数列求和与通项公式求法
一.知识归纳:
数列求和的主要方法:
(1)公式法:能直接用等差或等比数列的求和公式的方法。
(2)拆项求和法:将一个数列拆成若干个简单数列(等差、等比、常数列)然后分别求和的方法。 (3)并项求和法:将数列相邻的两项或几项并成一组,得到一个新的更易求和的数列的方法。 (4)裂项相消法:将数列的通项分成二项的差的形式,相加消去中间项,剩下有限项再求和的方法。
常用技巧有:
111111; ②①=(n +k -n ) =(-)
n (n +k ) k n n +k n +k +n k ③
11111111; ④=[-] =(-)
n (n +1)(n +2) 2n (n +1) (n +1)(n +2) (2n -1)(2n +1) 22n -12n +1
(5)错位相减法:将一个数列的每一项都作相同的变换,然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的各项相减,也即是仿照推导等比数列前n 项和公式的方法。若{a n }为等差、{b n }为等比数列,则求数列{a n b n }的前n 项和可用此法。
(6)倒序求和法:即仿照推导等差数列前n 项和公式的方法
(7)循环数列求和。
二.课前练习
1.数列{a n }的通项公式是a n =
1n +n +1
(n ∈N +) ,若它的前n 项和为10,则其项数n 为
A .11 B .99 C .120 D .121
111, , , , 的前n 项和为 1+21+2+31+2+ +n 2n 2n n +2n A . B . C . D .
2n +1n +1n +12n +1
a +a 2+ +a n
3.数列{a n }的通项是a n =4n -1,b n =1,则数列{b n }的的前n 项和为
n
2.数列1,
A .n B .n (n +1) C .n (n +2) D .n (2n +1) 4. 设f (x ) =
2
1
, 求f (-5) +f (-4) + +f (0) +f (5) +f (6) 的值为 x
2+2
A .32 B .2 C .22 D .5.数列1, 3, 5, , (2n -1) +
2 2
1
, 的前n 项和为S n ,则S n = 2n
11112222
A .n +1-n B .n +1-n -1 C .2n -n +1-n D .n -n +1-n
2222
2
2
2
121418
6.在等比数列{a n }中,a 1+a 2+ +a n =2n -1,则a 1+a 2+ +a n =
(2n -1) 24n -1n
A .(2-1) B . C .4-1 D .
33
n
2
7.数列1,(1+2),(1+2+22), ,(1+2+22+ +2n -1), 的通项公式a n =n 项和S n =8.数列{a n }中,a 1=1, a 2=2,a n +2-a n =1+(-1) n (n ∈N +) ,则S 100=_________。 9.数列6,66,666, „666„66的前n 项和S n =10. 数列1,3+5,7+9+11,13+15+17+19,„前n 项和S n =.
三.例题分析
例1.. 求数列7, 16, 37„ 3+3n +1的前n 项和
n n
【变式1】 求数列{2⨯3+() +(3n -2)}的前n 项和
n
12
【归纳1】:拆项求和:如果一个数列的通项公式可以拆成几个等差或等比数列, 则利用拆项组合的方法, 借助等差或等比数列前n 项和公式求和. 例2. 求数列S n =
123n
+++ +n 的前n 项和 2482
2
例3. 求数列5a , 9a „(4n +1) a
n
(a ≠0) 的前n 项和
n
【变式】 求数列{(3n -2)() }的前n 项和
34
【归纳2】:错位相减法: 如果一个数列的通项公式可以写成一个等差数列与一个等比数列的积, 则利用错位相减法可以求和.
例4. 求数列9,99,999, „999„9的前n 项和
【变式】. 求数列7, 77, 777, „ 777„77 的前n 项和
【归纳3】:循环数列问题以9,99,999, „999„9为基础, 进行求和.
1111
, , , „例5. 求数列前n 项和
n (n +1) 1⨯22⨯33⨯4
1
前n 项和 【变式1】求数列{
(7n -3)(7n +4)
【变式2】求数列{【变式3
】求数列1
前n 项和
n (n +2)
的前n 项和
(2n ) 2
【变式4】求数列的前n 项
(2n -1)(2n +1)
【归纳4】:裂项求和:如果数列的通项公式可以写成一个等差数列的连续两项的积, 则可以通过运算分裂成两个数列的差, 即:a n =b n -b n -1, 则可以求和.
