机械能守恒在模型中的应用
机械能守恒在模型中的应用
（一）连绳模型
【例1】 如图所示，甲、乙两个物体的质量分别为m 甲和m 乙(m 乙
＞m 甲) ，用细绳连接跨在半径为R 的光滑半圆柱的两端，连接体由图示
位置从静止开始运动，当甲到达半圆柱体顶端时对圆柱体的压力为多
大？
解析：设甲到达半圆柱体顶部时，二者的速度的大小为v ，以半圆柱顶部为零势能面，由机械能守恒定律可得
π1R ＋⎫① －(m 乙＋m 甲) gR ＝(m 乙＋m 甲) v 2－m 乙g ⎛⎝2⎭2
或以半圆柱底部为零势能面，由机械能守恒定律有
1π0＝m 甲gR ＋(m 乙＋m 甲) v 2－m 乙g R 22
(与上式一样，可见零势能面的选取与解题无关，可视问题方便灵活选择零势能面)
v 2设甲到达顶部时对圆柱体的压力为F N ，以甲为受力分析对象，则m 甲g －F N ＝m 甲 R 联立①②两式可得
F N ＝m 甲g ⎢⎡3m 甲－π－1 m 乙. ⎣m 乙＋m 甲⎦
⎡3m 甲－π－1 m 乙⎤ ⎥⎣m 乙＋m 甲⎦由牛顿第三定律对圆柱体压力 F N ′＝F N ＝m 甲g ⎢
点评：此类问题要认清物体的运动过程，注意物体运动到最高点或最低点时速度的隐含条件及认清两者的速度关系。
（二）连杆模型
【例2】如图所示，两个质量分别为m 和2m 的小球a 和b ，
之间用一长为2l 的轻杆连接，杆在绕中点O 的水平轴无摩擦转动。
今使杆处于水平位置，然后无初速释放，在杆转到竖直位置的过
程中，求：
（1）杆在竖直位置时，两球速度的大小
（2）杆对b 球做的功
【解析】（1）以a 、b 和地球组成的系统为研究对象，以轻杆的水平位置为零势能面，由机械能守恒定律得：0= (mv a 2/2+mgl ) + (2mv b 2/2 – 2mgl ) ①
由圆周运动规律得：v a =vb =lw=v ②
①②结合解得：
υ=2gl
（2）对b 球，由动能定理得：W F +2mgl=2mv2/2 -0
综合（1）结果解得：W F = -4mgl/3。
点评：这类问题应注意在运动过程中各个物体之间的角速度、线速度的关系等．
1
（三）滑链模型
【例3】 如图5－3所示，一条长为L 的柔软匀质链条，
开始时静止放在光滑梯形平台上，斜面上的链条为x 0，已知重
力加速度为g ，L ＜BC ，∠BCE ＝α，试用x 0、x 、L 、g 、α表
示斜面上链条长为x 时链条的速度大小(链条尚有一部分在平
台上且x ＞x 0) ．
解析：链条各部分和地球组成的系统机械能守恒，设链条的总
质量为m ，以平台所在位置为零势能面，则
m 11m 1－x 0g x 0sin α＝2xg x sin α L 22L 2
解得
v ＝ 22x －x 0s in α. L
22x －x 0s in α. L 所以当链条长为x 时，链条的速度为 点评：此类问题应注意重力势能为零的位置的选择及重力势能的改变．零势能面选取不同，所列出的表达式不同，虽然最后解得的结果是一样的，但解方程时的简易程度是不同的。
（四）弹簧模型
【例4】如图所示，质量m 为2 kg的物体，从光滑斜面的顶端
A 点以v 0＝5 m/s的初速度滑下，在D 点与弹簧接触并将弹簧压缩
到B 点时的速度为零．已知从A 到B 的竖直高度h ＝5 m，求弹簧的
弹力对物体所做的功．
【解析】 斜面光滑，故机械能守恒，但弹簧的弹力是变力，弹力对物体做负功，弹簧的弹性势能增加，且弹力做功的数值与弹性势能的增加量相等．取B 所在水平面为零参考面，弹簧原长处D 点为弹簧弹性势能的零参考点．
mv 2对状态A ，有E A ＝mgh ＋ 2
对状态B ，有E B ＝E 弹簧＋0
mv 2由机械能守恒定律得W 弹簧＝-E 弹簧=-( mgh ＝-125 J. 2
点评：轻弹簧是一种理想化的物理模型，以轻质弹簧为载体，设置复杂的物理情景，考查力的概念，物体的平衡，牛顿定律的应用及能的转化与守恒，是高考命题的重点，此类命题几乎每年高考卷面均有所见. 应引起足够重视. 能的转化与守恒问题应注意物体与弹簧组成的系统机械能守恒，而且弹簧的弹力是变力，弹力对物体做负功，弹簧的弹性势能增加，且弹力做功的数值与弹性势能的增加量相等，弹力对物体做正功功，弹簧的弹性势能减少，且弹力做功的数值与弹性势能的减少量相等。
