2014,12,28二次函数基础知识讲解及经典例题
二次函数基础知识讲解及经典例题
考点1:二次函数的概念:
y=ax+bx+c(a≠0,a 、b 、c 为常数) 的函数叫做二次函数. 判断二次函数的三要素,
2
缺一不可:①函数关系式是整数;②化简后自变量的最高次数是2;③二次项的系数不为0. 考点2. 抛物线y=ax+bx+c中系数a 、b 、c 的作用
(1)a 的作用:a 的符号决定抛物线的开口方向.a>0时,抛物线开口向上;a
(2)b与a 共同决定对称轴的位置:若a 、b 同号,则对称轴位于y 轴左侧;若a 、b 异号,则对称轴位于y 轴右侧;若b=0,则对称轴是y 轴.(可简单记忆为“左同右异”,一定要自己推导一篇,不但要把对称轴的横坐标和0作比较,还要联想到可以吧对称轴的横坐标和1,-1做比较)
(3)c的作用:c 的符号决定抛物线与y 轴的交点位置.若c>0,则抛物线交y 轴于正半轴;若c
(4)b -4ac 决定抛物线与x 轴交点的个数(5)a+b+c,a-b+c是分别横坐标为1,-1是y 的取值. 考点3 二次函数的解析式
1. 二次函数的解析式的三种设法:(1)一般式:y=ax+bx+c (a≠0,a 、b 、c 为常数);
(2)顶点式: y=a(x-h)+k(a≠0,a 、h 、k 为常数); (3)两点式:y=a(x-x1)(x-x 2)(a≠0,a 、x 1、x 2为常数) . 2. 二次函数解析式的求法(1)若已知抛物线上三点坐标,可利用待定系数法求得y=ax+bx+c; (2)若已知抛物线的顶点坐标或对称轴,则可采用顶点式;
(3)若已知抛物线与x 轴的交点坐标或交点的横坐标,则可采用两根式:y=a(x-x1)(x-x 2),其中与x 轴的交点坐标为(x 1,0),(x 2,0). 考点4 二次函数的图象和性质
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考点5 二次函数图象的画法
y=ax+bx+c的步骤:①把二次函数y=ax+bx+c(a≠0) 化成y=a(x-h)+k(a≠0) 的形式;②确定
抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标;③在对称轴两侧,以顶点为中心,左右对称描点画图. 考点6 二次函数图象的平移:“上加下减,左加右减”
(1)将y=ax的图象向上(c>0)或向下(c0)平移|h|个单位,即可得到y=a(x-h)
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的图象.其顶点是(h,0),对称轴是直线x=h,形状、开口方向与抛物线y=ax相同.(3)将y=ax的图象向左(h
2
或向右(h>0)平移|h|个单位,再向上(k>0)或向下(k
(1)一元二次方程ax +bx+c=0就是二次函数y=ax+bx+c当函数y 的值为0时的情况.
(2)当二次函数y=ax+bx+c的图象与x 轴有两个交点时,则一元二次方程ax +bx+c=0有两个不相等的实数根;当二次函数y=ax+bx+c的图象与x 轴有一个交点时,则一元二次方程ax +bx+c=0有两个相等的实数根;当二次函数y=ax+bx+c的图象与x 轴没有交点时,则一元二次方程ax +bx+c=0没有实数根. 考点8 二次函数的应用
函数的应用指的是运用函数概念建立函数模型,研究、解决某些实际问题的过程和方法,它包括两个方面:二次函数表示实际问题中变量之间的关系;
(2)用二次函数解决实际问题中的最优化问题,其实质就是求函数的最大(小) 值. 例1:如果函数y =(m -3) x m
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(1)用
-3m +2
+mx +1是二次函数,那么m 的值为 。
例2(2010年广东省广州市)已知抛物线y =-x 2+2x +2.
(1)该抛物线的对称轴是 ,顶点坐标 ;(2)选取适当
的数据填入下表,并在图7的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象;
(3)若该抛物线上两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)的横坐标满足x 1
>x 2>1,试比较y 1 与y 2的大小.
