[直角三角形的边角关系]专题专练及答案
《直角三角形的边角关系》专题专练
专题一：锐角三角函数
考点分析：
在理解三角函数定义的基础上，理解并掌握三角函数有关的概念及性质； 典例剖析
例1．（2009年湖北省孝感市）如图1，角α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P （3，4），则 sin α= ．
分析：先用勾股定理求出第三边，再利用三角函数的定义求解 解：根据点P 的坐标利用勾股定理可以求得OP=32+42=5. 所以sin α=
α的对边
斜边
=
4
. 5
图1
点评：过已知点向坐标轴引垂线构造直角三角形，利用这点的坐标求出对应线段的长度，便可计算要求的锐角的三角函数值.
例2．在Rt △ABC 中，∠C =90°，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，若b =2a ，则tan A = ．
分析：由于正切与两条直角边有关，故直接利用三角函数的定义求解 解：因为tan A =
a a 1
== b 2a 2
点评：本题重点考查学生对正切定义的理解和运用情况，只要记住定义，就可以把边的比转化为正切了
专练一：
, 则cosB 的值为( ) 1
A.1
D.
2
1、在△ABC 中, ∠C=90°
2、若
且α为锐角, 则cos α等于( ) A.
1
B.
22
2
⎫1sin A -+tan B =0, 则∠3、在△ABC 中,
若C 的度数为( ) ⎪⎪2⎝⎭
A.30° B.60° C.90° D.120°
4、把Rt △ABC 的三边都扩大十倍，关于锐角A 的正弦值：甲同学说扩大十倍；乙同学说不变；丙同学说缩小十倍. 那么你认为正确的说法应是
A. 甲 B. 乙 C. 丙 5、（1
）已知tan α=则锐角α的度数为_____; （2
）若cos α D. 都不正确
=0, 则锐角α的度数为_____. 6、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝12，BC ＝15。 （1）求AB 的长； （2）求sinA 、cosA 的值； （3）求sin A +cos A 的值； （4）比较sinA 、cosB 的大小。
7、要求tan30°的值, 可构造如图1所示的直角三角形进行计算. 作Rt △ABC, 使∠C=90°, 斜边AB=2,直角边AC=1, 那么
∠ABC= 30 °, ∴tan30°
=
︒
2
2
A
1
B 图1
AC ==. BC 在此图的基础上, 通过添加适当的辅助线, 可求出tan15°的值, 请简要写出你添加的辅助线和求出的tan15°的值.
专题二：锐角的三角函数值
考点分析：
熟记特殊角的三角函数值，正确使用计算器解答锐角三角函数值和由锐角三角函数值求角的问题；
典例剖析
例1. （2009年浙江省湖州市）如图4，在Rt △ABC 中，
∠ACB =Rt ∠，BC =1，AB =2，则下列结论正确的是（ ）
A
．sin A =
1 B ．tan A =
22
图4
C
．cos B =
D
．tan B =
【分析】此题考查了特殊角的三角函数值. 由已知可知∠A=30°，∠B=60°，对照30°、 60°的三角函数值选择正确答案. 【解】根据以上分析应选D.
【点评】熟记特殊角30°、45°、60°的三角函数值是解题的关键. 本题也可以通过勾股定理计算出AC ，然后根据锐角三角函数定义判断.
例2．（2009·四川省遂宁市）如图3，已知△ABC 中，AB=5cm，BC=12cm，AC=13cm，那么AC 边上的中线BD 的长为 cm.
分析：本题可以根据定义转化为边的比，也可以利用特殊角的三角函数值求解
2
2
2
图3
解：由勾股定理的逆定理、直角三角形斜边上的中线性质. 由5+12=13知△ABC 是直角三角形，AC 是斜边，所以BD=
1
AC=13cm. 22
点评：由数量关系判断三角形的形状，这是数形结合思想的体现. 学习时要注意把直角三角形所有的知识都归纳起来，从而达到综合运用知识的能力.