小结：
一、连绳模型
此类问题要认清物体的运动过程，注意物体运动到最高点或最低点时速度的隐含条件及认清两者的速度关系。
二、连杆模型
2
这类问题应注意在运动过程中各个物体之间的角速度、线速度的关系等．
三、滑链模型
此类问题应注意重力势能为零的位置的选择及重力势能的变化
四、弹簧模型
此类问题应注意物体与弹簧组成的系统机械能守恒. 而且弹簧的弹力是变力，弹力对物体做负功，弹簧的弹性势能增加，且弹力做功的数值与弹性势能的增加量相等，弹力对物体做正功功，弹簧的弹性势能减少，且弹力做功的数值与弹性势能的减少量相等。
针对训练
1．如图所示，总长为L 的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻小滑轮，
开始时下端A 、B 相平齐，当略有扰动时其一端下落，则当铁链刚脱离滑
轮的瞬间，铁链的速度为多大?
【解析】设铁链的质量为m ，选取初始位置铁链的下端A 、B 所在的水平面为零势能面，由机械能守恒定律得：mg
解得铁链刚脱离滑轮时的速度 v =L 12=mv 42gL 。 2
【点评】题中的物体都不能看作质点，但链条是均质的，故在确定重力势能时选取它的重心位置。这其中要确定好初末状态，恰当地选择零势能面。
2．如图所示，质量为m 1的物体A 经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m 2的物体B 相连，弹簧的劲度系数为k ，A 、B 都处于静止状态，一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A ，另一端连一轻挂钩，开始时各段绳都处于伸直状态，A 上方的绳沿竖直方向．现在挂钩上挂一质量为m 3的物体C 并从静止状态释放，已知它恰好能使B 离开地面但并不继续上升．若将C 换成另一质量为(m 1+m 3) 的物体D ，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B 刚离地时D 的速度的大小是多少？已知重力加速度为g .
【分析】
本题求解的关键是寻找相关量，通过对两种情况的比较，弹簧的弹
性势能增加量相同，再根据系统机械能守恒求解．
开始时，A 、B 都静止，设弹簧压缩量为x 1，有kx 1=m 1g . 挂上C 并释放
后，C 向下运动，A 向上运动，设B 刚离开地时弹簧伸长量为x 2，则有
kx 2=m 2g . B 不再上升，表示此时A 和C 的速度为零，C 已降到最低点，
由机械能守恒定律可知，与初状态相比，弹簧弹性势能的增加量为：
E =m 3g (x 1+x 2)-m 1g (x 1+x 2)
C 换成D 后，当B 刚离地时弹簧弹性势能的增加量与前一次相同，由机械能守恒有： (m 3+m 1) g (x 1+x 2)-m 1g (x 1+x 2)- E = (m 3+m 1) v 2+ m 1v 2
联立以上两式得 (m 3+2m 1) v 2=m 1g (x 1+x 2)
又kx
得v = 3. 如图示，在光滑的水平桌面上有一质量为M
的小车，
3
小车与绳的一端相连，绳子的另一端通过滑轮与一个质量为m 的砝码相连，砝码到地面的高度为h ，由静释放砝码，则当其着地前的一瞬间（小车末离开桌子）小车的速度为多大？
4、内壁光滑的环形凹槽半径为R ，固定在竖直平面内，一根长度为R 的轻杆，一端固定有质量m 的小球甲，另一端固定有质量为2m 的小球乙．现将两小球放入凹槽内，小球乙位于凹槽的最低点(如图所示) ，由静止释放后( )
A ．下滑过程中甲球减少的机械能总是等于乙球增加的机械能
B ．下滑过程中甲球减少的重力势能总是等于乙球增加的重力势能
C ．甲球可沿凹槽下滑到槽的最低点
D ．杆从右向左滑回时，乙球一定能回到凹槽的最低点
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