2015年高考理科数学天津卷(含答案)

2015年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数 学（理工类）

第I 卷

注意事项：

1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.

2、本卷共8小题，每小题5分，共40分.

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）已知全集U ={1,2,3,4,5,6,7,8} ，集合A ={2,3,5,6} ，集合B ={1,3,4,6,7} ，则集合A

ðU B =

（A ）{2,5} （B ）{3,6} （C ）{2,5,6} （D ）{2,3,5,6,8} 【答案】A 【解析】

试题分析：ðU B ={2,5,8}, 所以A 考点：集合运算.

ðU B ={2,5}，故选A.

⎧x +2≥0

⎪

（2）设变量x , y 满足约束条件⎨x -y +3≥0 ，则目标函数z =x +6y 的最大值为

⎪2x +y -3≤0⎩

（A ）3 （B ）4 （C ）18 （D ）40 【答案】

C

考点：线性规划.

（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为 （A ）-10 （B ）6（C ）14（D ）18

【答案】B 【解析】

试题分析：模拟法：输入S =20, i =1；

i =2⨯1, S =20-2=18,2>5不成立； i =2⨯2=4, S =18-4=14,4>5不成立 i =2⨯4=8, S =14-8=6,8>5成立 输出6, 故选B. 考点：程序框图.

（4）设x ∈R ，则“x -20 ”的 （A ）充分而不必要条件

2

（B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件

（D ）既不充分也不必要条件 【答案】

A

考点：充分条件与必要条件.

（5）如图，在圆O 中，M , N 是弦AB 的三等分点，弦CD , CE 分别经过点M , N . 若

CM =2, MD =4, CN =3 ，则线段NE 的长为

（A ）

8105 （B ）3 （C ） （D ）

332

【答案】A 【解析】

试题分析：由相交弦定理可知，AM ⋅MB =CM ⋅MD , CN ⋅NE =AN ⋅NB ，又因为M , N 是弦AB 的三等分点，所以A M ⋅

M =B A ⋅N N ∴B ⋅C N =N E ⋅，所以

NE =

CM ⋅MD 2⨯48

==，故选A.

CN 33

考点：相交弦定理.

x 2y 2

（6）已知双曲线2-2=1

(a >0, b >

0) 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦

a b

(点在抛物线y 2= 的准线上，则双曲线的方程为

x 2y 2x 2y 2x 2y 2x 2y 2

=1（C ）--=1 （B ）-=1（D ）-=1 （A ）

[1**********]3

【答案】

D

考点：1. 双曲线的标准方程及几何性质；2. 抛物线的标准方程及几何性质. （7）已知定义在R 上的函数f (x )=2

x -m

-1 （m 为实数）为偶函数，记

a =f (log0.53), b =f (log 25), c =f (2m ) ，则a , b , c 的大小关系为

（A ）a 试题分析：因为函数f (x )=2

x -m

-1为偶函数，所以m =0，即f (x )=2-1，所以

x

1

2

1⎫⎛

a =f (log0.53) =f log 2⎪=23-1=2log 23-1=3-1=2,

3⎭⎝

b =f (log 25)=2log 25-1=4, c =f (2m )=f (0)=20-1=0

所以c

考点：1. 函数奇偶性；2. 指数式、对数式的运算.

