圆周角和圆心角
圆周角
目录[隐藏] 圆周角概念 圆周角角度及其推论 圆周角推理
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圆周角概念
概念:顶点在圆周上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角(angle in a circular segment)。圆周角的顶点在圆上,它的两边与圆相交。
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圆周角角度及其推论
①圆周角度数定理,圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半 ②同圆或等圆中,圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半
③同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,相等圆周角所对的弧也相等 ④半圆(或直径)所对圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径 ⑤圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角。 ⑥圆心角所对的圆周角,当角的顶点在这个角所对的劣弧上时,解答就需要分情况证明,此时的圆周角不为圆心角的一半
圆周角定理: 同弧所对圆周角是圆心角的一半.
证明略(分类思想,3种,半径相等)
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圆周角推理
圆周角推论1: 半圆(弧)和直径所对圆周角是90°.
90°圆周角所对弦是直径.
(常用辅助线:已知直径,作其所对圆周角;已知90°圆周角,作其所对弦,即直径.)
圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等.
同(等)圆中,相等的圆周角所对弧相等.
命题1: 在圆中作弦MN,于直线MN同侧取点A、B、C,使点A、B、C分别在圆内、上、外,将点A、B、C分别与
点M、N连结,则有∠A>∠B>∠C
(图略,证明:三角形一外角等于不相邻两内角和.)
命题2: 顶点在圆外的角(两边与圆相交)的度数等于其所截两弧度数差.
顶点在圆内的角(两边与圆相交)的度数等于其及其对顶角所截弧度数和的一半. (图略,证明略)
例题
例7. 已知:如图,AB是⊙O的直径,AC、AD为 弦,且AD平分∠BAC,若AB=10,AC= 6,
求AD的长.
解:连结BD并延长交AC的延长线于点E,连结BC
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=∠ADB=90°
∴BC⊥AE,AD⊥BE
又∵AD平分∠BAC
∴AE=AB,DE=BD
∵AB= 10,AC= 6
∴CE= AE-AC= 4 ,
在Rt△ABC中 BC=8
在Rt△BCE中,BE=4√5
∴BD=2√5
在Rt△ABD中,
∴AD= 4√5
圆心角
目录[隐藏] 数学术语
1概述
2圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
3圆心角与圆周角的关系
圆心角
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数学术语
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1概述
顶点在圆心的角。圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
圆心角α的取值范围是-360°
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2圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角相等,所对的弧相等,所对的弦相等,所对弦的弦心距也相等.
理解:
(1)把顶点在圆心的周角等分成360份时,每一份的圆心角是1°的角.
(2)因为在同圆中相等的圆心角所对的弧相等,所以整个圆也被等分成360份,这时,把每一份这样得到的弧叫做1°的弧.
(3)圆心角的度数和它们对的弧的度数相等.
推论:在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等
(4)圆心角最大为360°.
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3圆心角与圆周角的关系
条件:在同圆或等圆中。
定理:在同圆或等圆中,同弧或同弦所对的圆周角等于二分之一的圆心角