四.课外练习
数列
31⋅2
2
2⋅31
A .1–2
n
1
C .1 +
(n +1) 2
,
5
2
2
,
73⋅4
2
2
,„,
2n +1n (n +1)
2
2
的前n 项和是 ( )
B .1+D .1–
1n 2
1
(n +1) 2
2.数列{a n }的通项a n = 2n + 1,则由b n =
3. 已知数列{a n }的前n 项和S n = 1 – 5 + 9 – 13 + 17 – 21 +„+(–1) n –1 (4n – 3),则S 15 + S 22 – S 31的值为 ( B ) A .3 B .-76 C .46 D .6 4.S n =
122-1
+
142-1
+ +
1(2n ) 2-1
a 1+a 2+ +a n
所确定的数列{b n }的前n 项之和是( )
n
111
A .n (n + 2) B .n (n + 4) C .n (n +5) D .n (n +7)
222
5.已知数列{a n }满足a 1 = 1,a n = a 1 + 2a 2 + 3a 3 +„+ (n – 1) a n –1 (n ≥2) ,则{a n }的通项公式a n =
6. 求数列
1111
,,,„,,„的前n 项和S 1⨯32⨯43⨯5n (n +2)
1352n -32n -1+++ ++7.求数列的前n 项和S 23n -122222n
S 3
=6. 2111
(I )求数列{a n }的通项公式; (II )求和:. ++ +
S 1S 2S n
8.. 已知数列{a n }是等差数列,其前n 项和为S n , a 3=
9. .设数列{a n }的前n 项和为S n =2n 2,{b n }为等比数列,且a 1=b 1, b 2(a 2-a 1) =b 1. (Ⅰ)求数列{a n }和{b n }的通项公式; (Ⅱ)设c n =
a n
,求数列{c n }的前n 项和T n . b n
10. 设数列{a n }的前n 项和为S n ,且对任意正整数n ,a n +S n =4096。 (1)求数列{a n }的通项公式
(2)设数列{log2a n }的前n 项和为T n , 对数列{T n },从第几项起T n
+
11.数列{a n }的前n 项和为S n ,满足:a 1=1,3tS n -(2t +3) S n -1=3t ,其中t >0,n ∈N 且
n ≥2
(Ⅰ)求证:数列{a n }是等比数列;
(Ⅱ)设数列{a n }的公比为f (t ) ,数列{b n }满足b 1=1, b n =f (
1
), (n ≥2), 求b n 的通项式. b n -1
20. 9
(Ⅲ)记T n =b 1b 2-b 2b 3+b 3b 4-b 4b 5+ +b 2n -1b 2n -b 2n b 2n +1, 求证:T n ≤-
一.课前练习
1在数列{a n }中,a 1=2, a n +1=a n +ln 1+
⎛
⎝1⎫
⎪,则a n =( ) n ⎭
A .2+ln n B .2+(n -1)ln n C .2+n ln n D .1+n +ln n 2. 已知数列{a n }的a 1=1,a 2=2且a n +2=2a n +1-a n , 则a n = 3. 已知数列{a n }的首项a 1=1,且a n =2a n -1+3(n ≥2) ,则a n =
4. 若数列{a n }的前n 项和S n =n 2-10n (n =1,2,3, ) ,则此数列的通项公式为三.例题分析
一. 【形如a
n +1
5. (2006重庆理)在数列{a n }中,若a 1=1,a n +1=2an +3 (n ≥1), 则该数列的通项a n =___________.
=a n +f (n ) 的一阶递归式】
a n +3n , n N ,求数列{a n }的通项公式 【变式1】.已知数列{a n }中,a 1=2,且满足a n +1=a n +5n +1, n N ,求数列{a n }的通项公
例1.已知数列{a n }中,a 1=1,且满足a n +1=式 【变式
2n
2】已知数列{a n }中,a 1=1,且满足,a n +1=a n +(2n -1)() , n N 求数列{a n }的
3
通项公式
【迭代相加】数列{a n }中满足:a 1
=m ,a n +1=a n +f (n ) ,
则a n =a 1+f (1) +f (2) +f (3) + +f (n -1)
二.【形如
a
n +1
=f (n ) a n 的递归】
1
,前n 项和S n 与a n 的关系是 S n =n (2n -1) a n ,试求通项公3
例2. 已知a 1=1, a n =n (a n +1-a n ) (n ∈N *) , 求数列{a n }通项公式. 【变式】已知数列{a n }中,a 1=式a n 。
【迭代相乘】形如
a n +1=f (n ) a n
的递推式,其通项求法为
a n a 2a 3
a n =a 1⋅⋅
a 1a 2a n -1=a 1⋅f (1) f (2) f (n -1)(n ≥2) .
