一次函数2
4. (2011浙江温州,24,14分)如图,在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,点A 的坐标为(-4,0) ,点B 的坐标为(0,b)(b>0). P是直线AB 上的一个动点,作PC⊥x轴,垂足为C .记点P 关于y 轴的对称点为P' (点P' 不在y 轴上),连结PP' ,P'A ,P'C .设点P 的横坐标为a .
4
6. (2011江苏盐城,28,12分)如图,已知一次函数y = - x +7与正比例函数y = x
3
的图象交于点A ,且与x 轴交于点B. (1)求点A 和点B 的坐标;
(2)过点A 作AC ⊥y 轴于点C ,过点B 作直线l ∥y 轴.动点P 从原点O 出发,以每秒1
(1)当b =3时, ①求直线AB 的解析式;
②若点P' 的坐标是(-1,m) ,求m 的值;
(2)若点P 在第一象限,记直线AB 与P'C 的交点为D . 当P'D :DC=1:3时,求a 的值; (3)是否同时存在a ,b ,使△P'CA为等腰直角三角形?若存在,请求出所有满足要求的a ,b 的值;若不存在,请说明理由.
个单位长的速度,沿O —C —A 的路线向点A 运动;同时直线l 从点B 出发,以相同速度沿x 轴向左平移,在平移过程中,直线l 交x 轴于点R ,交线段BA 或线段AO 于点Q .当点P 到达点A 时,点P 和直线l 都停止运动.在运动过程中,设动点P 运动的时间为t 秒.
①当t 为何值时,以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8?
②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求t 的值;若不存在,
(备用图)
三、解答: 2.(2009年济宁市)阅读下面的材料: 在平面几何中,我们学过两条直线平行的定义. 下面就两个一次函数的图象所确定的两条直
线,给出它们平行的定义:设一次函数y =k 1x +b 1(k 1≠0) 的图象为直线l 1,一次函数
y =k 2x +b 2(k 2≠0) 的图象为直线l 2,若
k 1=k 2,
且b 1≠b 2,我们就称直线l 1与直线l 2互相平行.
解答下面的问题:
(1)求过点P (1,4) 且与已知直线y =-2x -1
平行的直线l 的函数表达式, 并画出直线l 的图
x
象;
(2)设直线l 分别与y 轴、x 轴交于点A 、B ,
如果直线m :y =kx +t (t >0) 与直线l 平行且交x 轴于点C ,求出△ABC 的面积S 关于t 的函数表达式.
【关键词】一次函数
3. (2009年济宁市)在平面直角坐标中,边长为2的正方形OABC 的两顶点A 、C 分别在y 轴、
x 轴的正半轴上,点O 在原点. 现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转,当A 点第一次落在直线
y =x 上时停止旋转,旋转过程中,AB 边交直线y =x 于点M ,BC 边交x 轴于点N (如图).
(1)求边OA 在旋转过程中所扫过的面积;
(2)旋转过程中,当MN 和AC 平行时,求正方形 OABC 旋转的度数;
(3)设∆MBN 的周长为p ,在旋转正方形OABC 的过程中,p 值是否有变化?请证明你的结论.
【关键词】动态问题
x
4.(2009年衡阳市)在一次远足活动中,某班学生分成两组,第一组由甲地匀速步行到乙地后原路返回,第二组由甲地匀速步行经乙地继续前行到丙地后原路返回,两组同时出发,设步行的时间为t (h ),两组离乙地的距离分别为S 1(km )和S 2(km),图中的折线分别表示S 1、S 2与t 之间的函数关系.
(1)甲、乙两地之间的距离为 8 km ,乙、丙两地之间的距离为 2 km ; (2)求第二组由甲地出发首次到达乙地及由乙地到达丙地所用的时间分别是多少? (3)求图中线段AB 所表示的S 2与t 间的函数关系式,并写出自变量t 的取值范围.
