高中数学必修二直线与方程
高中数学必修二 4、直线与方程
知识点复习: 一、直线与方程
(1)直线的倾斜角
定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0度。因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180° (2)直线的斜率
①定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 表示。即k =tan α。斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当α∈0 , 90 时,k ≥0; 当α∈90 , 180 时,k
[)
()
②过两点的直线的斜率公式:k =
y 2-y 1
(x 1≠x 2)
x 2-x 1
注意下面四点:(1)当x 1=x 2时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°; (2)k 与P 1、P 2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 (3)直线方程
①点斜式:y -y 1=k (x -x 1) 直线斜率k ,且过点(x 1, y 1)
注意:当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是y =y 1。
当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因l 上每一点的横坐标都等于x 1,所以它的方程是x =x 1。
②斜截式:y =kx +b ,直线斜率为k ,直线在y 轴上的截距为b ③两点式:④截矩式:
y -y 1x -x 1
=(x 1≠x 2, y 1≠y 2)直线两点(x 1, y 1),(x 2, y 2)
y 2-y 1x 2-x 1
x y
+=1 a b
其中直线l 与x 轴交于点(a ,0) , 与y 轴交于点(0,b ) , 即l 与x 轴、y 轴的截距分别为a , b 。
⑤一般式:Ax +By +C =0(A ,B 不全为0)
1各式的适用范围 ○2特殊的方程如: 注意:○
平行于x 轴的直线:y =b (b 为常数); 平行于y 轴的直线:x =a (a 为常数); (5)直线系方程:即具有某一共同性质的直线 (一)平行直线系
平行于已知直线A 0x +B 0y +C 0=0(A 0, B 0是不全为0的常数)的直线系:
A 0x +B 0y +C =0(C 为常数)
(二)过定点的直线系 (ⅰ)斜率为k 的直线系:(ⅱ)过两条直线l 1:
y -y 0=k (x -x 0),直线过定点(x 0, y 0);
A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0的交点的直线系方程
为(A 1x +B 1y +C 1)+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0(λ为参数),其中直线l 2不在直线系中。 (6)两直线平行与垂直
当l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2时,
l 1//l 2⇔k 1=k 2, b 1≠b 2;l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1
注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。 (7)两条直线的交点
l 1:A 1x +B 1y +C 1=0 l 2:A 2x +B 2y +C 2=0相交
A 1x +B 1y +C 1=0
交点坐标即方程组⎧的一组解。 ⎨
⎩A 2x +B 2y +C 2=0
方程组无解⇔l 1//l 2 ; 方程组有无数解⇔l 1与l 2重合 (8)两点间距离公式:设A (x 1, y 1) ,(是平面直角坐标系中的两个点,
B x 2, y 2)
则|AB |(9)点到直线距离公式:一点P x 0, y 0)到直线l 1:Ax +By +C =0的距离d =Ax 0+By 0+C
A 2+B 2
(10)两平行直线距离公式
在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解。
典型例题
例1. 已知直线过点P (-5,-4),且与两坐标轴围成三角形面积为5,求直线l 的方程。
x y
设直线的截距式方程为:+=1
a b 解: ⎧-5-4
+=1⎪⎪a b
则有⎨
⎪1ab =5⎪⇒a ⎩2
5
或a =-,b =4
=5,b =-22
∴直线方程为8x -5y +20=0或2x -5y -10=0
例2 已知两点A (-3,4) ,B (3,2) ,过点P (2,-1) 的直线l 与线段AB 有公共点. (1)求直线l 的斜率的取值范围.(2)求直线l 的倾斜角的取值范围.
分析:如图1,为使直线l 与线段AB 有公共点,则直线l 的倾斜角应介于直线PB 的倾斜角与直线PA 的倾斜角之间,所以,当l 的倾斜角小于90°时,有k ≥k PB ;当l 的倾斜角大于90°时,则有k ≤k PA . 解:如图1,有分析知
k PA
4-(-1) 2-(-1)
=-3-2=-1, k PB =3-2=3.
x
∴ (1)k ≤-1或k ≤3. (2)arctan3≤α≤
3π
4.
图1
说明:容易错误地写成-1≤k ≤3,原因是或误以为正切函数在[0, π)上单调递增.
例3 若三点A (-2, 3) ,B (3, -2) ,C (, m ) 共线,求m 的值. 分析:若三点共线,则由任两点所确定的直线斜率相等或都不存在. 解答:由A 、B 、C 三点共线,则k AB =k AC .
12
-2-3m -31
,解得m =. =3+22+22
说明:由三点共线求其中参数m 的方法很多,如两点间的距离公式,定比分点坐标公式,面积公式等,但用斜率公式求m 的方法最简便.