⎧⎪2-x , x ≤2,

（8）已知函数f (x )=⎨ 函数g (x )=b -f (2-x ) ，其中b ∈R ，若函数2

⎪⎩(x -2), x >2,

y =f (x )-g (x ) 恰有4个零点，则b 的取值范围是

（A ）

7⎫⎛7⎫⎛⎛7⎫⎛7⎫

, +∞⎪ （B ） -∞, ⎪ （C ） 0, ⎪（D ） , 2⎪

4⎭⎝4⎭⎝⎝4⎭⎝4⎭

【答案】D 【解析】

⎧⎧⎪2-x , x ≤2, ⎪2-2-x , x ≥0

试题分析：由f (x )=⎨得f (2-x ) =⎨， 22

x 2,

⎧2-x +x 2, x

所以y =f (x ) +f (2-x ) =⎨4-x -2-x , 0≤x ≤2，

⎪2

⎩2-2-x +(x -2) , x >2

⎧x 2-x +2, x

即y =f (x ) +f (2-x ) =⎨2, 0≤x ≤2

⎪x 2-5x +8, x >2⎩

y =f (x ) -g (x ) =f (x ) +f (2-x ) -b , 所以y =f (x )-g (x )恰有4个零点等价于方程 f (x ) +f (2-x ) -b =0有4个不同的解，即函数y =b 与函数y =f (x ) +f (2-x ) 的图象

的4个公共点，由图象可知

7

. 考点：1. 求函数解析式；2. 函数与方程；3. 数形结合.

第II 卷

注意事项：

1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2、本卷共12小题，共计110分.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

（9）i 是虚数单位，若复数(1-2i )(a +i ) 是纯虚数，则实数a 的值为 . 【答案】-2 【解析】

试题分析：(1-2i )(a +i )=a +2+(1-2a )i 是纯度数，所以a +2=0，即a =-2.

考点：1. 复数相关定义；2. 复数运算.

（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 m 3

.

【答案】π 【解析】

试题分析：由三视图可知，该几何体是中间为一个底面半径为1，高为2的圆柱，两端是底面半径为1，高为1的圆锥，所以该几何体的体积V =1⨯π⨯2+2⨯考点：1. 三视图；2. 旋转体体积.

（11）曲线y =x 2 与直线y =x 所围成的封闭图形的面积为. 【答案】【解析】

试题分析：两曲线的交点坐标为(0,0),(1,1)，所以它们所围成的封闭图形的面积

2

8

3

128⨯1⨯π⨯1=π. 33

1

6

1⎫1⎛1

S =⎰(x -x )dx = x 2-x 3⎪=.

03⎭06⎝2

1

2

1

考点：定积分几何意义.

1⎫⎛2

x （12）在 x - 的展开式中，的系数为 . ⎪

4x ⎭⎝

【答案】

6

15 16

考点：二项式定理及二项展开式的通项.

（13）在∆ABC 中，内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c ，已知∆

ABC 的面积为，

1

b -c =2,cos A =-, 则a 的值为.

4

【答案】8 【解析】

试题分析：因为0

π，所以sin A ==

又S ∆ABC =

⎧b -c =21得b =6, c =4，由bc sin A ==∴bc =24，解方程组⎨

2⎩bc =24

余弦定理得

⎛1⎫

a 2=b 2+c 2-2bc cos A =62+42-2⨯6⨯4⨯ -⎪=64，所以a =8.

⎝4⎭

考点：1. 同角三角函数关系；2. 三角形面积公式；3. 余弦定理.

（14）在等腰梯形ABCD 中, 已知AB //DC , AB =2, BC =1, ∠ABC =60 , 动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上, 且, BE =λBC , DF =为 . 【答案】【解析】 试

1

DC , 则AE ⋅AF 的最小值9λ

29 18

1D D =2

1D =9λ

11-9λ1-9λ

CF =DF -DC =DC -DC =DC =AB ，

9λ9λ18λ

题

分

析

：

因

为

, A ，B

AE =AB +BE =AB +λBC

AF =AB +BC +CF =AB +BC +

1-9λ1+9λ

AB =AB +BC ， 18λ18λ

，

221+9λ⎫⎛1+9λ⎫1+9λ⎛

AE ⋅AF =AB +λBC ⋅ AB +BC ⎪=AB +λBC + 1+λ⎪AB ⋅BC

18λ⎭⎝18λ⎭18λ⎝

()

=

21171+9λ1+9λ9

⨯4+λ+⨯2⨯1⨯

c o s 1︒=2+λ+≥18λ1λ89λ2181729= 1818

当且仅当

21229

. =λ即λ=时AE ⋅AF 的最小值为

9λ2318

考点：1. 向量的几何运算；2. 向量的数量积；3. 基本不等式.