【关键词】一次函数折线图
5.(2009年衡阳市)如图,直线y =-x +4与两坐标轴分别相交于A.B 点,点M 是线段AB 上任意一点(A.B 两点除外),过M 分别作MC ⊥OA 于点C ,MD ⊥OB 于D . (1)当点M 在AB 上运动时,你认为四边形OCMD 的周长是否发生变化?并说明理由; (2)当点M 运动到什么位置时,四边形OCMD 的面积有最大值?最大值是多少?
(3)当四边形OCMD 为正方形时,将四边形OCMD 沿着x 轴的正方向移动,设平移的距
离为a (0
图(2)
图(3)
【关键词】一次函数、正方形、动态
:
6. (2009年贵州省黔东南州)凯里市某大型酒店有包房100间,在每天晚餐营业时间,每间包房收包房费100元时,包房便可全部租出;若每间包房收费提高20元,则减少10间包房租出,若每间包房收费再提高20元,则再减少10间包房租出,以每次提高20元的这种方法变化下去。
(1)设每间包房收费提高x (元),则每间包房的收入为y 1(元),但会减少y 2间包房租出,请分别写出y 1、y 2与x 之间的函数关系式。
(2)为了投资少而利润大,每间包房提高x (元)后,设酒店老板每天晚餐包房总收入为y (元),请写出y 与x 之间的函数关系式,求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入,并说明理由。 【关键词】确定一次函数解析式
7. (2009年江苏省)某加油站五月份营销一种油品的销售利润y (万元)与销售量x (万升)之间函数关系的图象如图中折线所示,该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元,截止至15日进油时的销售利润为5.5万元.(销售利润=(售价-成本价)×销售量) 请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息,解答下列问题: (1)求销售量x 为多少时,销售利润为4万元; (2)分别求出线段AB 与BC 所对应的函数关系式;
(3)我们把销售每升油所获得的利润称为利润率,那么,在O A.AB.BC 三段所表示的销售信息中,哪一段的利润率最大?(直接写出答案)
【关键词】一次函数的实际问题
8.(2009年陕西省) 在一次运输任务中,一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地,到达乙地卸货后返回.设汽车从甲地出发x (h)时,汽车与甲地的距离为y (km),y 与x 的函数关系如图所示.
根据图像信息,解答下列问题:
(1)这辆汽车的往、返速度是否相同?请说明理由; (2)求返程中y 与x 之间的函数表达式;
(3)求这辆汽车从甲地出发4h 时与甲地的距离.
【关键词】一次函数图表信息题
9. (2009成都) 已知一次函数y =x +2与反比例函数y =
k
x
,其中一次函数y =x +2的图象经过点P(k ,5) .
(1)试确定反比例函数的表达式;
(2)若点Q 是上述一次函数与反比例函数图象在第三象限的交点,求点Q 的坐标. 【关键词】 【答案】(1)∵一次函数y=x+2的图像经过点P ∴5=k+2 ∴k=3
∴反比例函数解析式为y=
3x
⎧y =x +2
(2)由⎪
⎨⎪3
,解得⎧⎨x =-3⎧x =3⎩
y =x ⎩y =-1或⎨ ⎩y =1∵点Q 在第三象限
∴Q(-3,-1)
10.(2009年安顺) 已知一次函数y =kx +b (k ≠0) 和反比例函数y =
k
2x
的图象交于点A(1,1)
(1) 求两个函数的解析式;
(2) 若点B 是x 轴上一点,且△AOB 是直角三角形,求B 点的坐标。 【关键词】确定一次函数解析式,反比例函数 【答案】(1)∵点A (1,1)在反比例函数y =
k
2x 的图象上, ∴k=2.∴反比例函数的解析式为:y =1
x
.
一次函数的解析式为:y =2x +b .
∵点A (1,1)在一次函数y =2x +b 的图象上 ∴b =-1. ∴一次函数的解析式为y =2x -1
(2)∵点A (1,1) ∴∠AOB=45o .
∵△AOB 是直角三角形 ∴点B 只能在x 轴正半轴上. ① 当∠OB 1A=90 o时,即B 1A ⊥OB 1.
