函数值域习题
知识点 函数值域求法
1、直接观察法 对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。
1
例1 求函数y = 的值域
x
1
解: x ≠0 ,∴ ≠0 显然函数的值域是:( -∞,0 )∪(0 ,+∞)。
x 例2 求函数y = 3 -x 的值域。
解: x ≥0 ∴- x ≤0 3- x ≤3 故函数的值域是:[ -∞,3 ]
2 、配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例1、求函数y=x 2-2x+5,x ∈[-1,2]的值域。
解:将函数配方得:y=(x-1)2+4, x ∈[-1,2], 由二次函数的性质可知:
当x = 1时,y min = 4 当x = - 1,时y max = 8 故函数的值域是:[ 4 ,8 ] 例2、求函数y =2x -3+4x -13的值域。 解:y =
1
=
2
11
4x -6+24x -13=(4x -13)+24x -13+7 224x -13+1+3,所以y ≥
2
()[]
)
2
77
,故所求函数值域为[ ,+∞]
22
3 、判别式法
1+x +x 2
例1 求函数y = 的值域。 2
1+x
解:原函数化为关x 的一元二次方程(y-1 )x 2+(y - 1 )x= 0
(1)当y ≠1时, x∈R ,△ = (-1)2-4(y-1)(y-1) ≥0
13
解得:≤y ≤
22
(2)当y=1,时 ,x = 0,而1∈[
1313
, ] 故函数的值域为[,] 2222
例2 求函数y=x+x (2-x ) 的值域。
解:两边平方整理得:2x 2-2(y+1)x+y2=0
x ∈R ,∴△=4(y+1)2-8y ≥0
解得:1-2≤y ≤1+2
但此时的函数的定义域由x (2-x )≥0,得:0≤x ≤2。
由△≥0,仅保证关于x 的方程:2x 2-2(y+1)x+y2=0在实数集R 有实根,而不能确保其实根在区间[0,2]上,即不能确保方程(1)有实根,由△≥0求出的范围可能比y 的实
13
际范围大,故不能确定此函数的值域为[,]。可以采取如下方法进一步确定原函数的
22
值域。
0≤x ≤2,∴y=x+
x (2-x ) ≥0,∴
y
min
=0,y=1+2代入方程(1),解得:
2+2-222+2-22
时,原函数的值域为:[0,1+2]。 x 1=∈[0,2],即当x 1=
22【注:由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的
定义域,将扩大的部分剔除。】 4、反函数法
直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
3x +4
例1 求函数y=值域。
5x +6解:由原函数式可得:x =
4-6y 4-6y
则其反函数为:y =
5x -35y -3
33
其定义域为:x ≠ 故所求函数的值域为:(- ∞,)
55
5 、函数有界性法
直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定函数的值域。
e x -1例1求函数y = x 的值域。
e +1
解:由原函数式可得:e x =
y +1
y -1
e x >0,∴
y +1
>0 解得:- 1<y <1。 y -1
故所求函数的值域为( - 1 , 1 ) .
cos x
例2 求函数y = 的值域。
sin x -3
解:由原函数式可得:ysinx-cosx=3y 可化为:y 2+1 sinx(x+β)=3y
即 sinx(x+β)=
3y y +1
2
∵x ∈R ,∴sinx (x+β)∈[-1,1]。即-1≤
3y y +1
2
≤1
解得:-
2222≤y ≤ 故函数的值域为[-,]。 4444
x -5
6 、函数单调性法 例1 求函数y = 2解:令y 1=2
x -5
+log 3
x -1 (2≤x ≤10)的值域
x -1,则 y1 , y 2在[ 2, 10 ]上都是增函数。 所以
,y 2= log
3
y= y1 +y 2在[ 2 ,10 ]上是增函数。 当x = 2 时,y min = 2-3+log
3
1
2-1= 当x = 10 时,y max = 25+log 38
=33。
1
故所求函数的值域为:[ ,33]。
8
例2 求函数y= x +1-x -1的值域。 解:原函数可化为: y=
2x +1+x -1
令y 1 = x +1,y 2= x -1,显然y 1 ,y 2在[1,+∞)上为无上界的增函数,所以y= y 1 +y 2在[1,+∞)上也为无上界的增函数。所以当x = 1时,y=y1 +y 2有最小值2,原函数有最大值
22
= 2。
显然y >0,故原函数的值域为( 0 , 2]。
7、换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用。 例1、求函数y =x --2x 的值域。 解:由1-2x ≥0,得x ≤
1
。令-2x =t (t ≥0) 2
11-t 21-t 212
-t =-(t +1)+1,因为t ≥0,所以y ≤。故所求得x =,于是y =
2222
1
函数值域为[-∞, ]。
2
例2、求函数y =x -x 2+x 2的值域。
π⎫⎛
解:设x =sin α ≤⎪,则
2⎭⎝
1112⎛π⎫
