线性代数 基础解系求法举例

第十一讲：方程组解的解构与向量空间

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时间：

年月日；星期

教学目的

理解齐次线性方程组的基础解系的概念与求法。掌握非齐次线性方程组通解的结构。掌握向量空间的基的概念与求法

基础解系及其求法、向量空间的基方程组解的结构媒体与投影

齐次解的基础解系概念－基础解系求法－举例－非齐次通解的求法－向量空间的封闭与生成性－基与坐标－向量内积与长度。

齐次方程组的基础解系由n-r个无关解向量组成，非齐次是齐次解加特解，向量组生成具有封闭线由施瓦茨不等式引出长度与正交。

作业

练习册P37－40第13题

至

第19题，期中交：P37－40

重点难点讲授方法讲授内容主线内容概括

第十一讲：方程组解的解构与向量空间

本次课讲第四章第四节第五节，方程组解的结构与向量空间，

下次课讲第五章第一二节，下次上课时交作业P37～P40

第十讲向量组的秩与方程组解的结构

二、齐次线性方程组解的结构：

1.复习齐次线性方程组解的秩的判定定理

齐次方程组AX0有唯一零解R(A)n(n为解向量的维数）

齐次方程组AX0有非零解（无穷多解）R(A)rn

2.解向量的概念设有齐次线性方程组

a11x1a12x2a1nxn0axaxax02112222nn（1）设

am1x1am2x2amnxn0

a11

a21A=am1

a12a22

am2

a1nx1a2nx2

,x =,

xamnn

x11x21

若x111,x221,,xnn1为（1）的解则x1

x

称为方程组（1）的解向量，它也是向量方程（2）的解.n1

则（1）式可写成向量方程Ax= 0（2）

第十讲向量组的秩与方程组解的结构

2.解向量的性质

性质1若x1,x2为齐次方程组的解，则x12也是相应齐次方程组的解.

证A12A1A2000

1也是性质2若x1为齐次方程组的解，k为实数，则x k

相应齐次线性方程组的解.

证：A（kξ1)k(Aξ1)k00.

结论：AX0的解向量1,2,,t的线性组合xk11k22ktt均是AX0的解（向量）。

3.AX=0的基础解系

定义：设AX0的全体解向量组成解集（或解向量组）S，则S中的任一个最大无关组称为AX0的一个基础解系。

第十讲向量组的秩与方程组解的结构

（1）由于基础解系是解集的最大无关组，所以AX0的基础解系不唯一

（2）由最大无关组定义，设解向量1,2,,t为线性方程组AX0的一个基础解系，则AX0的任意解x均可用1,2,,t线性表示，即：

xk11k22ktt

4.求AX=0的基础解系－－AX＝0的通解：

事实上，上一章我们已经学会了用矩阵的秩求线性方程组通解的方法：假定AX=0,A的秩为R(A)=r,求解步骤如下

第十讲向量组的秩与方程组解的结构

（1）由于基础解系是解集的最大无关组，所以AX0的基础解系不唯一

（2）由最大无关组定义，设解向量1,2,,t为线性方程组AX0的一个基础解系，则AX0的任意解x均可用1,2,,t线性表示，即：

xk11k22ktt

4.求AX=0的基础解系－－AX＝0的通解：

事实上，上一章我们已经学会了用矩阵的秩求线性方程组通解的方法：假定AX=0,A的秩为R(A)=r,求解步骤如下

第十讲向量组的秩与方程组解的结构

化A为行最简形矩阵为

10b11b1,nr



01bbr1r,nr

A,

00

00

与A对应的方程组的同解方程组为

xbxbx,111r11,nrn

xrbr1xr1br,nrxn.