a
例3 (2010年安徽省芜湖市) 二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示,反比例函数y = 与正比例函数y =(b +c )
x x 在同一坐标系中的大致图象可能是( )
例4 (2010年兰州市) 抛物线y =x +bx +c 图像向右平移2个单位再向下平移3个单位,所得图像的解析式为
2
y =x 2-2x -3,则b 、c 的值为( )
A . b=2, c=2 B. b=2,c=0 C . b= -2,c=-1 D. b= -3, c=2
例5. 右图是二次函数y 1=ax2+bx+c和一次函数y 2=mx+n的图像,•观察图像写出y 2≥y 1时,x 的取值范围_______. 变式训练:
1、在同一坐标系中,直线y =ax +b 和抛物线
y =
2
2
) A .向左平移1个单位,再向下平移3个单位 B .向左平移1个单位,再向上平移3个单位 C .向右平移1个单位,再向下平移3个单位 D .向右平移1个单位,再向上平移3个单位 考点三:确定二次函数的解析式
例4:(2010年宁波市)如图,已知二次函数y =-
第4题
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x +bx +c 的图象经过A (2,0)、B (0,-6)两点。 2
x
(1)求这个二次函数的解析式
(2)设该二次函数的对称轴与x 轴交于点C ,连结BA 、BC ,求△ABC 的面积。 变式训练:
1、已知:函数y =ax +bx +c 的图象如图:那么函数解析式为( )
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(A )y =-x +2x +3 (B )y =x -2x -3(C )y =-x -2x +3 (D )y =
考点四:最值问题
例5:矩形ABCD 的边AB =6 cm ,BC =8 cm ,在BC 上取一点P ,在CD 边上取一点Q ,使∠APQ 成直角,设BP =x cm ,CQ =y cm ,试以x 为自变量,写出y 与x 的函数关系式. 并求出CQ 的最大值。
例6:如图,抛物线的对称轴是直线x=1,它与x 轴交于A,B 两点,与y 轴交于C 点。点A,C 的坐标分别是(-1,0),(0,(1)求此抛物线对应的函数解析式;
(2)若点P 是抛物线上位于轴上方的一个动点,求△ABP 的面积的最大值。
变式训练:
1、将一条长为20cm 的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形,则这个正方形面积之和的最小值是________cm。
3
) 2
2、 如图,在Rt ⊿ABC 中,∠C=90°,BC=4,AC=8,点D 在斜边AB 上,分别作DE ⊥AC ,DF ⊥BC ,足分别为E 、F ,得四边形DECF ,设DE=x,DF=y. (1)用含y 的代数式表示AE ;
(2)求y 与x 之间的函数关系式,并求出x 的取值范围;
(3)设四边形DECF 的面积为S ,求S 与x 之间的函数关系,并求出S 的最大值.
考点五:以二次函数为基架的综合题
垂
例7:某超市经销一种销售成本为每件40元的商品。据市场调查分析,如果按每件50元销售,一周能售出500件,若销售单价每涨1元,每周的销售量就减少10件。设销售单价为每件x 元(x ≥50), 一周的销售量为y 件。
(A ) 写出y 与x 的函数关系式;(标明x 的取值范围)
(B ) 设一周的销售利润为s ,写出s 与x 的函数关系式,并确定当单价在什么范围内变化时,香洲随着单价的增大而增大;
(C ) 在超市对该种商品投入不超过10000元的情况下,使得一周销售利润达到8000元,销售单价应定为多少?
变式训练:
某商店经销一种销售成本为每件40元的商品.据市场分析,若按每件50元销售,一个月能售出210件;销售单价每涨1元,则每个月少卖10件.设每件商品的售价上涨x 元(x 为正整数),每个月的销售利润为y 元。 (1)求y 与x 的函数关系式,并直接写出自变量x 的取值范围;
(2)每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大的利润?最大利润是多少元?
三、课堂练习
1.已知二次函数y =a (x -1) +b 有最小值 –1,则a 与b 之间的大小关系是 ( )
A .a <b B.a=b C.a >b D.不能确定
2.(2008,长沙)二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示,•则下列关系式不正确的是( )
A .a0 C .a+b+c0
3.(2008,威海)已知二次函数y=ax2+bx+c的图像过点A (1,2),B (3,2),C (5,7).若
点M (-2,y 1),N (-1,y 2),K (8,y 3)也在二次函数y=ax2+bx+c的图像上,则下列结论中正确的是( ) A .y 1
A .y=x2-x+2 B .y=-x 2-x+2 C .y=x2+x+2 D .y=-x 2+x+2
5.(2008,泰安)在同一直角坐标系中,函数y=mx+m和y=-mx 2+2x+2(m 是常数,•且m ≠0)的图像可能是( )
2
6.求下列函数的最大值或最小值.
(1)y =-x 2-2x ; (2)y =2x 2-2x +1.
7.已知二次函数y =x 2-6x +m 的最小值为1,求m 的值.
8.心理学家发现,学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x (单位:分)之间满足函数关系:
y =-0. 1x 2+2. 6x +43(0≤x ≤30) .y 值越大,表示接受能力越强.
(1)x 在什么范围内,学生的接受能力逐步增强?x 在什么范围内,学生的接受能力逐步降低? (2)第10分时,学生的接受能力是多少? (3)第几分时,学生的接受能力最强?
9.如图,有长为24m 的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度a 为10m ),围成中
2
间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB 为x m,面积为S m. (1)求S 与x 的函数关系式;
2
(2)如果要围成面积为45 m的花圃,AB 的长是多少米?
2
(3)能围成面积比45 m更大的花圃吗?如果能,请求出最大面积,并说明围法;如果不能,请说明理由.
10.如图,矩形ABCD 中,AB=3,BC=4,线段EF 在对角线AC 上,EG ⊥AD ,FH ⊥BC ,垂足分别是G 、H ,且EG+FH=EF. (1)求线段EF 的长;
(2)设EG=x,⊿AGE 与⊿CFH 的面积和为S ,
写出S 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围,并求出S 的最小值.