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分13分）已知函数f (x )=sin 2x -sin 2 x -

(I)求f (x ) 最小正周期； (II)求f (x ) 在区间[-

A

B

⎛⎝

π⎫

⎪，x ∈R

6⎭

p p

, ]上的最大值和最小值. 34

1, f (x ) min =-.

2

【答案】(I)π

; (II) f (x ) max =

考点：1. 两角和与差的正余弦公式；2. 二倍角的正余弦公式；3. 三角函数的图象与性质.

16. （本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加. 现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名. 从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.

(I)设A 为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A 发生的概率；

(II)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望. 【答案】(I)

6; 35

(II) 随机变量X 的分布列为

E (X )=

5 2

【解析】

试题分析：(I)由古典概型计算公式直接计算即可； (II)先写出随机变量X 的所有可能值，求出其相应的概率，即可求概率分布列及期望. 试题解析：(I)由已知，有

2222C 2C 3+C 3C 36

P (A ) ==4

C 835

所以事件A 发生的概率为

6. 35

(II)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4

k 4-k C 5C 3

P (X =k )=(k =1,2,3,4)

C 84

所以随机变量X 的分布列为

15+2⨯+3⨯+4⨯= 所以随机变量X 的数学期望E (X )=1⨯1477142

考点：1. 古典概型；2. 互斥事件；3. 离散型随机变量的分布列与数学期望.

17. （本小题满分13分）如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，侧棱

A 1A ⊥底面A B C D ⊥AC , AB =1, , AB

AC =AA 1=2, AD =CD 且点M 和N 分别为B 1C 和D 1D 的中点.

(I)求证：MN 平面ABCD ； (II)求二面角D 1-AC -B 1的正弦值；

(III)设E 为棱A 1B 1上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为长

1

，求线段A 1E 的3

【答案】(I)见解析； (II)

【解析】

试题分析：以A 为原点建立空间直角坐标系(I)求出直线MN 的方向向量与平面ABCD 的法向量，两个向量的乘积等于0即可；(II)求出两个平面的法向量，可计算两个平面所成二面角的余

； (III)

2.

λ弦值的大小，再求正弦值即可；(III) 设A 1E =λA 1B 1，代入线面角公式计算可解出的值，

即可求出A 1E 的长.

试题解析：如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得

A (0,0,0),B (0,1,0),C (2,0,0),D (1,-2,0) ，

A 1(0,0,2),B 1(0,1,2),C 1(2,0,2),D 1(1,-2,2) ，又因为M , N 分别为B 1C 和D 1D 的中点，得

⎛1⎫

M 1, ,1⎪, N (1,-2,1) . ⎝2⎭

(I)证明：依题意，可得n =(0,0,1)为平面ABCD 的一个法向量，MN = 0, -

⎛⎝

5⎫,0⎪， 2⎭

由此可得，MN ⋅n =0，又因为直线MN ⊄平面ABCD ，所以MN //平面ABCD (II)AD 1=(1, -2,2), AC =(2,0,0)，设n 1=(x , y , z ) 为平面ACD 1的法向量，则

⎧⎧x -2y +2z =0⎪n 1⋅AD 1=0

，即，不妨设z =1，可得n 1=(0,1,1) ， ⎨⎨

⎩2x =0⎪⎩n 1⋅AC =0

⎧⎪n 2⋅AB 1=0

设n 2=(x , y , z ) 为平面ACB 1的一个法向量，则⎨，又AB 1=(0,1,2)，得

⎪⎩n 2⋅AC =0

⎧y +2z =0

，不妨设z =1，可得n 2=(0,-2,1)