令自由未知数

xr1c1,xr2c2,xncnr则：

第十讲向量组的秩与方程组解的结构

x1b11c1b12c2b1,nrcnr

xrbr1c1br2c2br,nrcnr

xr1c1000x0c00

2

r1



x000cnnr

根据上式求得通解，用矩阵表示通解，并写成向量（列矩阵）的形式为：

bbb11121(nr)xbcbcbc11111221,nrnrbbbr2r(nr)xbcbcbcr1rr11r22r,nrnr

c11c20cnr1xr1c1000010



x000cnn-r000

第十一讲：方程组解的解构与向量空间

得到齐次方程组通解如下：

xc11c22cnrnr（*）

巧得很，AX=0的通解正好是n-r个解向量的线性组合，如果这n-r个解向量就是解集的最大无关组，我们就等于找到了AX=0的基础解系。事实上，我们有如下定理：

（2）定理：设n元齐次方程组AX=0的系数矩阵的秩R(A)=r,解集（解向量组）为S,则R(S)=n-r

第十一讲：方程组解的解构与向量空间

定理：设n元齐次方程组AX=0的系数矩阵的秩R(A)=r,解集（解向量组）为S,则R(S)=n-r

10b11b1,nr证：第一步：和以前一样，将

系数矩阵化成行最简形：

0A~

00



1

br1





br,nr

,0

0

第二步：仍然是写出与A对应的齐次线性方程组的同解方程组



xrbr1xr1br,nrxn.

x1b11xr1b1,nrxn,

第十一讲：方程组解的解构与向量空间

第三步:自由变量取值:由于c1,cnr的任意性,原自由变量的取值相当于对自由变量向量组的取值,依次令

x

r1

xixnr010,其中ir1,,nr.

代入同解方程组依次可得：

xr11

xr20

,x0n

0010

,, ,01

x1b11

x2b21

,xbrr1b1,nrb12



b22 , b2,nr,

, 

bbr,nrr2

第十一讲：方程组解的解构与向量空间

第四步：整理得出齐次线性方程组的一组解向量:

b11b12bb

r2

r111,20,

0100

b1,nr

b

r,nr

0.01

,

nr

通过比较原来令自由变量为任意常数c1,c2,cnr求出通解的结果，这里，通过令自由变量向量为单位向量的方法求出的一组解向量的线性组合与前一种方法的通解完全一致：即 xc11c22cnrnr，或：

xk11k22knrnr

第十一讲：方程组解的解构与向量空间

首先，由上一章知识已知它们是通解，即AX0的解集中任意的解向量均是1，2，，nr的线性组合。

其次，解向量组1，2，，nr中，存在nr阶单位子式Enr10,因此：R(1，2，，nr)nr,故：1，2，，nr线性无关。

由最大无关组定义，1，2，，nr是AX0的解集S的最大无关组，即基础解系。即得：R(S)nr该定理的论证说明了两点：

（1）指出了AX0的基础解系的求解步骤（2）说明两方程组AX0的元n、系数矩阵的秩r及解集的秩R(S)之间的关系：R(S)nr

第十一讲：方程组解的解构与向量空间

mn矩阵A的秩R(A)r,则Ax0的解集中任意nr个线性无关的解向量均构成解集的最大无关组，即基础解系。证：设a1,a2,anr是Ax0的nr个解向量且线性无关。

设b是Ax0的任意一解。

Ax0的解集的秩Rsnr,R(a1,a2,anr,b)nrnr1

由相关性秩的判别法，a1,a2,anr，b线性相关。a1,a2,anr线性无关，并且a1,a2,anr，b线性相关。

由相关性与线性表示的关系定理，b能由a1,a2,anr唯一线性表示。由最大无关组定义，

a1,a2,anr就是Ax0的最大无关组，即基础解系

第十一讲：方程组解的解构与向量空间

这一推论说明了，变量x为n维，系数矩阵A的秩为R(A)r的任意nr个线性无关的解向量均构成了Ax0的一个基础解系。

4.齐次线性方程组的求解结论：

根据以上齐次线性方程组的通解求解过程和定理及其推论，我们可以得到如下结论：

（1）当R(A) = n 时,齐次线性方程组(1)只有零解,无基础解系;（2）当R(A)

（3）齐次线性方程组(1)的任何n -r个线性无关的解向量都可作为它的基础解系.

（4）由此还可以推断：齐次线性方程组的基础解系不是唯一的.齐次线性方程组的通解形式也是不唯一的.