11.在排球赛中,一队员站在边线发球,发球方向与边线垂直,球开始飞行时距地面1.9米,当球飞行距离为9米时达最大高度5.5米,已知球场长18米,问这样发球是否会直接把球打出边线?
12. 某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到赢利的过程.
下面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润s
(万元)与销售时间
t (月)之间的关系(即前t 个月的利润总和s 与t 之间的关系). 根据图象提供的信息,解答下列问题:
(1)由已知图象上的三点坐标,求累积利润s (万元)与时间t (月)之间的函数关系式;(2)求截止到几月末公司累积利润可达到30万元;(3)求第8个月公司所获利润是多少万元?
13.如图,一位运动员在距篮下4m 处跳起投篮,球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5m 时,达到最大高度3.5m ,然后准确落入篮圈,已知篮圈中心到地面的距离为3.05m .
(1)建立如图所示的直角坐标系,求抛物线的函数关系式;
(2)该运动员身高1.8m ,在这次跳投中,球在头顶上方0.25m 处出手,问:球出手时,他跳离地面的高度是多少?
1将抛物线C :y=x²+3x-10,将抛物线C 平移到C ˋ。若两条抛物线C,C ˋ关于直线x=1对称,则下列平移方法中正确的是 () A 将抛物线C 向右平移
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个单位 B 将抛物线C 向右平移3个单位
C 将抛物线C 向右平移5个单位 D 将抛物线C 向右平移6个单位 2、若二次函数【 】A 、
y =x 2-6x +c
的图像过
A (-1, Y 1), B (2, Y 2), C (3+2, Y 3)
, 则的大小关系是
y 1 y 2 y 3 B 、y 1 y 2 y 3 C 、y 2 y 1 y 3 D 、y 3 y 1 y 2
3.在平面直角坐标系中,将抛物线原点,则
y =x 2-x -6向上(下)或向左(右)y 1, y 2, y 3平移了m 个单位,使平移后的抛物线恰好经过
B .2
C .3 D .6
m
的最小值为( )A .1
4. 已知两点
A (-5, y 1), B (3, y 2) 均在抛物线y =ax 2+bc +c (a ≠0) 上,点C (x 0, y 0) 是该抛物线的顶点,若y 1>y 2≥y 0,
>-5 B .x 0>-1 C .-5
则x 0的取值范围是( )A .x 05、二次函数
y =ax 2+bx +c (a ≠0) 的图象如图所示,则下列结论正确的是( )
≠0 D 、9a 2+c 〉3b
A 、c ˃-1 B 、b ˃0 C 、2a +b
6.如图,在平面直角坐标系中,抛物线A (-1,0),B (3,0)C (0,-1)三点。(1)求该抛物线的表达式; (2)点Q 在y 轴上,点P 在抛物线上,要使Q 、P 、A 、B 为顶点的四边形是平行四边形求所有满足条件点P 的坐标。
7.(本题满分10分) 如图,二次函数
y =
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x —x 的图像经过△AOB 的三个顶点,其中A(-1,
m),B(n,n) 33
(1) 求A 、B 的坐标
(2) 在坐标平面上找点C ,使以A 、O 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形 ①、
这样的点C 有几个?能否将抛物线
y =
221
x —x 平移后经过A 、C 两点,若能求出平移后经过A 、C 两点的一条抛物线33
的解析式;若不能,说明理由。
8.(本题满分10分) 如果一条抛物线
那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛y =ax 2+bx +c (a ≠0)与x 轴有两个交点,
物线三角形”.(1)“抛物线三角形”一定是 三角形; (2)若抛物线
y =-x 2+bx (b >0)的“抛物线三角形”是等腰直角三角形,求b 的值;
y =-x 2+bx ' (b '>0)的“抛物线三角形”,是否存在以原点O 为对称中心的矩形ABCD ?若存在,求出过
(3)如图,△OAB 是抛物线
O 、C 、D 三点的抛物线的表达式;若不存在,说明理由.
9.(本题满分10分)
在平面直角坐标系中,一个二次函数的图象经过点A (1,0)、B (3,0)两点. (1)写出这个二次函数的对称轴;
(2)设这个二次函数的顶点为D ,与y 轴交于点C , 它的对称轴与x 轴交于点E ,连接AD 、DE 和DB , 当△AOC 与△DEB 相似时,求这个二次函数的表达式。
10、(本题满分10分) 已知抛物线C:
y =-x 2+bx +c 经过A(-3,0) 和B(0,3) 两点,将抛物线的顶点记为M, 它的对称轴与x 轴的交点记为N.
(1)求抛物线C 的表达式;(2)求点M 的坐标;
(3)将抛物线C 平移到抛物线C ’,抛物线C ’的顶点记为M ’、它的对称轴与x 轴的交点记为N ’。如果点M 、N 、M ’、N ’为顶点的四边形是面积为16的平行四边形,那么应将抛物线C 怎样平移?为什么?