高等数学中证明不等式的思想方法
2007年12月
三门峡职业技术学院学报
JournalofSanmenxiaPolytechnic
Dec..2007V01.6.No.4
第6卷第4期
科学与技术
高等数学中证明不等式的思想方法
薛贵庚
(三门峡职业技术学院语言与艺术系,河南三门峡472000)
摘要:证明不等式在培养学生的创新思维、创新能力等方面具有重要作用。本文对高等数学中常用的证明不等式的思想方法作了归纳总结.并结合具体实例阐述了这些思想方法在证明不等式中的应用。
关键词:高等数学;证明;不等式;思想方法中图分类号:015
收稿日期:2007-04-10
文献标识码:A
文章编号:1671—9123(2007)04—0111—03
作者简介:薛贵庚(1953-),男,河南偃师人,三门峡职业技术学院高级讲师。
不等式是高等数学教学内容的重要组成部分。由于其题型特殊,解证的方法灵活多变,同时又要具有较为广泛的数学知识,使其在培养学生的创新精神、创新思维、创新能力等方面发挥重要作用。因此,通过教学,使学生掌握一些证明不等式的思想方法,对实施创新教育尤为重要。
因为1<躐<X+1,者X<}<÷
_rl
C
X
所以j丁<h(X+1)一Inx<上
2利用函数的单调性证明不
^冉j1
寺x--X:
在数学中,经常利用函数的单调性比较函数值的大小。证明不等式,实质上就是比较不等式两端的大小。基于这种思想考虑,也可以利用函数的单
l利用Lagrange中值公式证明不等式
利用Lagrange中值公式证明不等式。是高等数学证明不等式常用的方法之一。其基本思想方法是:(1)根据所给不等式,选取一个适当的辅助函数fix)和区间a,b】;(2)当函数f(X)在区间a,b]d2满足Lagrange中值定理的前提条件下。写出Lagrange中
调性证明不等式。其基本思想方法是:(1)先将不等式的一端移至另一端,并取作辅助函数f(X);(2)利
用导数f(X)的符号判定函数f∞在所给区间上的单
调性;(3)根据函数fix)的单调性,导出所证不等式。
值公式f(考)=墅李望立(或邸)一f(a)=f(9(b—a))(a<∈<
U一|d
例2求证:当x>O时,有In(X+、/聋+1)>
b);(3)由a<专<b或其他题设条件,对写出的公式进行适当的放缩。导出所证不等式。
V丽
茎
.
证明:令f(X)=1n(X+V≮耳r)一—了X;==,则当
、/r+1
^
例1当x>l时,证明:—}<ln(X+1)一lnx<一1.XTl
分析:所给不等式与Lagrange中值公式在形式上极为相似。可考虑用Lagrange中值公式给出证明。
证明:选取函数f(t)=Int,则对于Vx>l,函数f(t)=Int在区间Ix,x+1】上满足Lagrange中值定理的条
x>。时,有:f(X)2匹ix2再+了l-ix亍>面(1x)-、/1)i2亍>。(x2+1)、/聋+1(x2+1)、/#+1
由函数单调性判别法可知,函数fix)在区间(0,+∞)内单调增加,于是,Vx>0,有:
f(X)>f(o)=o即111(x+、/f+1)>——;:i;=(X>o)、/《+1
利用函数的单调性证明不等式时,可能会遇到f(X)的符号难以确定的情形,此时,可借助于Pt(X)、f,,(X)等的符号来确定。
件,根据定理则有:ln(x+1)一lnx=f1【(X+1)~xl
5
即In(x+1)一lnx=}(1<x<考<x+1)
万方数据
高等数学中证明不等式的思想方法
例3设0<x<l,求证:(1+x)ln2(1+X)<聋.