∵∠AOB 1=45o ∴B 1A= OB1 . ∴B 1(1,0). ② 当∠O A B2=90 o时,∠AOB 2=∠AB 2O=45o , ∴B 1 是OB 2中点, ∴B 2(2,0). 综上可知,B 点坐标为(1,0)或(2,0).
11.(2009重庆綦江)如图,一次函数y =kx +b (k ≠0) 的图象与反比例函数y =m
x
(m ≠0) 的图象相交于A.B 两点.
(1)根据图象,分别写出点A.B 的坐标; (2)求出这两个函数的解析式.
【关键词】一次函数,反比例函数
【答案】(1)解:由图象知,点A 的坐标为(-6,
-1) , 点B 的坐标为(3,2) (2)∵反比例函数y =m
x
的图象经过点B , ∴2=
m
3
,即m =6. ∴所求的反比例函数解析式为y =
6x
. ∵一次函数y =kx +b 的图象经过A 、B 两点,
∴⎨
⎧-1=-6k +b
⎩2=3k +b
⎧解这个方程组,得⎪1⎨k =
3
⎪⎩b =1
∴所求的一次函数解析式为y =
1
3
x +1. 12.(2009威海)一次函数y =ax +b 的图象分别与x 轴、y 轴交于点M , N ,与反比例函数
y =
k
x
的图象相交于点A , B .过点A 分别作AC ⊥x 轴,AE ⊥y 轴,垂足分别为C , E ;过点B 分别作BF ⊥x 轴,BD ⊥y 轴,垂足分别为F ,D ,AC 与BD 交于点K ,连接CD .
(1)若点A ,B 在反比例函数y =k
x
的图象的同一分支上,如图1,试证明: ①S 四边形AEDK =S 四边形CFBK ; ②AN =BM .
(2)若点A ,B 分别在反比例函数y =k
x
的图象的不同分支上,如图2,则AN 与BM 还相等
吗?试证明你的结论.
)
【关键词】反比例函数图像的性质,平行四边形的判定,矩形的性质与判定 【答案】(1)①
AC ⊥x 轴,AE ⊥y 轴,
∴四边形AEOC 为矩形.
BF ⊥x 轴,BD ⊥y 轴,
∴四边形BDOF 为矩形.
AC ⊥x 轴,BD ⊥y 轴,
∴四边形AEDK ,DOCK ,CFBK 均为矩形.
OC =x 1,AC =y 1,x 1y 1=k ,
∴S 矩形
AEOC =OC AC =x 1y 1=k OF =x 2,FB =y 2,x 2y 2=k ,
∴S 矩形BDOF =OF FB =x 2y 2=k . ∴S 矩形AEOC =S 矩形BDOF .
S 矩形AEDK =S 矩形AEOC -S 矩形DOCK ,
S 矩形CFBK =S 矩形BDOF -S 矩形DOCK ,
∴S 矩形AEDK =S 矩形CFBK .
②由(1)知S 矩形AEDK =S 矩形CFBK .
∴AK DK =BK CK .
∴
AK CK =BK
DK
. ∠AKB =∠CKD =90°, ∴△AKB ∽△CKD . ∴∠CDK =∠ABK . ∴AB ∥CD .
AC ∥y 轴,
∴四边形ACDN 是平行四边形. ∴AN =CD .
同理BM =CD . ∴AN =BM .
(2)AN 与BM 仍然相等.
S 矩形AEDK =S 矩形AEOC +S 矩形ODKC , S 矩形BKCF =S 矩形BDOF +S 矩形ODKC ,
又
S 矩形AEOC =S 矩形BDOF =k ,
∴S 矩形AEDK =S 矩形BKCF .
∴AK DK =BK CK . ∴
CK DK
AK =BK
. ∠K =∠K ,
∴△CDK ∽△ABK . ∴∠CDK =∠ABK . ∴AB ∥CD .
