因式分解概念教学过程

因式分解概念教学过程

首先是一组抢答练习，题目如下：

1. 2325 ；3223222 ；3222 ；

2. 29572943 ；56225644442 ；792212 . 学生得出答案。教师要求学生解释第2组题的算理。下面的节录1是对29572943 的算理的解释。

节录1

生1：我是用的乘法分配律。乘法分配律是a(bc)abac，我是倒过来用的。

学生解释过后，教师开始组织教学任务。a(bc)abac是以前学过的整式的乘法，把这个过程倒过来，abacabc，那么该叫什么？小学时学的3721叫整数乘法，倒过来2137叫分解因数，那么，abacabc该叫什么？学生认为该叫分解因式，教师补充，也可以叫因式分解。然后，教师要求学生尝试给因式分解下定义。下面的节录是学生下的定义。

节录2

生2：把一个数用几个数相乘的形式。

教师没有回应学生的定义，而是随后出示了一组判断题，让学生根据自己心目中因式分解的定义，来判断下列各题是否是因式分解。题目如下：

（1）x23xx22xx； （2）x23xxx2x；

（3）x23xxx3； （4）xx3x23x.

教师要求学生作出判断，并解释原因。下面是学生对第（1）、

（2）题的解释。

节录3

生3：第（1）题不是的，因式分解应该是相乘的形式。

生4：第（2）题不是的，因式分解应该是相乘的形式，这里是和的形式。

题目做完后，教师要求学生根据刚才的经验，小组讨论，重新给因式分解下定义。生2修正了自己之前的定义。

节录4

生2：把一个多项式用几个整式相乘的形式。

教师还是没有回应学生的定义，又出示了第二组判断题，让学生继续根据自己心目中的因式分解的定义来作出判断。题目如下：

（1）x23x1xx31； （2）18a3bc3a2b6abc；

2（3）3x19x26x1； （4）2x212x12x1；

（5）3x27x43x4x1； （6）x25x6x2x3. 教师提问了学生的答案，并要求学生作出解释。第一个学生认为除第（1）外，都是因式分解。后来，又有一些学生陆续发表了一些不同的看法。下面是关于第（2）、（4）题的节录5和节录6. 节录5

生5：我认为第（2）题不是。因式分解应该是把一个多项式用几个整式相乘的形式得出来。等式的左边已经是一个单项式。 节录6

生6：我认为第（4）个不是因式分解。我是从右边往左边算，应该是4x21，不等于左边。

教师认可了生6的说法，并强调可以通过整式的乘法来检验是否是因式分解，变形必须保持相等。然后要求学生根据判断题二的经验继续给因式分解下定义。

节录7

生7：把一个多项式变成几个单项式相乘的形式。

生8：多项式也可以。乘法的分配律abacabc中，bc是多项式，a是单项式，多项式与单项式都可以。

在教师的启发下，学生认为单项式与多项式都叫做整式，因而，因式分解可定义为“把一个多项式化成几个整式的积的形式”。教师要求学生总结定义的注意要点。学生认为有两点需要注意：首先，因式分解的对象是多项式，其次，因式分解的结果是几个整式的积。教师作了总结，下面是教师的总结节录。

节录8

师：因式分解与整式乘法互逆，可以用整式乘法来检验（因式分解）。用整数乘法、分解因数来类比，帮助我们理解因式分解的概念。

随后，教师要求学生做了四道因式分解的练习。练习过后，教师针对练习中的一道题目：a21的因式分解，提出了两种可能的分解结果：a21aa1，a211a21，让学生继续辨析因式分解的概念。这两道题，学生都做对了。前者学生能根据定义说明，后者学生回到分解因数，用分解因数的例子来类比说明。

节录9

生9：a211a21不是分解因式。比如，21121，没有这样分解因数的。

随后，教师又要求学生进行了编题练习。让学生先设计一道整式乘法的计算题，算出的结果是一个多项式。然后把这个多项式交给同桌，让同桌再把该多项式因式分解。最后，是这节课的小结。由学生谈了这节课的收获与体会。