三.【形如a n +1=
【变式】.已知数列{a n }中,a 1=
【构造法】a
pa n +r (p 1) 的递归式】
例3. 已知数列{a n }中,a 1
=1,且满足a n +1=3a n +2, n N ,求数列{a n }的通项公式
2,且满足2a n +1=3a n +1, n N ,求数列{a n }的通项公式
=pa n +r (p 1) 设为a n +1+t =p (a n +t ) ,通过递归式求t
四.【形如a n +1=ka n +f (n ),(k 1) 的递归】
例4.已知数列{a n }中,a 1=2,且满足a n +1=2a n +3n , n N ,求数列{a n }的通项公式 【变式1】.已知数列{a n }中,a 1=2,且满足a n +1=3a n +4n -1, n N ,求数列{a n }的通项公式
n +1
【系数构造法】若a n +1五.【形如a
n +1
=k ⨯a n +f (n ) , 则两端同时除以k k +1. 再用迭加法求通项公式
=pa q n (p >0, a n >0) 的递推式】
例5.在数列{a n }中,a
1=10,且a n +1=【变式1】.已知数列{a n }中,a 1=
,求a n
2
2,且满足a n +1=6a n , n N ,求数列{a n }的通项公式
N 求数列{a n }的通项公式
【取对数法】两边取对数有lg a n +1=q lg a n +lg p ,令b n =lg a n ,则b n +1=qb n +lg p ,
【变式2】.已知数列
1
{a n }中,a =1,且满足,a n +13=3a n 2, n
六.取倒法:常用于对复杂分式转化为例6.已知数列{a n }中,a 1
1p
=+r 或等等常见数列形式. a n a n -1
a n -1
(n 2) ,求通项公式
3a n -1+2
=2,a n =
a n
【变式 】已知数列{a n }中,a 1=1,a n +1=七. 含s n , a n 混合型
a n
,求通项公式a n
3n a n +1
2
a n ,求数列{a n }的通项公式 3
例7.在数列{an }中,若a 1=1,且满足s n =1-
【变式】.已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和满足S n >1,且
6S n =(a n +1)(a n +2), n ∈N *求{a n }的通项公式;
n +1n (其中p ,q 均为常数)―――-二次齐次递推关系 八.形如n +2
设a n +1+ta n =s (a n +ta n -1) ,
a =pa +qa
则a n +1=(s -t ) a n +sta n -1, 令⎨消去参数t 得s (1)
2
⎧s -t =p
⎩st =q
-ps -q =0 ①
若方程组①有两组不同的实数解
(s 1, t 1), (s 2, t 2) ,
则a n +1+t 1a n =s 1(a n +t 1a n -1) , a n +1+t 2a n =s 2(a n +t 2a n -1) ,
即{a n +1+t 1a n }、{a n +1+t 2a n }分别是公比为s 1、s 2的等比数列,由等比数列性质可得
a n +1+t 1a n =(a 2+t 1a 1) s 1
n -1
,
n -1
a n +1+t 2a n =(a 2+t 21a 1) s 2∵t 1≠t 2, 由上两式消去a n +1可得a n =(2)
若方程组①有两组相等的解⎨
,
(a 2+t 1a 1). s n -a 2+t 2a 1. s n .
