力的分解与投影
一、力在正交坐标系的投影及力的解析表达式
图2-10 力在坐标轴上的投影
1. 力在正交坐标系的投影
X=F·cosα
Y=F·cosβ=F·sinα
即力在坐标轴上的投影等于力的模乘以力与坐标轴正向夹角的余弦
力在坐标轴上的投影为代数量。其正负号由力与坐标轴正向夹角的余弦确定 当α为锐角时，其值为正
当α为钝角时，其值为负
当α等于直角时，其值为零
2. 力的解析表达式
3. 已知力在正交坐标轴上的投影求力F
注意
1. 力在坐标轴上的投影X 、 Y为代数量，而力沿坐标轴的分力为矢量，二者不可混淆
当力F 沿正交轴x 、y 轴分解时，所得的F X 、 FY 的分力大小与力F 在x 、y 轴上投影X 、Y 的绝对值相等
图2-11 力在坐标轴上的投影
当x 、y 轴不正交时，则没有上述关系
图2-12 力在坐标轴上的投影
2. 力的投影无作用点，分力有作用点，而分力必须作用在原力的作用点上
为了便于计算，通常采用力F 与坐标轴所夹的锐角计算余弦，并且规定：当力的投影与坐标轴指向相同为正、指向相反为负，即
二、合矢量投影定理(合力投影定理)
R=∑Fi
合力在某一坐标轴上的投影等于各个分力在同一坐标轴上投影的代数和
Rx = ∑Xi Ry = ∑Yi
图2-13
F 1x =ab，F 2x =bc，F 3x =－cd ，F Rx =ad
因 ad=ab+bc－cd
故得 FRx =F1x +F2x －F 3x
同理可得 FRy =F1y +F2y +F3y
图2-13
合力的解析式
R=Rx +Ry =(∑X)i +(∑Y)j
此定理是把不能计算的矢量和公式化为能够计算的代数和公式的桥梁，也是用解析法求合力的理论依据
三、合成、平衡的解析法
R=Rx +Ry =(∑X)i +(∑Y)j
若已知合力投影求合力的大小与方向，即
平面汇交力系平衡的充分与必要条件为合力R=0
由解析条件
＝0
即平面汇交力系平衡的解析条件是：力系中各力在两个坐标轴上的投影均为零
平面汇交力系平衡方程式
用解析法解题时受力图未知的约束反力指向可以假设，若计算结果为正，说明假设方向正确，否则假设与实际方向相反
第二章 平面汇交力系
第二节 平面汇交力系合成与平衡的解析法
四、例 题
例2-4
图2-14
已知：F 1=F2、F 4=10KN，F 3=F5=15KN，F 6=20KN
求合力在x 、y 轴上的投影
图2-14
图2-15
解：选重球为研究对象画受力图，建立坐标系 ，如图c ，列方程
若取坐标，如图b
列方程式
F N cos30°-F C cos60°=0 F N sin30+FC sin60-P=0 °°
以上方程联立求解得
F C =0.866KN，F N =0.50KN
例2-6 平面刚架如图
已知：F
、a
求：AB 处反力
图2-16
取刚架研究，画受力图
解：用汇交力系解题A 处反力必须用三力汇交画，而不能用正交分解画
列平衡方程
例2-7 在图示压榨机构ABC 中，铰链B 固定不动。已知：F 、l 、h ，求物体D 所受的压力
图2-17(a)
解：1. 先取销A 研究，画受力图(b)
列方程
由②式知：F B =FC 代入①式
F C =FB = －
-F-F B ·sin-F C ·sin=0 ① F B ·cos-F C ·cos=0 ② 方向设反了
2. 再取C 块研究，画受力图(c)，列方程
物体D 所受的压力为F D 的反作用力，即 F D =-FD '
解题规范
已知→求→取研究对象→画受力图→选择解题方法
五、小 结
本章主要内容是运用几何法和分析法研究平面汇交力系的合成与平衡。重点掌握用解析法求物体系统的平衡问题
一、平面汇交力系合成为一个合力R
1. 几何法中：力多边形的封闭边表示合力的大小和方向，合力仍作用在原汇交点上
2. 解析法中
tg α=
式中α为合力R 与x 轴所夹锐角，合力指向由
二、平面汇交力系平衡的充要条件为R=0
1. 几何法中为力多边形自行封闭 、的正负号确定
2. 分析法为平面汇交力系的平衡方程式
x 、y 轴可以任意选择，但不能平行 运用以上两个独立方程可以求出两个未知数
作业
2-2 a)、b) 2-5