证明:设坟X)=(1+X)ln2(1+X)一x2,贝0:
f(X)=In2(1+X)+2111(1+X)一2x
fl’(X)=—差一陋(1+X)一X】
因为Vx>O,有111(1+X)<x,从而有f'’(X)<0,所以f(X)在区间(0,1)内单调减少。
于是Vxe(O,1),有f(X)<f(0)=0,从而fix)在区间(0,1)内单调减少。
则
Vxe(O,1),有f¨X)<f(0)=0
即(1+x)ln2(1+X)一x2<O,所I)A(1+x)ln2(1+x)<聋.
3利用极值或最值证明不等式
利用函数的极值或最值证明不等式。也是一种行之有效的方法。当辅助函数f(X)在区间(a,b)内部不具有单调性,但f(X)=0仅有一个零点时,可考虑
用此方法来证明不等式。其证题的基本思路,与利
用函数的单调性证明不等式基本相同,只是在导出不等式时,不是根据函数的单调性,而是函数的极值或最值。
例4当x>O时,求证:心一1)lnx≥(X一1)2.证明:令f(X)=留一1)lnx—x一1)2,则Vx>O,f(X)=
一2x21nx-(x-1)2一,且有f(1)=0,f.・(1)>0,从而f(X)在x=1处取得极小值,也即是fix)在区间(0,+∞)内取得最小值.且fm(1)=o.
于是Vxe(O,+∞),有f(X)≥f(1)=0,所以
僻一1)lnx一>x一1)2.
4利用曲线的凹凸性证明不等式
运用曲线的凹凸性证明不等式的基本思想方
法是:(1)构造辅助函数fix);(2)¥1J定函数f(X)在指定区间上的凹凸性;(3)根据曲线凹凸性的定义或图像特征,导出所证不等式。
例5求证:(等})<芏#;其中:x>o,y>o,
且x≠y,n>1.‘11
分析:由于所给不等式的两端都与幂函数有关,因此可考虑选取函数f(X)=)(11.
证明:令f(t)=ff,te(O,+∞),贝4f(t)=ncn~,PI(t)=
n(n一1)户;
当n>l时,Vte(O,+∞),有f’’(t)>0
由曲线凹凸性判别法可知,f(t)在区间(0,+∞)内是凹的,根据凹凸性的定义可得,Vx,y∈(0,+∞),且
x≠y,有f(孚)<学[1】棚(孚)<
112
万
方数据型:±Z:
’
2
例6当O<x<w时,证明:sin_X>墨.
证明:设f(X)2sin手一詈,则f(X)2丁1c。s争一
},f.’(X)2一了1sin手
由于Vxe(O,1T),f"(X)<0,因此贝X)在区间(0,1T)内是凸的。
又由“0)=f(1T)=0可知,在区间(0,1T)内曲线f(X)
在x轴的上方,从而Vx,(o,1T),有fix)=sin丁X一}>
0,所以sin_X>墨.
Z
订
5利用Taylor展开式证明不等式
Taylor展开式是研究函数的性态和函数近似值计算的重要工具。在高等数学中,Taylor展开式除在研究函数的性态、函数近似值的计算、函数的极限等方面的应用之外.还可用来证明一些重要的
不等式。其基本思想方法是:(1)求出函数心在某
一点Xo处的Taylor展开式,展开式的阶数可根据所给不等式来确定;(2)根据题设,对展开式的余项
进行适当的放缩,导出所证不等式。
例7已知:Vxe(a,b),PI(X)>0,求证:VXiE(a,b)(i=1,2,…,n),有
ff垫坚立生1
f(x1)q-f(X2)q-''"OVf(xn)一.【2】
\
n
/
n
证明:令洳=上(X1-_|-X2q-…+硝,则)(0E(a,b)K
Xl-'}-
X2+…+Xn—nxo=O.