⎨

2x =0⎩

因此有cos n

1, n 2=

n 1⋅n 2n 1⋅n 2

=

sin n 1, n 2=

. 10

所以二面角D 1-AC -B 1的正弦值为

(III)依题意，可设A , λ+

2,1) ，1E =λA 1B 1，其中λ∈[0,1]，则E (0,λ,2) ，从而NE =(-1又n =(0,0,1)为平面ABCD 的一个法向量，由已知得

cos NE , n =

NE ⋅n NE ⋅n

=

1

=，整理得λ2+4λ-3=0，

3

又因为λ∈[0,1]，解得λ=2，

所以线段A 的长为2. 1E

考点：1. 直线和平面平行和垂直的判定与性质；2. 二面角、直线与平面所成的角；3. 空间向量的应用. 18.

（

本

小

题

满

分

13

*

分）已知数列

{a n }2

满足

a n +2=qa n (为实数，且q q ≠1，∈) a n =1a N =，且, 2

1,

a 2+a 3, a 3+a 4, a 4+a 5成等差数列.

(I)求q 的值和{a n }的通项公式； (II)设b n =

log 2a 2n

的前n 项和. ｛b n ｝, n ∈N *，求数列

a 2n -1

-1⎧n 2

⎪2, n 为奇数, n +2

【答案】(I) a n =⎨n ; (II) S n =4-n -1.

2⎪22, n 为偶数.

⎩

【解析】

试题分析：(I)由a 3+a 4-a 2+a 3=a 4+a 5-a 3+a 4得a 4-a 2=a 5-a 3 先求出q ，分n 为奇数与偶数讨论即可；(II)求出数列{b n }的通项公式，用错位相减法求和即可.

试题解析：(I) 由已知，有a 3+a 4-a 2+a 3=a 4+a 5-a 3+a 4，即a 4-a 2=a 5-a 3， 所以a 2(q -1) =a 3(q -1) ，又因为q ≠1，故a 3=a 2=2，由a 3=a 1q ，得q =2， 当n =2k -1(n ∈N *)时，a n =a 2k -1=2

k

k -1n

2

() ((

) () ()

) () () ()

=2

n -12

，

当n =2k (n ∈N *)时，a n =a 2k =2=2，

-1⎧n 2

⎪2, n 为奇数, a =所以{a n }的通项公式为n ⎨n

⎪22, n 为偶数. ⎩

考点：1. 等差中项定义；2. 等比数列及前n 项和公式.3. 错位相减法.

x 2y 219. （本小题满分14分）已知椭圆2+2=1(a >b >0) 的左焦点为F （-c ,0）,

，

a b 3

b 4点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x +y =截得的线段的长为c

，.

42

2

(I)求直线FM 的斜率； (II)求椭圆的方程；

(III)设动点P 在椭圆上，若直线FP

OP （O 为原点）的斜率的取值范围.

⎛x 2y 2⎛+=1 ；

(III) -∞, 【答案】

(I) ； (II) . 3233⎝⎭⎝⎭

【解析】

试题分析：(I) 由椭圆知识先求出a , b , c 的关系，设直线直线FM 的方程为y =k (x +c ) ，求

x 2

y 2

出圆心到直线的距离，由勾股定理可求斜率k 的值； (II)由(I)设椭圆方程为2+2=1，直

3c 2c

线与椭圆方程联立，求出点M 的坐标，由FM =

可求出c ，从而可求椭圆方程.(III)

设出直线FP ：y =t (x +

1) ，与椭圆方程联立，求得t =>x 的范围，即可求直线OP 的斜率的取值范围.