y =sin αcos α+sin 2α=sin 2α+(1-cos 2α)=+sin 2α-⎪。
22224⎭⎝
⎡1-21+2⎤1-21+2
所以,故所求函数值域为⎢≤y ≤⎥。 2222⎣⎦
例3 求函数y = x + x -1的值域。 解:令x-1=t,(t ≥0)则x=t 2+1
13
∵y=t 2+t+1=(t +) 2+,又t ≥0,由二次函数的性质可知
24
当t=0时,y min = 1, 当t →0时,y →+∞。 故函数的值域为[ 1 ,+∞)。
例4求函数y =x+2+-(x +1) 2的值域 解:因1-(x +1) 2≥0 ,即(x +1) 2≤1 故可令x+1=cosβ,β∈[ 0 ,∏] 。
∴y=cosβ+1+-cos 2B =sinβ+cosβ+1=2sin (β+∏/ 4 )+1 ∵0≤β≤∏,0 ≤β+∏/4≤5∏/4 ∴ -
2
≤sin (β+∏/4)≤1 2
∴ 0 ≤2sin (β+∏/4)+1≤1+2 故所求函数的值域为[0,1+2]。
x 3-x
例5 求函数 y=4的值域 2
x +2x +1
2x 1-x 21
解:原函数可变形为:y=-⨯ ⨯
21+x 21+x 2
2x 1-x 2
可令x=tgβ,则有=sin2β,=cos2β 2
1+x 21+x
11
sin2β⨯ cos2β= -sin4β 24
1
当β= k∏/2-∏/8时,y max =。
41
当β= k∏/2+∏/8时,y min = -
4
而此时tg β有意义。
11
故所求函数的值域为[-,] 。
44
例6 求函数y=(sinx+1)(cosx+1),x ∈[-∏/12∏/2]的值域。 解:y=(sinx+1)(cosx+1)=sinxcosx+sinx+cosx+1
1
令sinx+cosx=t,则sinxcosx=(t 2-1)
2
11
y = (t 2-1)+t+1= (t +1) 2
22
∴y=-
由t=sinx+cosx=2sin (x+∏/4)且x ∈[- ∏/12,∏/2] 可得:
2
≤t ≤2 2
2233
+2,当t=时,y=+ 2422233+ ,+2] 。 422
∴当t=2时,y max =
故所求函数的值域为[
例7求函数y=x+4+5-x 2的值域 解:由5-x ≥0 ,可得∣x ∣≤5 故可令x =cos β,β∈[0,∏]
y=5cos β+4+5sin β=sin (β+∏/4)+ 4 ∵ 0 ≤β≤∏, ∴ ∏/4≤β+∏/4≤5∏/4
当β=∏/4时,y max =4+,当β=∏时,y min =4-。 故所求函数的值域为:[4-5,4+]。
8 数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题
目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目。 例1 求函数y=
(x -2)
2
+
x +8)
2
的值域。
解:原函数可化简得:y=∣x-2∣+∣x+8
∣
上式可以看成数轴上点P (x )到定点A (2 ),B (- 8 )间的距离之和。 由上图可知:当点P 在线段AB 上时,y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB ∣=10 当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时, y=∣x-2∣+∣x+8∣>∣AB ∣=10 故所求函数的值域为:[10,+∞) 例2 求函数y=
x
2
-6x +13 +
x
2
2
+4x +5的值域
2
解:原函数可变形为:y=
(x -3) +(0-2) +(x +2)
2
+(0+1)
2
上
式可看成x 轴上的点P (x ,0)到两定点A (3,2),B (-2 ,-1 )的距离之和,由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时, ymin =∣AB ∣=
3+2)
x
2
2
+(2+1) =43,
2
故所求函数的值域为[43,+∞)。 例3 求函数y=
-6x +13 -
x
2
2
+4x +5的值域
2
解:将函数变形为:y=
(x -3) +(0-2) -(x +2)
2
+(0-1)
2
上式可看成定点A (3,2)到点P (x ,0 )的距离与定点B (-2,1)到点P (x ,0)的距离之差。即:y=∣AP ∣-∣BP ∣ 由图可知:(1)当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交点时,如点P ¹,则构成△ABP ¹,根据三角形两边之差小于第三边, 有 ∣∣AP ¹∣-∣BP ¹∣∣<∣AB ∣=
(3+2) +(2-1)
22
= 26 即:-26<y <26
(2)当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时, 有 ∣∣AP ∣-∣BP ∣∣= ∣AB ∣= 26。
综上所述,可知函数的值域为:(-26,-26]。 注:由例17,18可知,求两距离之和时,要将函数式变形,使A ,B 两点在x 轴的两侧,而求两距离之差时,则要使两点A ,B 在x 轴的同侧。 如:例17的A ,B 两点坐标分别为:(3 ,2 ),(- 2 ,- 1 ),在x 轴的同侧; 例18的A ,B 两点坐标分别为:(3 ,2 ),(2 ,- 1 ),在x 轴的同侧。 9 、不等式法