AC ∥y 轴,
∴四边形ANDC 是平行四边形. ∴AN =CD .
同理BM =CD . ∴AN =BM .
13. (2009年贵州省黔东南州)凯里市某大型酒店有包房100间,在每天晚餐营业时间,每间包房收包房费100元时,包房便可全部租出;若每间包房收费提高20元,则减少10间包房租出,若每间包房收费再提高20元,则再减少10间包房租出,以每次提高20元的这种方法变化下去。 (1)设每间包房收费提高x (元),则每间包房的收入为y 1(元),但会减少y 2间包房租出,请分别写出y 1、y 2与x 之间的函数关系式。
(2)为了投资少而利润大,每间包房提高x (元)后,设酒店老板每天晚餐包房总收入为y (元),请写出y 与x 之间的函数关系式,求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入,并说明理由。 【关键词】确定一次函数解析式 【答案】解:(1)y 1=100+x
y 2=
1
2
x (2)y =(100+x ) ∙(100-12
x ) 即:y =-
1
2
(x -50) 2+11250 因为提价前包房费总收入为100×100=10000。
当x=50时,可获最大包房收入11250元,因为11250>10000。又因为每次提价为20元,所以每间包房晚餐应提高40元或60元。
14. (2009年江苏省)某加油站五月份营销一种油品的销售利润y (万元)与销售量x (万升)之间函数关系的图象如图中折线所示,该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元,截止至15日进油时的销售利润为5.5万元.(销售利润=(售价-成本价)×销售量) 请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息,解答下列问题: (1)求销售量x 为多少时,销售利润为4万元; (2)分别求出线段AB 与BC 所对应的函数关系式;
(3)我们把销售每升油所获得的利润称为利润率,那么,在O A.AB.BC 三段所表示的销售信息中,哪一段的利润率最大?(直接写出答案)
【关键词】一次函数的实际问题
【答案】.解法一:(1)根据题意,当销售利润为4万元,销售量为4÷(5-4) =4(万
升).
答:销售量x 为4万升时销售利润为4万元.
(2)点A 的坐标为(4,4) ,从13日到15日利润为5.5-4=1.5(万元), 所以销售量为1.5÷(5.5-4) =1(万升),所以点B 的坐标为(5,
5.5) . 设线段AB 所对应的函数关系式为y =kx +b ,则⎨
⎧4=4k +b ,⎧k 5.5=5k +b . 解得⎨=1.5,
b =-2.
⎩⎩∴线段AB 所对应的函数关系式为y =1.5x -2(4≤x ≤5) .
从15日到31日销售5万升,利润为1⨯1.5+4⨯(5.5-4.5) =5.5(万元).
∴本月销售该油品的利润为5.5+5.5=11(万元)
,所以点C 的坐标为(10,11) . 设线段BC 所对应的函数关系式为y =mx +n ,则⎨
⎧5.5=5m +n ,⎧m 11=10m +n . 解得⎨=1.1,
n =0.
⎩⎩所以线段BC 所对应的函数关系式为y =1.1x (5≤x ≤10) . (3)线段AB .
解法二:(1)根据题意,线段OA 所对应的函数关系式为y =(5-4) x ,即y =x (0≤x ≤4) .
当y =4时,x =4.
答:销售量为4万升时,销售利润为4万元.
(2)根据题意,线段AB 对应的函数关系式为y =1⨯4+(5.5-4) ⨯(x -4) , 即y =1.5x -2(4≤x ≤5) .
把y =5.5代入y =1.5x -2,得x =5,所以点B 的坐标为(5,
5.5) . 截止到15日进油时的库存量为6-5=1(万升).
当销售量大于5万升时,即线段BC 所对应的销售关系中, 每升油的成本价=
1⨯4+4⨯4.5
5
=4.4(元).
所以,线段BC 所对应的函数关系为
y =(1.5⨯5-2) +(5.5-4.4)(x -5) =1.1x (5≤x ≤10) .
