高二数学函数的奇偶性苏教版知识精讲

高二数学函数的奇偶性苏教版

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

函数的奇偶性

二、教学目标：

了解函数奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法．掌握函数的奇偶性的定义及图象特征，并能判断和证明函数的奇偶性，能利用函数的奇偶性解决问题．

三、知识要点： （一）主要知识：

1 函数的奇偶性的定义； 2奇偶函数的性质：

（1）定义域关于原点对称；

（2）偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称； 3 f (x ) 为偶函数⇔f (x ) =f (|x |)．

4 若奇函数f (x ) 的定义域包含0，则f (0)=0．

（二）主要方法：

1. 判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，其次要考虑f (x )与f (-x )的关系。 2. 牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性；

3. 判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：f (x ) ±f (-x ) =0，

f (x )

=±1． f (-x )

4. 设f (x ) ，g (x ) 的定义域分别是D 1, D 2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇⨯奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶⨯偶＝偶，奇⨯偶＝奇．

5. 讨论函数的奇偶性的前提条件是函数的定义域关于原点对称，要重视这一点；

【典型例题】

例1. 下面四个结论：①偶函数的图象一定与y 轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y 轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f （x ）＝0（x ∈R ），其中正确命题的个数是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

分析：偶函数的图象关于y 轴对称，但不一定相交，因此③正确，①错误．奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，因此②不正确．

若y ＝f （x ）既是奇函数，又是偶函数，由定义可得f （x ）＝0，但不一定x ∈R ， 说明：既奇又偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为零．

例2判断下列各函数的奇偶性：

lg(1-x 2)

（2）f (x ) =2；

|x -2|-2

（1

）f (x ) =(x -

⎧x 2+x (x

（3）f (x ) =⎨2．

(x >0) ⎪⎩-x +x

1+x

解：（1）由 ≥0，得定义域为[-1,1) ，关于原点不对称，∴f (x ) 为非奇非偶函数．

1-x 2

⎧⎪1-x >0

（2）由⎨2得定义域为(-1,0) (0,1)，

⎪⎩|x -2|-2≠0

lg(1-x 2) lg(1-x 2)

=-∴f (x ) =，

-(x 2-2) -2x 2

lg[1-(-x ) 2]lg(1-x 2)

=-∵f (-x ) =-=f (x ) ∴f (x ) 为偶函数 22

(-x ) x

22

（3）当x 0，则f (-x ) =-(-x ) -x =-(x +x ) =-f (x ) ，

22

当x >0时，-x

综上所述，对任意的x ∈{x |x ≠0}，都有f (-x ) =-f (x ) ，∴f (x ) 为奇函数．

例3. 已知函数f (x ) 对一切x , y ∈R ，都有f (x +y ) =f (x ) +f (y ) ， （1）求证：f (x ) 是奇函数；（2）若f (-3) =a ，用a 表示f (12)． 解：（1）显然f (x ) 的定义域是R f (x +y ) =f (x ) +f (y ) 中，令y =-x ，得f (0)=f (x ) +f (-x ) ，令x =y =0，得f (0)=f (0)+f (0)，∴f (0)=0，

∴f (x ) +f (-x ) =0，即f (-x ) =-f (x ) ， ∴f (x ) 是奇函数．

（2）由f (-3) =a ，f (x +y ) =f (x ) +f (y ) 及f (x ) 是奇函数， 得f (12)=2f (6)=4f (3)=-4f (-3) =-4a ．

例4. （1）已知f (x ) 是R 上的奇函数，且当x ∈(0,+∞

) 时，f (x ) =x (1，则f (x

)

⎧⎪x (1+x ≥0的解析式为f (x ) =⎨

⎪⎩x (1x

（2）已知f (x ) 是偶函数，x ∈R ，当x >0时，f (x ) 为增函数，若x 10，且|x 1|

A . f (-x 1) >f (-x 2) B . f (-x 1) f (-x 2) D . -f (x 1)

例5. 设a 为实数，函数f (x ) =x +|x -a |+1，x ∈R ． （1）讨论f (x ) 的奇偶性； （2）求f (x ) 的最小值．

解：（1）当a =0时，f (-x ) =(-x ) +|-x |+1=f (x ) ，此时f (x ) 为偶函数； 当a ≠0时，f (a ) =a +1，f (-a ) =a +2|a |+1， ∴f (-a ) ≠f (a ), f (-a ) ≠-f (a ),

此时函数f (x ) 既不是奇函数也不是偶函数．

（2）①当x ≤a 时，函数f (x ) =x 2-x +a +1=(x -) 2+a +若a ≤

2

2

22

123， 4

1

，则函数f (x ) 在(-∞, a ]上单调递减，∴函数f (x ) 在(-∞, a ]上的最小值为2

f (a ) =a 2+1；

1131

若a >，函数f (x ) 在(-∞, a ]上的最小值为f () =+a ，且f () ≤f (a ) ．

2242

13

②当x ≥a 时，函数f (x ) =x 2+x -a +1=(x +) 2-a +，

24

1131

若a ≤-，则函数f (x ) 在[a , +∞) 上的最小值为f (-) =-a ，且f (-≤f (a ) ；

22421

若a >-，则函数f (x ) 在[a , +∞) 上单调递增，∴函数f (x ) 在[a , +∞) 上的最小值为

2

f (a ) =a 2+1．

1311

综上，当a ≤-时，函数f (x ) 的最小值是-a ，当-

2422

小值是a 2+1，

13当a >时，函数f (x ) 的最小值是a +．

24

【模拟试题】

1. 构造一个满足下面三个条件的函数实例，

①函数在(-∞, -1) 上递减；②函数具有奇偶性；③函数有最小值为0； ． 2. 函数F （x ）＝（1＋2/（2-1））f （x ）（x ≠0）是偶函数，且f （x ）不恒等于零，则f （x ）（ ）

A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 既是奇函数，又是偶函数 D. 非奇非偶函数

2

3. 已知函数f （x ）＝x ＋lg （x ＋x +1），若fA. ＝M ，则f （-a ）等于（ ）

x

2

A. 2a-M B. M-2a C. 2M-a D. a-2M 4. 若对正常数m 和任意实数x ，等式f (x +m ) =（ ） A . 函数B. 函数C. 函数D. 函数

2222

1+f (x )

成立，则下列说法正确的是

1-f (x )

f (x ) 是周期函数，最小正周期为2m f (x ) 是奇函数，但不是周期函数 f (x ) 是周期函数，最小正周期为4 m f (x ) 是偶函数，但不是周期函数

5. 已知f （x ） 是奇函数，且当x ∈（0，1）时，f （x ）＝ln （1/（1＋x ）），那么当x ∈（-1，0）时，f （x ）＝ ． 6. 判断下列函数的奇偶性

1

； ②y =2x -1+-2x ； x

⎧x 2+2(x >0) ⎪4

③y =x +x ； ④y =⎨0(x =0) ．

⎪-x 2-2(x

7. 已知f (x ) =x 2005+ax 3--8，f (-2) =10，求f (2) ．

x

①y =x 3+