专练二：
1、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，若tan A =
3
，则sinA ＝（ ） 4
4353A 、 B 、 C 、 D 、
3435
2、若tan(α+100) =1，则锐角α的度数是（ ）
A 、200 B 、300 C 、400 D 、500 A 、6 B 、5 C 、4 D 、2 3、如图2，两条宽度都是1的纸条交叉叠在一起，且它们的夹角为α，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积是（ ） A 、
11
B 、 sin αcos α
C 、sin α D 、1
4、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，∠A 、∠B 的对边分别是a 、b ，且满足a -ab -b =0，则tanA 等于（ ）
2
2
图
2
A 、1 B 、
1+51-1±5
C 、 D 、
222
5、李红同学遇到了这样一道题：tan(α+20°)=1，你猜想锐角α的度数应是
A.40° B.30° C.20° D.10° 6、在△ABC 中，若tan A =1，sin B =
2
，你认为最确切的判断是 2
A. △ABC 是等腰三角形 B. △ABC 是等腰直角三角形 C. △ABC 是直角三角形 D. △ABC 是一般锐角三角形 7、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，若AC ∶AB ＝1∶3，则cotB ＝ 。 8、等腰三角形的底边长20 cm，面积为
100
3 cm 2，求它的各内角. 3
A
9、如图2，菱形的一个内角为50，较短的对角线长为8cm ，求： （1）较长的对角线长；（精确到0. 1cm ）；
（2）菱形的面积（精确到1cm 2）（其中tan 25＝0. 4663）
10、已知如图4，AB ∥DC ，∠D ＝900，BC ＝，AB ＝4，
B
O
D
图3
1
tan C ＝，求梯形ABCD 的面积。
3
A B
D C
图4
专题三：解直角三角形及应用
考点分析：
理解掌握解直角三角形的基本知识、熟悉直角三角形中的边角关系，具有构造直角三角形解决问题的意识和能力；能利用解直角三角形的有关知识，解决测量、航行、工程技术等生活中的实际问题，培养数学应用意识和能
典例剖析
例1. （2009年山东省德州市、广东省深圳市）如图5，斜坡AC 的坡度（坡比）为1:3，AC ＝10米．坡顶有一旗杆BC ，旗杆顶端B 点与A 点有一条彩带AB 相连，AB ＝14米．试求旗
B
杆BC 的高度．
分析：BC
所在的三角形是斜三角形，所以它的高度无法直接求得， 我们可以过点C 作AD 的垂线，结合坡比这个条件计算CE 、AE ，
再计算BE ，从而通过BE 、CE 的差求BC.
解：延长BC 交AD 于E 点，则CE ⊥AD ．
在Rt △AEC 中，AC ＝10， 由坡比为1CAE ＝30°， ∴ CE＝AC ·sin30°＝10×
D
E
A
图5
1
＝5，AE ＝AC ·cos30°＝10．
2
在Rt △ABE 中，BE ＝11． ∵ BE＝BC ＋CE ，∴ BC＝BE －CE ＝11-5＝6（米）． 答：旗杆的高度为6米．
点评：过合适的点作垂线构造直角三角形，利用锐角三角函数和勾股定理计算线段的长度.
例2. （2009年山东省威海市）如图6，一巡逻艇航行至海面B 处时，得知其正北方向上C 处一渔船发生故障．已知港口A 处在B 处的北偏西37方向上，距B 处20海里；C 处在A 处的北偏东65方向上．求B , C 之间的距离（结果精确到0.1海里）．
cos37≈0.80，tan37≈0.75，参考数据：sin37≈0.60， sin 65≈0.91，cos65≈0.42，tan 65≈2.14.
分析：过点A 作AD ⊥BC 于D ，在Rt △ABD 中利用正弦、
余弦函数计算BD 、AD ，在Rt △ACD 中利用正切求CD ，即可计算BC 的长.
图6
解：过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ．在Rt △ABD 中，AB =20，∠B =37°，
AD =AB ·sin 37°=20sin 37°≈12．BD =AB ·cos37°=20cos37°≈16．
在Rt △ADC 中，∠ACD =65°，∴CD =
AD 12
≈≈5.61，
tan 65°2.14
∴BC =BD +CD ≈5.61+16=21.61≈21.6（海里）
答：B ，C 之间的距离约为21.6海里．
点评：正确解答这类问题，第一步，根据材料提供背景，画出几何图形，并把实际问题数学化，分析出作为一个数学问题的已知条件和问题。第二步，根据所给条件运用解直角三角形的知识正确解答
专练三：
1、重庆市“旧城改造”中，计划在市内一块如图8所示的三角形空地上种植某种草皮，以美化环境。已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要（ ） A 、450a 元 B 、225a 元 C 、150a 元 D 、300a 元
图8
图
9
图10
2、如图9，某地夏季中午，当太阳移至房顶上方偏南时，光线与地面成80°角，房屋朝南的窗子高AB =1.8 m，要在窗子外面上方安装水平挡光板AC ，使午间光线不能直接射入室内，那么挡光板的宽度AC 为
A.1.8tan80°m C.
B.1.8cos80°m D.