12
s 1t 1-t 2s 2t 1-t 2⎧s 1=s 2
,易证
⎩t 1=t 2
此时1
t =-s 1,则
2
n -1
a n +1+t 1a n =s 1(a n +t 1a n -1)=s 1(a n -1+t 1a n -2) =„=s 1
⎧a n ⎫
, 即⎨n ⎬是等差数列, ∴n +1-n =2
s 1s 1s 1⎩s 1⎭
a a 1a 2-s 1a 1
由等差数列性质可知n , ()=+n -1. n 2
s s 1s 11
(a 2+t 1a 1) ,
a n +1a n a 2-s 1a 1
⎡⎛a 1a 2-s 1a 1⎫a 2-s 1a 1⎤n
⎪+. n ⎥s 1. 所以a n =⎢ 22 s -⎪s 1s 1⎢⎥⎭⎣⎝1⎦
将递推数列转化为等比(差)数列,从而求得二阶线性递推数列的通项,若将方程组①消去t 即得
s 2-ps -q =0,显然s 1、s 2就是方程x 2=px +q 的两根,我们不妨称此方程为二阶线性递推数列a n +1=pa n +qa n -1的特征方程,于是我们就得到了散见于各种数学参考资料的如下结论:
设递推公式为a n +1=pa n +qa n -1, 其特征方程为x 2=px +q 即x 2-px -q =0, 【结论】若方程有两相异根1、s 2,则a n =c 1s 1n +c 2s 2n ; 若方程有两等根s 1=7.数列a n 满足1
s
s 2,则a n =
(c 1+nc 2) s 1n . 其中1、2可由初始条件确定。
c c
{}
a =2, a 2=5, a n +1-4a n +3a n -1=0,(n ≥2) ,求通项公式a n
1, a 2=3, a n +1-4a n +4a n -1=0,(n 2) ,求通项公式
第五节:数列的综合应用
编题:杨永康 审核:叶钦耀
【变式】数列a n 满足a 1=
{}
a n
一.课标要求:
能在具体的问题情境中,识别数列的等差关系与等比关系,并能用有关知识解决相应的问题
二.例题分析
题型1:实际应用
例1. 某国采用养老储备金制度. 公民在就业的第一年就交纳养老储备金,数目为a 1,以后每年交纳的数目均比上一年增加d (d >0),因此,历年所交纳的储务金数目a 1,a 2,„是一个公差为d 的等差数列,与此同时,国家给予优惠的计息政策,不仅采用固定利率,而且计算复利. 这就是说,如果固
n -1
定年利率为r (r >0),那么,在第n 年末,第一年所交纳的储备金就变为a 1(1+r ),第二年所
n -2
交纳的储备金就变为a 2(1+r ),„„,以T n 表示到第n 年末所累计的储备金总额. (Ⅰ)写出T n 与T n -1(n ≥2)的递推关系式;
(Ⅱ)求证:T n =A n +B n ,其中{A n }是一个等比数列,{B n }是一个等差数列.
例2. 某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部门审批同意方可投入生产,已知该厂连续生产n 个月的累计产量为f (n ) =
1
但如果月产量超过96吨,将会给环境造成危害. n (n +1)(2n -1) 吨,
2
(1)请你代表环保部门给该厂拟定最长的生产周期.
(2)若该厂在环保部门的规定下生产,但需要每月交纳a 万元的环保税,已知每吨产品售价0.6万
2
元,第n 个月的工人工资为g (n ) =n -n -1万元,若每月都赢利,求出a 的范围.
8525
例3. 某企业2003年的纯利润为500万元,因设备老化等原因,企业的生产能力将逐年下降. 若不能进行技术改造,预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元,今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造,预测在未扣除技术改造资金的情况下,第n 年(今年为第一年)的利润为500(1+
1
) 万元(n 为正整数). 2n
(Ⅰ)设从今年起的前n 年,若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A n 万元,进行技术改造后的累计纯利润为B n 万元(须扣除技术改造资金),求A n 、B n 的表达式;
(Ⅱ)依上述预测,从今年起该企业至少经过多少年,进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润?
例4. 为了解某校高三学生的视力情况,随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况,得到频率分布直方图,如右图所示;由于不慎将部分数据丢失,但知道前4组的频数从左到右依次是等比数列{a n }的前四项,后6组的频数从左到右依次是等差数列{b n }的前六项. (1)求数列{a n }和{bn }的通项公式; (3)设
(2)求视力不小于5.0的学生人数;
c c 1c 2
++ +n =b n +1(n ∈N +) a 1a 2a n
求数列{c n }的通项公式
例5. 某校为扩大教学规模,从今年起扩大招生,现有学生人数为b 人,以后学生人数年增长率为4.9‟.该校今年年初有旧实验设备a 套, 其中需要换掉的旧设备占了一半.学校决定每年以当年年初设备数量的10%的增长率增加新设备,同时每年换掉x 套的旧设备,
(1)如果10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番,那么每年应更换的旧设备是多少套?
(2)依照(1)更换速度,共需多少年能更换所有需要更换的旧设备? 下列数据供计算时参考:
题型2:综合问题
例6. 已知{an }是一个公差大于0的等差数列,且满足a 3a 6=55, a2+a7=16. (Ⅰ) 求数列{an }的通项公式:
(Ⅱ)若数列{an }和数列{bn }满足等式:a n ==前n 项和S n
+
b 1b 2b 3b +2+3+... n (n 为正整数) ,求数列{bn }的2222n
例7. (09山东卷文20)等比数列{a n }的前n 项和为S n , 已知对任意的n ∈N ,点(n , S n ) ,均在函数y =b x +r (b >0且b ≠1, b , r 均为常数) 的图像上. (1)求r 的值; (11)当b=2时,记 b n =
n +1
(n ∈N +) 求数列{b n }的前n 项和T n 4a n
例8. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,且3a n +1+2S n =3(n 为正整数). (1)求数列{a n }的通项公式;
(2)记S =a 1+a 2+ +a n + . 若对任意正整数n ,kS ≤S n 恒成立,求实数k 的最大值.
