勾股定理和反证法

1、 认清勾股定理中符号的对应关系

1. 在Rt △ABC 中，∠C=90°（1）若a=5，b=12，则c=________；（2）b=8，c=17，则S △ABC =________。 2．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt △ABC 的面积是（ ） A 、24cm

2

B 、36cm

2

C 、48cm

2

D 、60cm

2

3、在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝15，AC ＝17，以AB 为直径作半圆，则此半圆的面积为（ ）．

A ．16π B ．12π C ．10π D ．8π

4、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，且2a ＝3b ，c ＝2，则a ＝_____，b ＝_____． 5、△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，AB ＝8，BC ＝15，CA ＝17，则下列结 论不正确的是（ ）

A ：△ABC 是直角三角形，且AC 为斜边 B：△ABC 是直角三角形，且∠ABC ＝90° C ：△ABC 的面积是60 D：△ABC 是直角三角形，且∠A ＝60° 6. 已知直角三角形的两条边长分别是5和12，则第三边为 （ ） Ａ． １３ Ｂ．

Ｃ．１３或 Ｄ． 不能确定

2、 熟记一些常见的勾股数以及它们的倍数，学会利用平方差公式速度判定能否构成一直角 三角形

1. 若一个三角形的三边之比为5∶12∶13，则这个三角形是________（按角分类）。 2. 直角三角形的三边长为连续自然数，则其周长为________。

3．传说, 古埃及人曾用＂拉绳”的方法画直角, 现有一根长24厘米的绳子, 请你利用它拉 一个周长为24厘米的直角三角形, 那么你拉出的直角三角形三边的长度分别为_______厘 米,______厘米,________厘米, 其中的道理是______________________.

4．观察下列几组数据:(1) 8, 15, 17; (2) 7, 12, 15; (3)12, 15, 20; (4) 7, 24, 25. 其 中能作为直角三角形的三边长的有( )组

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

5. 下列命题①如果a 、b 、c 为一组勾股数，那么4a 、4b 、4c 仍是勾股数；②如果直角三角 形的两边是5、12，那么斜边必是13；③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三 角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a 、b 、c ，（a>b=c），那么a ∶b ∶c =2∶1∶1。其中正确的是（ ） A、①②

B 、①③

C 、①④

D 、②④

2

2

2

6．Rt △一直角边的长为11，另两边为自然数，则Rt △的周长为（ ） A 、121

B 、120

C 、132

D 、不能确定

7. 将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形 ( ) A. 可能是锐角三角形 B. 不可能是直角三角形 C. 仍然是直角三角形 D. 可能是钝角三角形

8、木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm ，宽为60cm ，对角线为100cm ，则这个桌面 （填“合格”或“不合格”）；

9、若三角形的三边满足a :b :c =5:12:13，则这个三角形中最大的角为 ； 10、写出一组全是偶数的勾股数是 ；

11、观察下列各式：3+4=5；8+6=10；15+8=17；24+10=26；„„；你有没有发现其中的规律？请用你发现的规律写出接下来的式子：____________________________。 12、已知a 、b 、c

是三角形的三边长，如果满足(a -6) 2c -10的形状是（ ）

A ：底与边不相等的等腰三角形 B：等边三角形 C ：钝角三角形 D：直角三角形 3、勾股定理的证明（等面积法）

1．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图(最早由三国时期的数学家赵爽给出的) ．从图中可以看到：大正方形面积＝小正方形面积＋四个直角三角形面积． 因而c ＝ ＋ ,化简后即为c ＝ ．

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

=0，则三角形

c

A

b

a

D b

a

b c

a

b

B

b

b

c

c b

a

E

a C

a

2．三个正方形的面积如图，正方形A 的面积为（ ） A. 6 B.４ C. 64 D. 8

3．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm, 则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm。

2

4．在由小方格组成的网格中，用数格子的方法判断出给定的钝角三角形和锐角三角形的三边不满足两边平方和等于第三边的平方，由此可想到_________________________。 4、用含字母的代数式表示勾股定理

1. 三角形的三边长为（a+b）=c+2ab,则这个三角形是( ) A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角形.

2．如果Rt △的两直角边长分别为n －1，2n （n>1），那么它的斜边长是（ ） A 、2n

B 、n+1

22

2

2

C 、n －1

2

D 、n +1

2

3．若△ABC 中，(b －a )(b ＋a ) ＝c ，则∠B ＝_________； 4、n 2-1,2n , n 2+1（n ≥2, n 为正整数）；

2n +1,2n 2+2n ,2n 2+2n +1（n 为正整数）

m 2-n 2,2mn , m 2+n 2（m >n , m ，n 为正整数）

5、已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，满足a +b+c+338=10a+24b+26c.试判断△ABC 的形状.

5、网格问题

1、在单位正方形组成的网格图中标有AB 、CD 、EF 、GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ） （A ）CD 、EF 、GH （C ）AB 、CD 、GH

（B ）AB 、EF 、GH （D ）AB 、CD 、

EF

222

2.(1)在数轴上作出表示 2 的 点.

(2)在第(1)的基础上分别作出表示 1- 2和 2 +1的点.

3、如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC 是________三角形．

4、每个小方格的边长都为1．求图中格点四边形ABCD 的面积。

5、等面积法

1．已知：如图，△ABC 中，∠C = 90°，点O 为△ABC 的三条角平分线的交点，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB ，点D 、E 、F 分别是垂足，且BC = 8cm，CA = 6cm，则点O 到三边AB ，AC 和BC 的距离分别等于 cm

E

F

2、如图，△ABC 中，AC ＝6，AB ＝BC ＝5，则BC 边上的高AD ＝______．

3、直角三角形两直角边分别为6cm 和８cm ，则斜边上的高（中线长）为 。 6、未知量法

1、在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是________m。

2．有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺， 求竹竿高与门高。

3．在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A 处。另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高_________________________ A

6、如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？

7、面积、周长问题

1、在△ABC 中，AB =15，AC =13，高AD =12，则△ABC 的周长为 A ．42

2、如图所示, 有一条小路穿过长方形的草地ABCD, 若AB=60m,BC=84m,AE=100m,•

则这条小路的面积是多少?

