数形结合_巧解"与圆有关的最值问题"
数形结合，巧解“与圆有关的最值问题”
与圆有关的最值问题是考试的一个热点，其题型丰富多采．而圆又是一种同学们最熟悉的几何图形，我们在初中就学过大量圆的知识，所以若能联系其几何性质，数形结合，机动灵活地去分析问题，则往往会收到事半功倍的效果，现举例说明．
例1 平面上有两点A（-1，0），B（1，0），P为圆x2+y2-6x-8y+21=0上的一点，试求S=|AP|2+|BP|2最小值．
解析：把已知圆的一般方程化为标准方程得(x-3)2+(y-4)2=4，设点P的坐标为
22(x0,y0),则S=|AP|2+|BP|2=(x0+1)2+y02+(x0-1)2+y02=2(x0+y0+1)=2(OP+1) 2
要使S=|AP|2+|BP|2最小,需|OP|最小,即使圆上的点到原点的距离最小.结合图形,容易知道|OP|min=OC-r=5-2=3,所以Smin=2(32+1)=20．
点评：设 P（x，y），使要求的式子转化为求圆上的点到原点的距离问题，利用数形结合法求最值，实质上是利用初中学过的“连结两点的线段中，直线段最短”这一性质．
例２ 点A在圆(x-5)+(y-3)=9上，则点A到直线3x+4y-2=0的最短距离为（ ）
A. 9 22 B. 8 C. 5 D. 2
解析：过C作CD⊥直线3x+4y-2=0于D，交圆C于A， 则AD=CD-r为所求 ．∴AD
实质上是利用“从直线外一点向直线引的所用线段中，垂线段最短”这一原理
例３ P(3,0)在圆x2+y2-8x-2y+12=0内一点．
求（1）过P的圆的最短弦所在直线方程
（2）过P的圆的最长弦所在直线方程
解析：圆方程可以化成(x-4)2+(y-1)2=5 ，圆心O(4,1) kOP=1
∴ l短：y=-(x-3) 即 x+y-3=0； l长：y=(x-3) 即x-y-3=0． 点评：最长弦当然是直径了，而最短弦是与直径垂直的弦．
例４ 已知实数x，y满足方程(x-2)2+y2=3．
y的最大值与最小值； x
（2） 求y-x的最大值与最小值； （1） 求
（3） 求x2+y2的最大值和最小值．
分析：(x-2)2+y2=3为圆的方程，P(x,y)是圆心为（2，0）
点．y的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，y-x的几何意义是直线y=x+b在轴x
上的截距，x2+y2的几何意义是圆上一点到原点距离的平方．
解：（1）设y=k，即y=kx．当直线y=kx与圆相切时，斜率k取最大值与最小值，
x
=k=．所以y
k= x
（2）设y-x=b，当直线y-x=b与圆相切时，纵截距b取得最大值与最小值，
=
解得b=-2所以y-
x的最大值为-2，
最小值-2．
（3
表示圆上一点到原点距离，由平面几何知识知，其最大值为圆心到原
点的距离加上圆的半径，其最小值为圆心到原点的距离减去圆的半径，分别是2
与2-x2+
y2的最大值和最小值分别为7+
7-．
例5 过直线y=1上一点P（x，y）作圆(x+1)+(y+1)=1的切线，求切线长的最小值．
解析：如图所示，切线长PM=
22PM的最小值，
只需求PC的最小值．PC是直线上一点到圆心的距离，由于经直线外一点所引直线的垂线段的长度是该点到直线的距离的最小值，所以当PC垂直于直线时，PCmin 2，此时，切
小结与提升：圆的知识在初中与高中都要学习，是一典型的知识交汇点．现在的数学高考非常重视初高中知识的衔接问题，所以同学们在处理与圆有关的小题时，一定要数形结合，多联想一下与之有关的平面几何知识，以免“小题大作”．