∴
例4. 在直线3x -y +1=0上求一点P ,使点P 到两点(1,-1),(2,0)的 距离相等。 分析:(1)设P (x ,y ),则有y =3x +1,故点P 的坐标为(x ,3x +1),由距离公式得x 的方程,解得x =0。 (2)设P (x ,y ),求出两点(1,-1),(2,0)的中垂线方程为x +y -1=0,再解方程组得P (0,1)。
解法1:设P (x ,y ),则有y =3x +1 故点P 的坐标为(x ,3x +1)
解之得:x =0
∴所求的点为P (0,1) 解法2:设P (x ,y ),两点(1,-1),(2,0)所连线段的中垂线方程为: x +y -1=0
由距离公式得:
(x -1)2+(3x +2)2
=
x -2)2+(3x +1)2
又3x -y +1=0
解由、组成的方程组得:P (0,1)
练习:
1. 直线ax +by =1(ab ≠0) 与两坐标轴围成的三角形的面积是( )
1ab
A. 2
1B. 2
1
C. 2ab 1D. 2
2. 过点A (4,1)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是( ) A. x +y =5 B. x -y =5
C. x +y =5或x -4y =0 D. x -y =5或x +4y =0
3. 已知直线Ax +By +C =0的横截距大于纵截距,则A 、B 、C 应满足的条件是( ) A. A>B
4. 直线l 1:ax -y +b =0,l 2:bx +y -a =0(ab ≠0) 的图象只可能是下图中的( )
C C +>0
B. A<B C. A B
C C -
D. A B
5. 直线2x +y +7=0在x 轴上的截距为a ,在y 轴上的截距为b ,则a 、b 的值是( )
A. a =-7,b =-7
B.
a =-7,b =-
7
2
7
a =-,b =7
2 C.
6. 若直线l 的倾斜角为
7
a =-,b =-7
2D.
π+arctan -⎛1⎫
⎝2且过点(1,0),则直线l 的方程为________。
7. 由已知条件求下列直线的斜截式方程。 (1)直线经过点
P 1(2,1)、P 2(0,3)
;
(2)直线在x 轴上的截距为2,在y 轴上的截距为-3。
(m
8. 设直线l 的方程为
确定实数m 的值。
2
-2m -3x +2m 2+m -1y +6-2m =0
)()
,根据下列条件分别
(1)l 在x 轴上的截距是-3; (2)斜率是1。
9. 过点P (2,1)作直线l 交x 轴、y 轴的正半轴于A 、B 两点,当PA ·PB 取最小值时,求直线l 的方程。
10. 已知直线与坐标轴围成的三角形面积为3,且在x 轴和y 轴上的截距之和为5,求这样的直线的条数。
11. 已知点P (-1,1)、Q (2,2),直线l :y =kx -1与线段PQ 相交,求实数k 的范围。
12.已知∆ABC 中,A (1, 3),AB 、AC 边上的中线所在直线方程分别为x -2y +1=0 和
y -1=0,求∆ABC 各边所在直线方程.
参考解题格式:
9. 解:设直线l 的方程为
y =k (x -2)+1(k
⎛1⎫
B (0,1-2k ),A -+2,0⎪
⎝k ⎭ 分别令x =0,y =0得:
∴PA ·PB
22⎛1⎫
= -+2-2⎪+(0-1)·22+(2k )⎝k ⎭
2
⎛1⎫
=4 2+k 2⎪+8≥4
⎝k ⎭
PA ·PB 取得最小值4
∵k <0,∴当且仅当k =-1时,
故所求直线的方程为x +y -3=0
11. 解:∵直线l 的纵截距为-1 ∴直线过点M (0,-1) ∵l 与线段PQ 相交
k MQ =k PM
2-(-1)3
=2-021-(-1)==-2-1-0
∴k ≥k MQ 或k ≤k PM
∴k ≥
3
或k ≤-22
12.分析:B 点应满足的两个条件是:①B 在直线y -1=0上;②BA 的中点D 在直线
x -2y +1=0上。由①可设B (x B ,1),进而由②确定x B 值.
解:设B (
⎛x +1⎫x B +1
D B ,2⎪
x -2y +1=0上∴2-2⋅2+1=0,x B ,1则AB 的中点⎝2⎭∵D 在中线CD :
)
解得x B =5,
故B (5, 1).
(2y C -1,y C ),求出
同样,因点C 在直线x -2y +1=0上,可以设C 为
y C =-1,C (-3,-1).
根据两点式,得∆ABC 中AB :x +2y -7=0, BC:x -4y -1=0,AC :x -y +2=
0.