B ．32 C ．42或32 D ．37或33

3、等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（ ） A

：

：：3 8、旋转、翻折问题

1、如图4，已知长方形ABCD 中AB=8cm,BC=10cm,在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长.

2、如图，△ABC 是直角三角形，BC 是斜边，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与△ACP ′重合，若AP=3，求PP ′的长。

3、如图，P 是等边三角形ABC 内一点，

PA=2,PB=求△ABC 的边长.

4、如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC=90°，E 、F 是BC 上的点，且∠EAF=45°，试探究

BE 2、CF 2、EF 2间的关系，并说明理由.

5、如图，矩形纸片ABCD 的边AB=10cm，BC=6cm，E 为BC 上一点，将矩形纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在CD 边上的点G 处，求BE 的长.

6、如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC=45°，把△ADC 沿直线AD 翻折，点C 落在点C ’的位置，BC=4,求BC ’的长.

7、已知，如图长方形ABCD 中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ）

A、6cm

10、关于勾股定理在实际中的应用

1、如图，公路MN 和公路PQ 在P 点处交汇，点A 处有一所中学，AP=160米，点A 到公路MN 的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？

2

B 、8cm 2

C 、10cm

2

D 、12cm

2

2、如图，A 、B 是笔直公路l 同侧的两个村庄，且两个村庄到直路的距离分别是300m 和500m ，两村庄之间的距离为d(已知d =400000m) ，现要在公路上建一汽车停靠站，使两村到停靠站的距离之和最小。问最小是多少？

B

A

l

2

2

3、如图，设四边形ABCD 是边长为1的正方形，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去．

（1）记正方形ABCD 的边长为a 1=1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a 2，a 3，a 4，„„，

a n ，请求出a 2，a 3，a 4的值；

（2）根据以上规律写出a n 的表达式．

4、如图，甲船以16海里/时的速度离开港口，向东南航行，乙船在同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后分别到达B 、A 两点，且知AB ＝30海里，问乙船每小时航行多少海里？

5、去年某省将地处A 、B 两地的两所大学合并成了一所综合性大学，为了方便A 、B 两地师生的交往，学校准备在相距2km 的A 、B 两地之间修筑一条笔直公路（即图中的线段AB ），经测量，在A 地的北偏东60°方向、B 地的西偏北45°方向C 处有一个半径为0.7km 的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？（≈1.732）

6、如图，有一块塑料矩形模板ABCD ，长为10cm ，宽为4cm ，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点P 落在AD 边上（不与A 、D 重合），在AD 上适当移动三角板顶点P ：

①能否使你的三角板两直角边分别通过点B 与点C ？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请说明理由.

②再次移动三角板位置，使三角板顶点P 在AD 上移动，直角边PH 始终通过点B ，另一直角边PF 与DC 的延长线交于点Q ，与BC 交于点E ，能否使CE=2cm？若能，请你求出这时AP 的长；若不能，请你说明理由.

11、关于最短性问题

1、一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是_____________。

2

、将一根24cm 的筷子，置于底面直径为15cm ，高8cm 的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为h cm ，则h 的取值范围是（ ）． A ．h ≤17cm B ．h ≥8cm C ．15cm ≤h ≤16cm D ．7cm ≤h ≤16cm

3、葛藤是一种刁钻的植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常饶着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路线，总是沿着短路线—盘旋前进的。难道植物也懂得数学吗？ 如果阅读以上信息，你能设计一种方法解决下列问题吗？

如果树的周长为3 cm，绕一圈升高4cm ，则它爬行路程是多少厘米？

如果树的周长为8 cm，绕一圈爬行10cm ，则爬行一圈升高多少厘米？如果爬行10圈到达树顶，则树干高多少厘米？

4. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm 、3dm 、2dm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点最短路程是_____________.

B

A

20

25、 如右图1－19，壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A 处，它发现 在自己的正上方油罐上边缘的B 处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击．结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐．请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫? （π取3.14，结果保留1位小数，可以用计算器计算）变式：如图为一棱长为3cm 的正方体，把所有面都分为9个小正方形，其边长都是1cm ，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，则它从下地面A 点沿表面爬行至右侧面的B 点，最少要花几秒钟？

12、一个特殊性质的应用

1．如图(1)，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需________米．

2、某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要（ ）

A、450a 元

20m

°

B 、225a 元

C 、150a 元 D 、300a 元

13、证明题

1、在，△ABC 中，∠A CB =90°，CD ⊥AB 于D, 求证：

C

111+=。 BC 2AC 2CD 2

2、如图，已知：在ΔABC 中，∠C=90︒，M 是BC 的中点，MD ⊥AB 于D ，求证：AD =AC+BD.

3. 如图，在△ABC 中，＜ABC 和 ＜BCD 互余，AD=a，BC=b，求证：BD +AC=a+b

2

2

2

2 2

2

2

A

D

B

A

D

C

M

B

4．如图，在△ABC 中，AB=AC，P 为BC 上任意一点，请用学过的知识说明：AB －AP =PB×PC 。

B

P

22

C

5. 如图5，将正方形ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的点M 重合，折痕交AD 于E ，交BC 于F ，边AB 折叠后与BC 边交于点G 。如果M 为CD 边的中点，

求证：DE ：DM ：EM=3：4：5。

图5

6、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D 是斜边BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF 的长。