c 21

试题解析：(I) 由已知有2=，又由a 2=b 2+c 2，可得a 2=3c 2，b 2=2c 2，

a 3

设直线FM 的斜率为k (k >0) ，则直线FM 的方程为y =k (x +c ) ，由已知有

⎛⎫⎛c ⎫⎛b ⎫+=，解得k = ⎪ ⎪22

⎝⎭⎝⎭

2

22

x 2y 2

(II)由(I)得椭圆方程为2+2=1，直线FM 的方程为y =k (x +c ) ，两个方程联立，消去y ，

3c 2c

整理得

5

3x 2+2cx -5c 2=0，解得x =-c 或x =c ，因为点M 在第一象限，可得M

的坐标为

3

⎛⎫，由，解得c =1，所以椭圆方程为c FM == ⎪⎭

⎝x 2y 2+=1 32

(III)设点P 的坐标为(x , y ) ，直线FP 的斜率为t ，得t =

y

，即y =t (x +1) (x ≠-1) , x +1

⎧y =t (x +1) ⎪

与椭圆方程联立⎨x 2y 2，消去y ，整理得2x 2+3t 2(x +1) 2=

6，又由已知，得

+=1⎪2⎩3

t =>

-

3

设直线OP 的斜率为m ，得m =

y

，即y =mx (x ≠0) ，与椭圆方程联立，整理可得x

m 2=

22-. x 23

①当x ∈ -, -1⎪时，有y =t (x +1)

0，于是m =

⎛3⎝2

⎫⎭

，得

m ∈

⎭⎝②当x ∈(-1,0)时，有y =t (x +1) >0，因此m

0，于是m =

，得⎛m ∈ -∞,

⎝⎭

综上，直线OP

的斜率的取值范围是 -∞, -

⎛⎝3⎭⎛ 3⎭⎝3

考点：1. 椭圆的标准方程和几何性质；2. 直线和圆的位置关系；3. 一元二次不等式. 20. （本小题满分14分）已知函数f (x ) =n x -x n , x ∈R ，其中n ∈N *,n ≥2.

(I)讨论f (x ) 的单调性；

(II)设曲线y =f (x ) 与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为y =g (x ) , 求证：对于任意的正实数x ，都有f (x ) ≤g (x ) ；

(III)若关于x 的方程f (x )=a(a为实数) 有两个正实根x 1，x 2，求证： |x 2-x 1|

a

+2 1-n

【答案】(I) 当n 为奇数时，f (x ) 在(-∞, -1) ，(1,+∞) 上单调递减，在(-1,1) 内单调递增；当n 为偶数时，f (

x ) 在(-∞, -1) 上单调递增，f (x ) 在(1,+∞) 上单调递减. (II)见解析； (III)见解析.

n

试题解析：(I)由f (x ) =nx -x ，可得，其中n ∈N *且n ≥2，

下面分两种情况讨论：

（1）当n 为奇数时：

令f '(x ) =0，解得x =1或x =-1，

当x 变化时，f '(x ), f (x ) 的变化情况如下表：

所以，f (x ) 在(-∞, -1) ，(1,+∞) 上单调递减，在(-1,1) 内单调递增. (2)当n 为偶数时，

当f '(x ) >0，即x 1时，函数f (x ) 单调递减.

所以，f (x ) 在(-∞, -1) 上单调递增，f (x ) 在(1,+∞) 上单调递减. (II)证明：设点P 的坐标为(x 0,0) ，则x 0=n

1n -1

，f '(x 0) =n -n 2，曲线y =f (x ) 在点P 处

的切线方程为y =f '(x 0) (x -x 0)，即g (x ) =f '(x 0) (x -x 0)，令F (x ) =f (x ) -g (x ) ，即

F (x ) =f (x ) -f '(x 0) (x -x 0)，则F '(x ) =f '(x ) -f '(x 0)

由于f '(x ) =-nx n -1+n 在(0, +∞)上单调递减，故F '(x ) 在(0, +∞)上单调递减，又因为

F '(x 0) =0，所以当x ∈(0,x 0) 时， F '(x 0) >0，当x ∈(x 0, +∞) 时，F '(x 0)

在(0,x 0) 内单调递增，在(x 0, +∞) 内单调递减，所以对任意的正实数x 都有

F (x ) ≤F (x 0) =0，即对任意的正实数x ，都有f (x ) ≤g (x ) .