第十一讲：方程组解的解构与向量空间

x50x1x2



求齐次线性方程组0x1x2x3

x3x4x50

的基础解系和通解解：对系数矩阵作初等行变换，化成行最简有：

例题1（96，数学一，6分）

110011100111001

A～～～111000010100101001110001000010

x50x1x2



得同解方程组：x3x50,

x40

第十一讲：方程组解的解构与向量空间

n5,R(A)3,自由变量nr2,为行最简形的x210

非零行的非首元x2,x5。令和,则：x015

x,x,1,1,

1

2

x3,x4,

x5

T

T

T

0,0,0和1,0,－1,0,1。

T

T

对应的基础解系是nr2个解向量：

11,1,0,0,0,21,0,－1,0,1,

通解为：k11k22

第十一讲：方程组解的解构与向量空间

2：设AmnBnl0,证明：R(A)R(B)n.证明：B是nl阶矩阵，令B(b1,b2,,bl).

AmnBnl0,A(b1,b2,,bl)0,即：Abi0,i1,2,,l且b1,b2,,bl均满足方程组AX0,即b1,b2,,bl都是AX0的解。

设R(A)r,则AX0的解集S的秩R(S)nr,

b1,b2,,bl是AX0的解，b1,b2,,bl是AX0的解集的一部分。

部分的秩小于整体的秩，

R(b1,b2,,bl)R(B)R(S)nrnR(A)R(B)R(A)n

第十一讲：方程组解的解构与向量空间

（二）非齐次线性方程组的通解

1.非齐次线性方程组的解向量的性质设有非齐次线性方程组

a11x1a12x2a1nxnb1,axaxaxb,2112222nn2（4）am1x1am2x2amnxnbm,

它也可写作向量方程

（5）Ax=b

性质3设x1及x2都是（5）的解，则x12为对应的齐次线性方程组Ax0

的解.

（6）

所以x12满足方程（6）.

性质4设x是方程（5）的解，x是方程（6）的解，则x仍是方程（5）的解.证AAA0bb即x满足方程（5）.结论：设是非齐次线性方程组AXb的一个特解，是对应的

AX0的任意解，则AXb的任意解（通解）为：

x

第十一讲：方程组解的解构与向量空间

A12A1A2bb0证

设x为AXb的任意解，为其一个特解，则：x(x)

由性质3，x是对应齐次方程组AX0的解，由于x具有任意性，所以，也具有任意性，因此,由齐次方程组通解形式：

k11k22knrnr,故：

xk11k22knrnr

称上式为非齐次方程组AX=b的通解

例题3（06，数学一，9分）已知非齐次线性方程组x1x2x3x41

4x13x25x3x41有3个线性无关的解，axx3xbx11234（1）证明方程组系数矩阵A的秩R(A)2

第十一讲：方程组解的解构与向量空间

（2）求a,b的值及方程组的通解。（1）证明：设1,2,3是非齐次线性方程组的3个线性无关的解对于对应的齐次解：12，23，其线性表达式为：k1(12)k2(23)0,将其恒等变形为：(k1k2)1k12k230.1,2,3线性无关，k1k2012，23是Ax0的2个线性无关的解，即Ax0基础解系最少

包含2个线性无关的解向量。R(S)2

R(S)nR(A)2,n4,R(A)2

1111

又A4351,有2阶子式不为零，，R(A)2,即：R(A)2

a13b

(2)对增广矩阵(A,b)进行初等行变换，有：

第十一讲：方程组解的解构与向量空间

1111111111



（A,b）43511～15301

a13b101a3abaa1

11111～15301

0042ab4a542a

由（1），R(A)(A,b)2,得：42a0,a2,代入b4a50,b3

10242

将矩阵化成行最简得：01153



第十一讲：方程组解的解构与向量空间

x12x34x4

对应齐次同解方程组为：

x2x35x4

x310

令为和础解系：x01，得对应齐次方程组基4

12,1,1,0,24,5,0,1

T

T

x12x34x42

在非齐次同解方程组为：中

x2x35x43

令x3x40,得Axb的一特解：2,3,0,0

T

非齐次线性方程组的通解是：xk11k22

第十一讲：方程组解的解构与向量空间

二、向量组概念的拓展——空间的概念1.向量空间的定义

封闭：设V是一个集合，若a,bV, R,则abV；

bV,则称V 对于加法及数乘运算是的.

且集合V对于加法定义1：设V为n维非空向量集合，及乘数两种运算封闭，则称集合V为.