(3)线段AB . 15.(2009 黑龙江大兴安岭)邮递员小王从县城出发,骑自行车到A 村投递,途中遇到县城中学的学生李明从A 村步行返校.小王在A 村完成投递工作后,返回县城途中又遇到李明,便用自行车载上李明,一起到达县城,结果小王比预计时间晚到1分钟.二人与县城间的距离s (千米) 和小王从县城出发后所用的时间t (分) 之间的函数关系如图,假设二人之间交流的时间忽略不计,求:
(1)小王和李明第一次相遇时,距县城多少千米?请直接写出答案. (2)小王从县城出发到返回县城所用的时间. (3)李明从A 村到县城共用多长时间?
分
【关键词】一次函数的实际问题 【答案】(1) 4千米,
(2)解法一:
6-180-60=1
4
6
1+60=84
4
84+1=85 解法二: 求出解析式s =-1
4
t +21 s =0, t =84 84+1=85 (3) 写出解析式s =-
1
20
t +5 s =6, t =-20
20+85=105
16.某电脑公司经销甲种型号电脑,受经济危机影响,电脑价格不断下降.今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元,如果卖出相同数量的电脑,去年销售额为10万元,今年销售额只有8万元.
(1)今年三月份甲种电脑每台售价多少元?
(2)为了增加收入,电脑公司决定再经销乙种型号电脑.已知甲种电脑每台进价为3500元,乙种电脑每台进价为3000元,公司预计用不多于5万元且不少于4. 8万元的资金购进这两种电脑共15台,有几种进货方案?
(3)如果乙种电脑每台售价为3800元,为打开乙种电脑的销路,公司决定每售出一台乙种电脑,返还顾客现金a 元,要使(2)中所有方案获利相同,a 值应是多少?此时,哪种方案对公司更有利?
【关键词】分式方程、一次函数与一元一次不等式(组) 【答案】解:(1)设今年三月份甲种电脑每台售价x 元
100000x +1000=80000
x
解得: x =4000
经检验: x =4000是原方程的根,
所以甲种电脑今年三月份每台售价4000元. (2)设购进甲种电脑x 台,
48000≤3500x +3000(15-x ) ≤50000
解得 6≤x ≤10
因为x 的正整数解为6,7,8,9,10, 所以共有5种进货方案 (3) 设总获利为W 元,
∴⎨
⎧0.5k +b =10000⎧k =-200
解得⎨
⎩10.5k +b =8000⎩b =10100
故所求函数解析式为:y =-200x +10100. (3)可以.
∵给18辆车加气需18⨯20=360(立方米),储气量为10000-360=9640(立方米), 于是有:9640=-200x +10100,解得:x =2.3,
而从8:00到10:30相差2.5小时,显然有:2.3
加上押金控制在不低于34万元,但不高于40万元.若一年内该产品的售价y (万
元/台)与月次x (1≤x ≤12且为整数)满足关系是式:
W =(4000-3500) x +(3800-3000-a )(15-x )
=(a -300) x +12000-15a
当a =300时, (2)中所有方案获利相同.
此时, 购买甲种电脑6台, 乙种电脑9台时对公司更有利. 17.(2009年新疆乌鲁木齐市)星期天8:00~8:30,燃气公司给平安加气站的储气罐注入天然气.之后,一位工作人员以每车20立方米的加气量,依次给在加气
站排队等候的若干辆车加气.储气罐中的储气量y (立方米)与时间x (小时)的函数关系如图2所示.
(1)8:00~8:30,燃气公司向储气罐注入了多少立方米的天然气?
(2)当x ≥0.5时,求储气罐中的储气量y (立方米)与时间x (小时)的函数解析式;
(3)请你判断,正在排队等候的第18辆车能否在当天10:30之前加完气?请说明理由.
【关键词】一次函数图象性质
⎧-0.05x +0.25(1≤x
⎪0.015x +0.01(6
次x 之间存在如图所示的变化趋势. ⑴ 直接写出实际每月的销售量p (台)与月次x 之间 ......