2 (III)证明：不妨设x 1≤x 2，由(II)知g (x ) =n -n

()(x -x )，设方程g (x ) =a 的根为x '，

2

可得

x 2'=

a

+x 0. ，当n ≥2时，g (x ) 在(-∞, +∞)上单调递减，又由(II)知2

n -n

g (x 2) ≥f (x 2) =a =g (x 2'), 可得x 2≤x 2'.

类似的，设曲线y =f (x ) 在原点处的切线方程为y =h (x ) ，可得h (x ) =nx ，当

x ∈(0,+∞) ，

f (x ) -h (x ) =-x n

设方程h (x ) =a 的根为x 1'，可得x 1'=

a

，因为h (x ) =nx 在(-∞, +∞)上单调递增

，且n

考点：1. 导数的运算；2. 导数的几何意义；3. 利用导数研究函数性质、证明不等式.

绝密★启用前

2015年普通高等学校招生全套统一考试（天津卷）

数学（理工类）参考解答

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分40分。 （1）A （2）C （3）B （4）A （5）A （6）D （7）C （8）D

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分30分。 （9）-2 （10）π （11）

831 6

（12）

1529 （13）8 （14） 1618

三、解答题

（15）本小题主要考查两角差的正弦公式和余弦公式、二倍角的正弦公式和余弦公式，三角

函数的最小正周期、单调性等基础知识。考查基本运算能力。满分13分。 （I ）解：由已知，有

1-cos(2x -) ⎫11-cos 2x 1⎛1=cos 2x 2x ⎪-cos 2x

f (x ) =-

⎪2⎝222⎭2

=

π

11⎛π⎫

2x -cos 2x =sin 2x -⎪ 442⎝6⎭

2π

=π 2

所以，f (x ) 的最小正周期T=

⎡ππ⎤⎡ππ⎤

, -⎥上是减函数，在区间⎢-, ⎥上是增函数，⎣36⎦⎣64⎦

11⎛π⎫⎛π⎫⎛π⎫⎡ππ⎤

所以，f (x ) 在区间⎢-, ⎥上的最大值

f -⎪=-，f -⎪=-，f ⎪=

42⎝3⎭⎝6⎭

⎣34⎦⎝4⎭4

(II)解：因为f (x ) 在区间⎢-1-.

2

（16）本小题主要考查古典概型及其概率计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布

列与数学期望等基础知识. 考查运用概率知识解决简单实际问题的能力. 满分13分.

（I ）解：由已知，有

22C 2C 3+C 32C 326

P (A ) == 4

C 835

所以，事件A 发生的概率为

6

. 35

（II ）解：随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4.

C 5k C 34-k

P (X =k ) =(k =1,2,3,4).

C 84

所以，随见变量X 的分布列为

随机变量X 的数学期望E (X )=1⨯

13315+2⨯+3⨯+4⨯= 1477142

（17）本小题主要考查直线与平面平行和垂直、二面角、直线与平面所成的角等基础知识. 考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。

满分13分.

如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得A (0,0,0), B (0,1,0), C (2,0,0), D (1,-2,0) ,

A 1(0,0,2), B 1(0,1,2), C 1(2,0,2),D (1,-2, 2) .

又因为M,N 分别为B 1C 和D 1D 的中点， 得M 1, ,1⎪, N (1,-2,1) .

(I)证明：依题意，可得n =(0,0,1)为平面

⎛1⎫⎝2⎭

5⎫

ABCD 的一个法向量. MN =⎛0, -,0⎪. 由此可得

2⎭⎝

MN n =0，又因为直线MN ⊄平面ABCD ，所以

MN MN ∥平面ABCD .