节录10

生10：通过这节课，我学到了关于整式乘法和因式分解（的关系）。知道因式分解到底是什么。以后可以把它运用到自己的学习生活中去。

节录11

生11：我觉得可以用类比的方法，通过我们学过的知识来学习新的知识。

节录12

生12：通过整式乘法来检验因式分解。

从教学过程来看，学生通过逐步地解决问题来形成因式分解的定义。首先，从一些题目的简便运算体会到因式分解的一些作用，开始对因式分解的概念进行组织。通过回顾同构的分解因数的概念，为因式分解概念的组织提供了定向。在此定向下，学生对教师提供的典型实例（判断题一）进行分析、辨认，分化各实例的属性，得出因式分解的典型特征 “应该是相乘的形式”（节录3），形成了因式分解

定义的假设，是 “把一个多项式用几个整式相乘的形式”（节录4）。然后，在教师提供的典型实例（判断题二）的基础上，对各实例的属性进一步分化，并对之前的假设进行检验。得到因式分解的关键属性除了“是相乘的形式”之外，还有必须是恒等变形（节录6），因式分解的对象必须是多项式（节录5）。对因式分解定义的假设不断修订，从因式分解是“把一个多项式变成几个单项式相乘的形式”（节录7），到因式分解的结果中的因式“多项式与单项式都可以”（节录7），最后修正为“把一个多项式化成几个整式的积的形式”。在概括出因式分解的定义后，通过一组因式分解的练习，在更大的范围内来检验概念的定义，并对非概念变式（节录9）进行了辨析，进一步廓清了概念的内涵和外延。

学生把因式分解的概念与以前学过的分解因数和整式的乘法的概念进行了关联和组织。在节录1、节录6、节录10、节录12中，都可以清楚地看出，学生把因式分解与整式乘法关联起来，整式的乘法倒过来就是因式分解（节录1、节录10），通过整式乘法可以检验因式分解是否正确（节录6、节录12）。

学生通过交流组织和巩固了自己的数学思维，逐步澄清了对因式分解概念的理解。刚开始，学生对因式分解的概念还比较模糊，以至于学生认为因式分解就是“把一个数用几个数相乘的形式”（节录2），通过对第一组判断题的辨别和交流，学生修正了自己的理解，就像节录4所说，因式分解就是“把一个多项式用几个整式相乘的形式”。但是，经过练习第二组判断题及交流答案后，一些学生的理解又有了

变化，认为因式分解是“把一个多项式变成几个单项式相乘的形式”（节录7），经过交流（节录7），最终澄清了对概念的理解。

为了理解因式分解的概念，学生经历了卓有成效的推理。在做简便运算的题目时，学生能够从一般的乘法的分配律，演绎得到简便运算的方法（节录1），从而体会因式分解的一些作用。学生在教师的指导下，通过回顾分解因数的概念，类比得到分解因式的术语，并尝试给因式分解下定义（节录2）。学生在做第一组判断题时，能够根据自己相信的定义，推断x23xx22xx、x23xxx2x不是因式分解（节录3）。在做第二组判断题时，学生根据整式的乘法推断2x212x12x1左右两边不相等（节录6），不是因式分解，认识到因式分解应该是恒等变形；能根据自己相信的定义推断18a3bc3a2b6abc不是因式分解，因为左边已经是单项式（节录5）；能够根据实例概括因式分解的结果既可以是单项式，也可以是多项式（节录7）。学生能够根据分解因数的实例21121，合情推理得出a211a21不是分解因式（节录9）。经过这些推理活动，学生认识到推理是数学的基础，学到了一些学习的方法，如节录11所说，通过类比旧知识来学习新知识；学生理解了整式乘法与因式分解的关系（节录10、节录12），掌握了因式分解的概念（节录10）。学生不仅学到了知识（因式分解的概念），而且学会了如何学习（节录

11）。