)
【答案】解:(1)由图可知,星期天当日注入了10000-2000=8000立方米的天然气;2分 (2)当x ≥0.5时,设储气罐中的储气量y (立方米)与时间x (小时)的函数解析式为:
的函数关系式;
⑵ 求前三个月中每月的实际销售利润w (万元)与月 次x 之间的函数关系式;
⑶ 试判断全年哪一个月的的售价最高,并指出最高售价; ⑷ 请通过计算说明他这一年是否完成了年初计划的销售量.
y =kx +b (k ,b 为常数,且k ≠0),000) ,(10.5,8000) , ,∵它的图象过点(0.510
x
【关键词】一次函数综合题
【答案】 19.(2009年茂名市)如图,把一个转盘分成四等份,依次标上数字1、2、3、4,若连续自由
转动转盘二次,指针指向的数字分别记作a 、b ,把a 、b 作为点A 的横、纵坐标.
(1)求点A (a ,b ) 的个数; (2)求点A (a ,b ) 在函数y =x 的图象上的概率.
【关键词】一次函数与概率相关
【答案】
20.(2009年茂名市)已知:如图,直径为OA 的⊙M 与x 轴交于点O 、A ,点B 、C 把OA 分
为三等份,连接MC 并延长交y 轴于点D (0,.
3) (1)求证:△OMD ≌△BAO ; (6分) (2)若直线l :y =kx +b 把⊙
M +b =0.(4分)
【关键词】与圆有关的一次函数
【答案】
21.(09湖南邵阳)如图(十二),直线l 的解析式为y =-x +4,它与x 轴、y 轴分别相交于A 、B
两点.平行于直线l 的直线m 从原点O 出发,沿x 轴的正方形以每秒1个单位长度的速度运动,它与x 轴、y 轴分别相交于M 、N 两点,设运动时间为t 秒(0
(2)用含t 的代数式表示△MON 的面积S 1;
(3)以MN 为对角线作矩形OMPN ,记△MPN 和△OAB 重合部分的面积为S 2, ①当2
间的函数关系式; ②在直线m 的运动过程中,当t 为何
值时,S 面积的52为△OAB 16
?
【关键词】直角坐标系、一元二次方程解法及应用、一次函数的实际应用
【答案】解 (1)当x =0时,y =4;当y =0时,x =4.∴A (4,,(0) B 0,4); (2)
MN ∥AB ,∴
OM ON =OA OB =1,∴OM =ON =t ,∴S 11
1=2OM ·ON =2
t 2; (3)①当2
F 点的坐标满足⎨
⎧x =t ,
-t +4,
即F (t ,
4-t ) , ⎩y =同理E (4-t ,t ) ,则PF =PE =t -(4-t =2t -4, 所以S 2=S △MPN -S △PEF =S △OMN -S △PEF
=12t 2-12PE ·PF =12t 2-122t -4)(2t -4) =-32
t 2+8t -8; ②当0
16⨯12⨯4⨯4=5
2
,
解得t 1=2,两个都不合题意,舍去;
当2
2t 2+8t -8=52,解得t 7
3=3,t 4=3
, 综上得,当t =73或t =3时,S △OAB 的面积的5
2为16
.
(第10题)
22.(09湖北宜昌)
【实际背景】
预警方案确定:
设W =当月的500克猪肉价格
当月的500克玉米价格 .如果当月W
【问题解决】
(1)若今年3月的猪肉价格比上月下降的百分数与5月的猪肉价格比上月下降的百分数相等,求3月的猪肉价格m ;
(2)若今年6月及以后月份,玉米价格增长的规律不变,而每月的猪肉价格按照5月的猪肉价格比上月下降的百分数继续下降,请你预测7月时是否要采取措施防止“猪贱伤农”; (3)若今年6月及以后月份,每月玉米价格增长率是当月猪肉价格增长率的2倍,而每月的猪肉价格增长率都为a ,则到7月时只用5.5元就可以买到500克猪肉和500克玉米.请你预测8月时是否要采取措施防止“猪贱伤农”.