（II ）解：AD 1=(1, -2,2) ，AC =(2,0,0). 设n 1=(x , y , z ) 为平面ACD 1的法向量，则

⎧⎪n 1AD 1=0, ⎧x -2y +2z =0,

即⎨不妨设z =1，可得n 1=(0,1,1). ⎨

⎩2x =0. ⎪⎩n 1AC =0,

⎧⎪n 1AB 1=0,

设n 2=(x , y , z ) 为平面ACB 1DE 法向量，则⎨又AB 1=(0,1,2) ，得

⎪⎩n 1AC =0,

⎧y +2z =0,

⎨

⎩2x =0.

不妨设z=1，可得n 2=(0,-2,1) .

因此有cos n 1, n 2=

n 1n

2，于是sin n 1, n 2=

. =n 1n 2。 所以，二面角D 1-AC -B 1（III ）解：依题意，可设A 1E =λA 1B 1, ，其中λ∈[0,1]，则E (0, λ,2)，从而

NE =(-1, λ+2,1)。又n =(0,0,1)为平面ABCD 的一个法向量，由已知，得

cos NE , n

=

NE n NE n

=

1

=，整理得λ2+4λ-3=0，又因为λ∈[0,1]，解得

λ=2.

3

所以，线段A 1E 2.

(18)本小题主要考查等比数列及其前n 项和公式、等差中项等基础知识。考查数列求和的基本方法、分类讨论思想和运算求解能力. 满分13分.

（I ）解：由已知，有(a 3+a 4)-(a 2+a 3)=(a 4+a 5)-(a 3+a 4)，即a 4-a 2=a 5-a 3，所以a 2(q -1)=a 3(q -1). 又因为q ≠1，故a 3=a 2=2，由a 3=a 1q ，得q =2. 当n =2k -1(k ∈N ) 时，a n =a 2k -1=2

*

k

*k -1

=2

n -12

；

当n =2k (k ∈N ) 时，a n =a 2k =2=2.

n 2

-1⎧n 2

⎪2, n 为奇数，

所以，{a n }的通项公式为a n =⎨n

⎪22，n 为偶数. ⎩

（II ）解：由（I ）得b n =

log 2a 2n n

=n -1. 设{b n }的前n 项和为S n ，则 a 2n -12

S n =1⨯

11111

， +2⨯+3⨯+... +n -1⨯+n ⨯()

2021222n -22n -1

111111S n =1⨯1+2⨯2+3⨯3+... +(n -1)⨯n -1+n ⨯n ， 222222

上述两式相减，得

1

n 1111n n 2n S n =1++2+... n -1-n =-n =2-n -n ， 1222222221-2

1-

整理得，S n =4-

n +2

. n -1

2

n +2*

n ∈N ，. n -1

2

所以，数列{b n }的前n 项和为4-

（19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程和圆的方程、直线与圆的位置关系、一元二次不等式等基础知识. 考查用代数方法研究 曲线的性质，考查运算求解能力，以及用函数与方程思想解决问题的能力。满分14分.

c 21222

（I ）解：由已知有2=，又由a =b +c ，可得a 2=3c 2, b 2=2c 2.

a 3

设直线FM 的斜率为k (k

2

0) ，则直线FM 的方程为y =k (x +c ) .

由已知，有

⎛⎫⎛c ⎫2⎛b ⎫2k =+，解得. = ⎪ ⎪

3⎝2⎭⎝2⎭

x 2y 2（II ）解：由（I ）得椭圆方程为2+2=1，直线FM

的方程为y =x +c )，两

3c 2c 522

个方程联立，消去y ，整理得3x +2cx -5c =0，解得x =-c ，或x =c . 因为点M 在第一

3

⎛⎫象限，可得M

的坐标为 c , .

有，解得c =1，FM ==⎪ ⎪3⎭3⎝x 2y 2所以椭圆的方程为+=1.

32

（III ）解：设点P 的坐标为(x , y )，直线FP 的斜率为t ，得t =

y

，即x +1

y =t (x +1)(x ≠-1)，

⎧y =t (x +1), ⎪

与椭圆方程联立⎨x 2y 2消去y ，整理得2x 2+3t 2(x +1) 2=6.

