怎样求三角形的边与角
怎样求三角形的边与角
近几年高考中,已知三角形中的一些边与角的关系式,求边长或角的大小或角的某种三角函数值已经成为高考的热点,此类题目在高考中多为容易题,但是许多学生三角知识比较薄弱,失分较多.为了帮助同学们掌握这个知识点,熟悉这类题目的一般解法,我们选择近年的高考典型题进行归类研究.
一、解答此类题所需的基础知识:
设角A、B、C所对的边分别为a、b、c,ABC的外接圆半径为R. 1、三角形内角和定理、诱导公式、和角公式、二倍角公式等:
sinCsin[(AB)]sin(AB)sinAcosBcosAsinB, cosCcos[(AB)]cos(AB)cosAcosBsinAsinB, sin2A2sinAcosA,
cos2Acos2Asin2A2cos2A112sin2A.
2、余弦定理:cab2abcosC,
2
2
2
a2b2c2
角化边:cosC,
2aba2b2c2
cosC. 边化角:
2ab
特例:勾股定理及其逆定理. 3、正弦定理:
abc
2R, sinAsinBsinC
asinA,等. bsinB
abcsinAa,sinB,sinC,,等. 角化边:sinA2R2R2RsinBb
边化角:a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC,
二、基本题型:
(一)角化边比较合理的,化边后一般又可以使用余弦定理、勾股定理或者与已知的边的关系式联立为方程组.
例1、在ABC中,sinAcosBsinC,求证:A解析:由正、余弦定理:
2
.
a2c2b2ac,∴a2c2b2,
2ac
由勾股定理的逆定理:A
2
.
22
例2、在ABC中,ac2b,且sinAcosC3cosAsinC,求b.
a2b2c2b2c2a2
3c,2(a2c2)b2,又a2c22b, 解析: a
2ab2bc
∴4bb,又b0,∴b4.
例3、在
ABC中,2Asin2C)(ab)sinB,
ABC求C. 解析:
由正弦定理:sinA
2
abcsinB
sinC
2R2R2R22](ab)
∴已知条件可化为:a2b2c21
,C. abcab,由余弦定理:cosC
32ab2
2
2
2
例4、在ABC中,acosBbcosAcsinC,求C.
a2c2b2b2c2a2
bc, 解析:由余弦定理:acosBbcosAa
2ac2bc
∴已知条件可化为:ccsinC,sinC1,∴A
2
.
例5、在ABC中,2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC,求A. 解析:由正弦定理:
2aa(2bc)b(2cb)c,∴a2b2c2bc, 2b2c2a21
,∴A∴cosA.
32bc2
(二)边化角比较合理的,化角后经常得到特殊角,一定要注意角的取值范围,可能有不合题意
的解(例2)!经常利用三角函数的单调性得到角的相等关系(例3). 例1、在ABC中,acosB3,bsinA4,求a. 解析:
acosB3sinAcosB3
,由正弦定理:,
bsinA4sinBsinA4cosB33
,∴ cosB,a5. sinB45
3
2
cos(AC)cosB,,例2、 设⊿ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、cb2ac,求
角B.
cosB解析:由cos(AC)
3
及B(AC)得: 2
3
cos(AC)-cos(AC),
2
33
cosAcosCsinAsinC(cosAcosCsinAsinC),sinAsinC,
24
由bac及正弦定理得sinBsinAsinC, ∴sinB
22
22
32,. sinBB或B433但是由bac知ba或bc.所以B例3、已知ABC的内角A,B及其对边a,b解析:∵ sinAsinBsinA
3
.
满足abacotAbcotB,求内角C.
cosAcosB
sinB, sinAsinB
∴sinAsinBcosAcosB,sinAcosAcosBsinB,
A
)B),∴sin(A)sin(B)
4444
33
,B, 又A
444444
∴A
4
4
B,AB
2
,C
2
.
(三)以角变换为主要变形的,主要利用三角形内角和定理、诱导公式、和角公式、二倍角公式
等:
例1、在ABC中,sinAcosBsinC,求证:A
2
.
解析:sinAcosBsin(AB)sinAcosBcosAsinB,
cosAsinB0,又0B,∴sinB0,
∴cosA0,又0A,∴A
2
.
例2、设ABC是锐角三角形,a,b,c分别是内角A,B,C所对边长,并且
sin2Asin(B)sin(B)sin2B.求角A的值.
33
解析:sinA2
11
BsinBBsinB)sin2B, 2222
sin2A
333cos2B
sin2B,sinA又A为锐角,A. 4443例3、在⊿ABC中,sin(CA)1,sinB.求sinA的值. 解析:由sin(CA)1得CA
1
3
2
,