1. 8
m
sin 80︒1. 8
m
tan 80︒
3、身高相同的三个小朋友甲、乙、丙放风筝，他们放出的线长分别为300 m，250 m，200 m；线与地面所成的角度分别为30°，45°，60°(假设风筝线是拉直的) ，则三人所放的风筝
A. 甲的最高 B. 乙的最低 C. 丙的最低 D. 乙的最高 4、如图10，某建筑物BC 直立于水平地面，AC =9米，要建造阶梯AB ，使每阶高不超过20 cm，则此阶梯最少要建_____阶.(最后一阶的高度不足20 cm时，按一阶算，3取1.732) 5、在数学活动课上，老师带领学生去测河宽，如图11， 某学生在点A 处观测到河对岸水边处有一点C ，并测得
∠CAD ＝450，在距离A 点30米的B 处测得∠CBD ＝300， 求河宽CD （结果可带根号）。
6、如图12：在小山的东侧A 处有一热气球，以每分钟28米的 速度沿着与垂直方向夹角为300的方向飞行，半小时后到达C 处， 这时气球上的人发现，在A 处的正西方向有一处着火点B ，5分钟后， 在D 处测得着火点B 的府角是150，求热气球升空点A 与着火点B 的距离。（结果保留根号，参考数据：sin 15=
图
11
6-2
， 4
图
12
cos 150=
+200
，tan 15=2-3，cot 15=2+） 4
7、一艘轮船从西向东航行，上午10时航行到点A 处，此时测得在 船北偏东30°上有一灯塔B ，到11时测得灯塔B 正好在船的正北 方向，此时轮船所处位置为C 点 (如图13) ，若该船的航行速度为 每小时20海里，那么船在C 点时距离灯塔B 多远？(3取1.73)
图13
8、如图14，河岸护堤AD 、BC 互相平行，要测量河两岸相对 两树A 、B 的距离，小赵从B 点沿垂直AB 的BC 方向前进， 他手中有足够长的米尺和含有30°角的一块三角板. (1)请你帮小赵设计一下测量AB 长的具体方案; (2)给出具体的数值，求出AB 的长.
图14
参考答案： 专练一：
1、B ；2、A ；3、D ；4、B ；5、（1）60°；（2）30°；
6、分析：在Rt △ABC 中，已知两直角边长求斜边长可应用勾股定理，再利用两直角边长与斜边长的比分别求出sinA 、cosA 的大小，从而便可以计算出sin A +cos A 的大小，即可比较sinA 与cosB 的大小。
答案：（1）AB ＝13； （2）sinA ＝
2
2
2
2
512
，cosA ＝； 1313
（3）sin A +cos A =1； （4）sinA ＝cosB 7、延长CB 到D, 使BD=BA,则∠D=∠DAB. 又∠D+∠DAB=30°, 故∠D=15°.
故tan15°
=专练二：
1、D ；2、A ；3、A ；4、B ；5、D ；6、B ；7、22； 8、解：设等腰三角形底边上的高为x cm，底角为α，则有
AC ==2CD 1100
3, x ·20=
23
10
3. 3
10
3
∵tan α == , ∴∠α＝30°.
310
∴x =
顶角为180°－2×30°=120°.
∴该等腰三角形三个内角为30°，30°，120°.
9、解：如图，设BD ＝8cm ，∠BCD ＝500，由菱形的性质知： ∠BCO ＝250，BO ＝4cm 在Rt △BCO 中，∵tan ∠BCO = ∴CO ＝
BO
CO
BO 4
＝
tan ∠BCO tan 250
4＝≈8. 578（cm ） 0. 2663
∴AC ＝2CO ≈17. 2（cm ）
∴S 菱形＝
1
AC ⋅BD ≈69（cm 2） 2BE 1
= EC 3
10、解：过B 作BE ⊥DC 于E ，在Rt △BCE 中 ∵tan C =
A
B
∴EC ＝3BE
又∵BE +EC =BC ∴BE 2+(3BE ) 2=() 2 解得BE ＝1，故EC ＝3 又∵DC ＝DE ＋EC ＝AB ＋EC ∴DC ＝7 ∴S 梯形＝
专练二：
1、C ；2、D ；3、D ；4、26； 5、(+15) 米； 6、980(1+3) 米；
7、解：由题意知∠BAC =60°，∠C =90°,
AC =20×(11－10)=20(海里). ∴tan BAC =
D
E
C
2
2
2
1111(AB +DC ) ⋅BE ＝(4+7) ⨯1＝ 222
BC BC , 即tan60°=. AC 20
∴BC =20tan60°=20≈34.6(海里).
8、(1)方案：至某点C 时，三角板60°角一直角边与BC 重合，另一边与AC 重合，然后用米尺量出BC 的长度，此法就可求出AB 的长.
(2)设BC =10米，∠C =60°, 则在Rt △ABC 中，tan C =
AB
, BC
∴AB =BC ·tan60°=10×=103(米).