 两方程有公共根 所以 a=1+3/(b-1)或b=1+3/(a-1) 由于对称性,我们只需考虑a=1+3/(b-1)即可 又因为 a 、b 为非
4,0 而 b=0时,a=-2,负整数 所以 (b-1)|3 所以 b=2,不符合要求,舍弃 所以 a=2,
b=4;a=4,b=2
***在三个等圆上上各自有一条劣弧AB,CD,EF, 如果弧AB+弧CD=弧EF
那么AB+CD与EF 的大小关系是什么 求详细过程
答案:把两个小狐拼到一起,就是大弧
于是有AB+CD>EF
因为三角形两边之和大于第三边嘛