又由已知，得

=1, ⎪+2⎩3

t =

，解得-

32

x -1，或-1x 0.

设直线OP 的斜率为m ，得m =得m 2=

y

，即y =mx (x ≠0) ，与椭圆方程联立，整理可x

22-. 2x 3

①当x ∈ -, -1⎪时，有y =t (x +1)

m ∈⎝

⎛3⎝2

. ⎭

⎫

⎭

0，因此m 0

，于是m

=

，得 ②当x ∈(-1,0)时，有y =t (x +1)

0，因此m 0

，于是m

=⎛. m ∈ -∞, - 3⎭

⎝

综上，直线OP 的斜率的取值范围是 -∞, -

⎛

⎝

3⎭⎛ 3. ⎝⎭

（20）本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质、证明不

等式等基础知识和方法. 考查分类讨论思想、函数思想和划归思想. 考查综合分析问题和解决问题的能力。满分14分.

（I ）解：由f (x ) =nx -x n ，可得f ' (x ) =n -nx n -1=n 1-x n -1，其中n ∈N *，且n ≥2.

()

下面分两种情况讨论： （1）当n 为奇数时.

令f ' (x ) =0，解得x =1，或x =-1.

当x 变化时，f ' (x ) ，f (x ) 的变化情况如下表：

所以，f (x ) 在(-∞, -1)，(1, +∞)上单调递减，在(-1,1)内单调递增。

（2）当n 为偶数时. 当f ' (x ) 当f ' (x )

0，即x 1时，函数f (x ) 单调递增； 0，即x 1时，函数f (x ) 单调递减.

所以，f (x ) 在(-∞,1)上单调递增，在(1, +∞)上单调递减. （II ）证明：设点P 的坐标为(x 0,0)，则x 0=

1

n -1

n

'

在点P 处的切线方程为y =f (x 0) (x -x 0)，即g (x ) =f ' (x 0)(x -x 0) . 令

，f ' (x 0) =n -n 2. 曲线y =f (x )

F (x ) =f (x ) -g (x )，即F (x ) =f (x ) -f ' (x 0)(x -x 0) ，则F ' (x ) =f ' (x ) -f ' (x 0) .

由于f ' (x ) =-nx n -1+n 在(0, +∞)上单调递减，故F ' (x ) 在(0, +∞)上单调递减. 又因为F ' (x 0) =0，所以当x ∈(0, x 0)时，F ' (x )

0，当x ∈(x 0, +∞)时，F ' (x )

0，所以

F (x ) 在(0, x 0)内单调递增，在(x 0, +∞)上单调递减，所以对于任意的正实数x ，都有

F (x ) ≤F (x 0) =0，即对于任意的正实数x ，都有f (x ) ≤g (x ).

（III ）证明：不妨设x 1≤x 2. 由（II ）知g (x )=n -n

'

的根为x 2' ，可得x 2=

(

2

(-x ). 设方程g (x )=a )x

a

+x 0，当n ≥2时，在(-∞, +∞)上单调递减. 又由（II ）知n -n 2

g (x 2)≥f (x 2)=a =g (x 2' )，可得x 1≤x 2' .

类似地，设曲线y =f (x )在原点处的切线方程为y =h (x )，可得h (x )=nx ，当

x ∈(0, +∞)，f (x )-h (x )=-x n 0，即对于任意的x ∈(0, +∞)，f (x )h (x ).

设方程h (x )=a 的根为x 1' ，可得x 1' =且h x 1' =a =f (x 1)

由此可得x 2-x 1

()

h (x 1)，因此x 1'

a

. 因为h (x )=nx 在(-∞, +∞)上单调递增，n x 1.

x 2' -x 1' =

a

+x 0. 1-n

n -1

1

≥1+C n -1=1+n -1=n ，故2≥

因为n ≥2，所以2n -1=(1+1)所以，x 2-x 1

1n n -1

=x 0.

a

+2. 1-n