(1)由题意,
m -7.5-6.257.5
=
66.25
,
解得: m =7.2.
2)从2月~5月玉米的价格变化知,后一个月总是比前一个月价格每500克增长0.1元.
(或:设y =kx +b ,将(2,0.7),(3,0.8)代入,得到y =0.1x +0.5,把(4,0.9), ∴6月玉米的价格是:1.1元/500克;
∵5月增长率:6-6.2516.25
=-
25
,∴6月猪肉的价格:6(1-
125
)=5.76元/500克.
∴W =
5.761.1
=5.24
3)7月猪肉价格是:6(1+a ) 2
元/500克; 7月玉米价格是:1(1+2a ) 2
元/500克; 6(1+a ) 2+1(1+2a ) 2
=5.5,
解得,a =-133
10
或a =-2
. a =-2
不合题意,舍去.
6(1-
1)
2
∴W =
, W (≈7. 59>) ,∴6不(或:不一定) 需要采取措施.
1(1-12
5
)
【关键词】分式方程、一元二次方程解法及应用、阅读理解题、一次函数的实际问题【答案】解: ((由题意,
23.(2009年河北) 某公司装修需用A 型板材240块、B 型板材180块,A 型板材规格是60 cm×30 cm ,B 型板材规格是40 cm×30 cm.现只能购得规格是150 cm×30 cm的标准板材.一张标准板材尽可能多地裁出A 型、B 型板材,共有下列三种裁法:(图15是裁法一的裁剪示意图)
24.(2009年潍坊) 某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务,有一批蔬菜产品需要装入某一规格的纸箱.供应这种纸箱有两种方案可供选择:
设所购的标准板材全部裁完,其中按裁法一裁x 张、按裁法二裁y 张、按裁法三裁z 张,且所裁出的A.B 两种型号的板材刚好够用. (1)上表中,m = ,n = ; (2)分别求出y 与x 和z 与x 的函数关系式;
(3)若用Q 表示所购标准板材的张数,求Q 与x 的函数关系式,
并指出当x 取何值时Q 最小,此时按三种裁法各裁标准板材
多少张?
【关键词】函数的运用 【答案】解:(1)0 ,3.
(2)由题意,得
x +2y =240, ∴y =120-1
2
x .
2x +3z =180,∴z =60-2
3
x .
(3)由题意,得 Q =x +y +z =x +120-12
2x +60-3
x .
整理,得 Q =180-1
6x .
⎧120-1x 由题意,得⎪⎪⎨2
⎪2
⎪⎩
60-3x 解得 x ≤90.
【注:事实上,0≤x ≤90 且x 是6的整数倍】
由一次函数的性质可知,当x =90时,Q 最小.
此时按三种裁法分别裁90张、75张、0张.
单位:cm 图15
方案一:从纸箱厂定制购买,每个纸箱价格为4元;
方案二:由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱,机器租赁费按生产纸箱数收取.工厂需要一次性投入机器安装等费用16000元,每加工一个纸箱还需成本费2.4元.
(1)若需要这种规格的纸箱x 个,请分别写出从纸箱厂购买纸箱的费用y 1(元)和蔬菜加工厂自己加工制作纸箱的费用y 2(元)关于x (个)的函数关系式; (2)假设你是决策者,你认为应该选择哪种方案?并说明理由. 解:(1)从纸箱厂定制购买纸箱费用:
y 1=4x
蔬菜加工厂自己加工纸箱费用:
y 2=2.4x +16000.
(2)y 2-y 1=(2.4x +16000) -4x
=16000-1.6x ,
由y 1=y 2,得:16000-1.6x =0, 解得:x =10000.
∴当x
选择方案一,从纸箱厂定制购买纸箱所需的费用低.
∴当x >10000时,y 1>y 2,
选择方案二,蔬菜加工厂自己加工纸箱所需的费用低.
∴当x =10000时,y 1=y 2,
两种方案都可以,两种方案所需的费用相同.