例9. (09北京卷文20)设数列{a n }的通项公式为a n =pn +q (n ∈N *, P >0) . 数列{b n }定义如下:对于正整数m ,b m 是使得不等式a n ≥m 成立的所有n 中的最小值.
(Ⅰ)若p =
11
, q =-,求b 3; 23
(Ⅱ)若p =2, q =-1,求数列{b m }的前2m 项和公式;
(Ⅲ)是否存在p 和q ,使得b m =3m +2(m ∈N *) ?如果存在,求p 和q 的取值范围;如果不存在,请说明理由.
例10. (09广东卷文20)已知点(1,
1
)是函数f (x ) =a x (a >0, 且a ≠1)的图象上一点,等比3
数列{a n }的前n 项和为f (n ) -c , 数列{b n }(b n >0) 的首项为c ,且前n 项和S n 满足S n -
S n -1=S n +S n +1(n ≥2).
(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式; (2)若数列{
10001
的最小正整数n 是多少? 前n 项和为T n ,问T n >
2009b n b n +1
例11. 设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知
S n =(1)求数列{a n }的通项公式;
⎧⎪a n (n 为奇数)
(2)若b n =⎨n ,数列{b n }
2 (n 为偶数)⎪⎩
的前n 项和为T n ,求T n ;
(3)A 同学利用第(2)小题中的T n ,设计 了一个程序如图,但B 同学认为这个程序如
果被执行会是一个“死循环”(即程序会永远 循环下去,而无法结束)。你是否同意B 同学 的观点?说明理由。
例12. 设数列{a n }的前
n 项和为S n ,对任意的正整数n ,都有a n =5S n +1成立,记
b n =
4+a n
(n ∈N *) 。1-a n
(I )求数列{a n }与数列{b n }的通项公式;
(II )设数列{b n }的前n 项和为R n ,是否存在正整数k ,使得R n ≥4k 成立?若存在,找出一个正整数k ;若不存在,请说明理由;
*
(III )记c n =b 2n -b 设数列{c n }的前n 项和为T n ,求证:对任意正整数n 都有T n
3
; 2
三.课外作业
22
1. 数列{a n }的通项a n =n (cos
n πn π-sin 2) ,其前n 项和为S n . 33
(1) 求S n ;
(2) b n =
S 3n
, 求数列{b n }的前n 项和T n . n
n ⋅4
2. 等差数列{a n }的公差d ≠0,它的一部分组成数列a k 1, a k 2, a k 3, , a k n 为等比数列,其中k 1=1,
k 2=5,k 3=17.
(Ⅰ)求等比数列a k 1, a k 2, a k 3, , a k n 的公比q ; (Ⅱ)记f (n ) =k n ,求f (n ) 的解析式; (Ⅲ)求k 1+k 2+ +k n 的值;
3. 已知数列{a n }、{b n }满足a 1=1,a 2=3,(1)求数列{b n }的通项公式; (2)求数列{a n }的通项公式;
(3)数列{c n }满足c n =log 2(a n +1) (n ∈N ) ,求S n =4. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ,点(n ,
*
b n +1
=2(n ∈N *) ,b n =a n +1-a n 。 b n
111
。 ++ +
c 1c 3c 3c 5c 2n -1c 2n +1
S n 111) 在直线y =x + 上;数列{b n }满足n 22
b n +2-2b n +1+b n =0(n ∈N *) ,且b 3=11,它的前9项和为153.
(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式; (2)设c n =
3
(2a n -11) (2b n 1-)
,数列{c n }的前n 项和为T n ,求使不等式T n >
k *
对一切n ∈N 都57
成立的最大正整数k 的值;
⎧1, l ∈N ) *⎪a n (n =2l -*
m ∈N (3)设f (n ) =⎨,是否存在,使得f (m +15) =5f (m ) 成立?若存在,*
⎪⎩b n (n =2l , l ∈N )
求出m 的值;若不存在,请说明理由.