在点Xo处将函数心展开,Vxe(a,b)有:
f(X)=f(xo)+f(x0)(x—xo)+!姜垃x—xo)其中考在Xo
与X之间。
令X=Xi(i=1,2,…,n),则有:f(xO=ffXo)+t'(Xo)xi—Xo)
+三墼Xi--Xo)其中考。在Xo与Xi之间。
由于Vxe(a,b),PI(X)>0,因此
f(xi)≥fIx0)+f(x0)(Xi—xo)(i=1,2,…,n),于是:
f(X1)+取2)+…+坟xn)≥nf(xo)+fCx0)(x1+x2+…+)(n—
nxo)
由于X1+x2+…+x.--rtxo=O,从而
f(X,)+f(x2)+…+f(硝≥觚目,即
f(目≤亟世随生幽砬
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所以ff型羔监1≤甄)±蚴±:::塑盟.
6利用积分中值定理证明不等式
积分中值定理在证明含有定积分的不等式中有着独特的作用。
所以(b—a)2≤J
r(x)ax
J志dx・
利用高等数学的知识证明不等式的方法比较多,除以上介绍的几种方法之外,还有用定积分的性质、偏导数、幂级数、概率等有关知识,以及Schwarz、切彼契夫等已知的重要不等式来证明不等式的方法。总之,由于不等式题型较多,题目变化
例8若f(X)>0,贝。有:(b_a)2≤』f(X)dX』南d)【・
证明:作辅助函数
比较大,解证的方法灵活多变,因此,要真正的掌握
不等式的证明.除需要掌握较为广泛的数学知识和
d】【一(t—a)2,其中tE【a,b】・
一定的方法技巧外,还要靠自己在实践的过程中多练习、多体会、多总结。
参考文献:
【1]同济大学应用数学系.高等数学:第五版【M】.北京:高等教育出版社,2004.
F(t)2』f(X)叔』酉1
F(b)一F(a):f
由于F,(t)在Ix间[a,b】上连续,且F7(c)≥0,因此根据积分中值定理,j缸(a,b),使得
F,(t)dt=F,(专)(b—a)>t0
[2】刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义:第三版【M】.北京.高等教
育出版社,1999.
因为F(a)=0,从而F(b)I>0,即
州2』仃X)奴』亩扣旷a)2≥0
(责任编辑李少斌)
(上接第77页)以网络为平台的多维交流、教师与学员的交流和学员之间的交流.开放教育中不同背景、不同结构、不同需求学员的管理也必然要采用更为灵活、更具针对性的方式。
三是革新教学管理机制。革新管理机制是取得管理实效的关键因素,因此,强化领导机制、优化调控机制、注重环境机制,加大各项相关制度建设,完善激励机制、信息反馈机制,充分发挥校园环境的教育功能,强化舆论导向、政策导向、榜样导向作用.对现代远程开放教育环境下素质教育的实施意义非凡。
四是革新教学管理内容。一切形式的创新都是为内容服务的,现代远程开放教育条件下的教学管
理对象逐渐走向个性化、自主化。相应的管理方式
也在逐渐网络化、社会化和高效化。因此,教学管理的内容也要从传统教育对教育全过程管理转向对教育目标、教育质量、教育服务的管理上来。
五、结语
现代远程开放教育环境下素质教育目标的实现是涉及到社会、学校、教师、学员等众多主体和客体的系统工程,需要技术发展的创新性支持,需要观念的不断更新,也需要在发展中不断创新和完善实施途径。
参考文献:
[1】黄萍.远程教育环境下校园文化建设特点初探【I】.广播电视
大学学报,2004(3).
(责任编辑李少斌)
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作者:作者单位:刊名:英文刊名:年,卷(期):被引用次数:
薛贵庚
三门峡职业技术学院,语言与艺术系,河南,三门峡,472000三门峡职业技术学院学报
JOURNAL OF SANMENXIA POLYTECHNIC2007,6(4)0次
参考文献(2条)
1. 同济大学应用数学系 高等数学:第五版 20042. 刘玉琏. 傅沛仁 数学分析讲义 1999
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