如Rn空间

V2，就称V1 是V2 定义2 设有向量空间V1及V2，若V1

的.

例1 : 齐次线性方程组的解集SxAx0

是一个向量空间.(解空间)分析：若x1,x2为任意两个解，则A(x1x2)Ax1Ax20

且：A(x1)Ax10均属于S

第十一讲：方程组解的解构与向量空间

例2 : 非齐次线性方程组的解集,不是向量空间

当解集S 为空集时,不是向量空间;当解集S 非空时,也不是向量空间.

分析：x1非齐次方程组的解，因A(x1)Ax1bb故数乘运算不封闭

定义3（生成空间定义）：设向量组A:a1,a2,,am,则称向量组A所有的线性组合得到的向量组成的集合称作向量组A生成的向量空间V。即：

V x1 a12a2m am| ,mR.1,2,

结论：等价的向量组所生成的向量空间相同。

例3:设向量组a1,a2,,am与向量组b1,b2,,bs等价，记

V1 x1a1 mam|,m R,2a21,2,

x1b1 s bs|1 ,2,,sR,V2 2b2

试证V1V2.

证：设Vxa,a,,a

第十一讲：方程组解的解构与向量空间

又a1,a2,,am可由b1,b2,,bs线性表示，

则x可由b1,b2,,bs线性表示，所以xV2,

V；即若xV1,则xV2,所以V1 2

V.∴V1=V2.同理可证：若xV2,则xV1，所以V2 1

2.向量空间的最大无关组——基的概念（1）基的定义

设V为向量空间，如果r个向量a1,a2,,ar∈V, 满足（i）a1,a2,,ar线性无关；

（ii）V 中任一向量都由a1,a2,,ar线性表示，那么，向量组a1,a2,,ar称为r称为向量空间V的，并称V为.特别地：如果向量空间V没有基则V的维数为0。0 维向量空间只含一个零向量0.

（2）结论1：任何n个线性无关的n维向量都是向量空间nn

R的一个基，由此可知R的维数为n .

第十一讲：方程组解的解构与向量空间

分析：因为任意n＋1个n维向量线性相关，所以按照线性相关的线性表示定理，任意一个无关向量以外的n维向量都能由这n个线性无关的n维向量线性表示。显然，n个无关向量可自身表示，故以上结论成立。结论2：齐次线性方程组Ax0的基础解系是其解集的一个基（3）过渡矩阵概念：

设向量空间V有两个基A、B,A:1,2,r,B:1,2,r.如存在矩阵C，使得：BAC,则称C为由基A到基B的过渡矩阵

（4）向量由基线性表示的系数——坐标若向量组a1,a2,,ar是向量空间V的一个基，则V可表示为：

.V br ar|1,2, ,rR1a12a2 数组1,2,,n称为向量b 在基a1,a2,,ar中的坐标.

b在基中的坐标实际上就是b用基向量组线性表示的系数，即AXb的解，其中A是基向量组，X就是线性表示坐标

第十一讲：方程组解的解构与向量空间

 2 21 14

例4: 设Aa1,a2,a3 21 2, B(b1,b2) 03,

1 2 242

验证a1,a2,a3是R3的一个基，并求b1,b2在这个基中的坐标.

A是由3维向量组成的向量组，只要a1,a2,a3线性无关，它就是R3的一个基，b1,b2用基表示，即AxB有解，解x的列向量即坐标（线性表示系数）

解

 2 21 14



A|B 21 2 03

1 2 242

1 2 24 2 



3 68 70 0 0 99 6

24

1 0 0 33

2

0 1 0 13

 

2 1 2 02 

32

0 1 01

32

0 0 1 13



2

0 0 113



3

2242

且b1a1a2a3,b2a1a2a3.

3333

2242

b1,b2，,1和,1,

3333例题5（04，数学一，4分）

2

第十一讲：方程组解的解构与向量空间

1111

从R的基A:1____0,21到B:11,22的过渡矩阵为：



分析：从基A到基B的过渡矩阵为C，则BAC,即CAB1－1

CAB（1，2）（1，2）,即AXB的解

1

3111110231021（A,B)～～～011201120112(E,AB)

32

所以，应填C12