利用基本不等式a+b≥2ab ,a+b+c≥33abc (a ,b ,c ∈R ),求函数的最值,其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
例1 求函y=(sinx +1/sinx)+(cosx+1/cosx)的值域 解:原函数变形为:
y=(sin x +cos x )+1/sin x +1/cos x = 1+ csc x +sec x = 3+tg x +ctg x ≥3
2
2
2
2
2
2
2
2
+
2
x ctg x + 2=5
2
当且仅当tgx=ctgx,即当x=k∏±∏/4时(k ∈z ),等号成立。 故原函数的值域为:[ 5,+∞)。
例2求函数y=2sinxsin2x的值 解:y=2sinxsinxcosx =4sin x cosx
2
y
2
=16sin x cos x
2
2
2
42
=8sin x sin x (2-2sin x ) ≤8(sin x +sin x +2- sin x ) =8[(sin x +sin x +2- sin x )/3]
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
=
64 27
当且当sin x =2-2sin x ,即当sin x =时,等号成立。 由y ≤
2
648383,可得:-≤y ≤
2799
故原函数的值域为:[-
838,)。 99
10、多种方法综合运用 例1 求函数y=
x +2
的值域 x +3
解:令t=x +2 (t ≥0),则x+3=t 2+1 (1) 当t >0时,y=所以0<y ≤
1
。 2
1
]。 2
11
≤, 当且仅当t=1,即x=-1时取等号 2
t +1/t 2
t +1
t
=
(2) 当t=0时,y=0。综上所述,函数的值域为:[0,注:先换元,后用不等式法。 例 2 求函数y=
1+x -2++1+2x +x
4
2
4
2
3
4
的值域。
解:y=
1-2+2
2
1+2x +x
+4
x +2
3
1+2x +x
=(4
1-x +x
) 2
1+x 1+x
2
2
2
β1-x =2β,x =1sin β,
令x=tg,则() cos 2
221+x 2
2
2
1+x
2
∴y=cos β+ =-(sin
2
112
sin β=-sin β+ sin β+1 22
1+17 β-) 16
4
∴当sin β=
117
时,y max =。当sin β=-1时,y min =-2。 416
β17
此时tg 都存在,故函数的值域为:[-2,]。
216
【注:此题先用换元法。后用配方法,然后再运用sin β的有界性。】
课上习题
一、选择题
⎧log 2x (x >0) 1
1. 已知函数f (x ) =⎨x ,则f [f ()]的值是
43(x ≤0) ⎩
A.9
1
B. C. -9
91
D. -
9
x
⎧⎫⎪⎪⎛1⎫
2. 若集合S =⎨y |y = ⎪-1, x ∈R ⎬, T ={y |y =log 2(x +1), x >-1},则S T 等
⎪⎪⎝2⎭⎩⎭
于
A .{0} B.{y |y ≥0} C.S D.T 3. 下列函数中值域是(0,+∞)的函数是
A. y =5
12-x
1
B.y =
() 1-x C.y =
D.
2
y =
4. 定义在R 上的函数y =f (x ) 的值域为[a ,b ], 则f (x +1) 的值域为
A. [a , b ] B.[a +1,b +1] C.[a -1, b -1] D.无法确定
2
5. 函数y =的定义域是(-∞,1) [2,5],则其值域是
x -1
11
A.(-∞,0) [,2] B.(-∞,2) C.(-∞, ) [2,+∞]
22
D.(0,+∞)
6. 函数y =lg[x 2+(k +3) x +4]的值域为R ,则实数k 的取值范围是
A .-7≤k ≤1 B .k ≤-7或k ≥1 C.-1≤k ≤7 D .k 1
11
7. 已知函数f (x ) 满足2f (x ) -f () =, 则f (x ) 的最小值是
x |x |
A .2 B.22 C.8. 函数y =|x -3|-|x +1|
2
3
D .
22
3
A. 最小值为0,最大值为4 B.最小值为-4,最大值为0 C. 最小值为-4,最大值为4 D.没有最大值,也没有最小值 9. 已知f (2x +1) 的最大值为2,f (4x +1) 的最大值为a ,则a 的取值范围是 A .a 2 C.a =2 D.以上三种均有可能
111
10. 已知a >0, b >0, a 、b 的等差中项是, 且α=a +, β=b +, 则α+β的最小
2a b
值是 A .3 B .4 C .5 D .6
11-x 2
-2x , f [g (x )]=2(x ≠0) , 则f () = 11. 已知g (x ) =1
2x
A .15
二、填空题:
B .1 C .3 D .30
1112
14. 定义在R 上的函数f (x ) 满足关系式:f (+x ) +f (-x ) =2, 则f () +f ()
2288
7
+ +f () 的值等于________
8
) (2=.15. 已知函数f (x ) 对一切实数a ,b , 均满足f (a +b ) =f (a ) ⋅f (b ) ,且f 1则
f 2() 3) (f
+f 1) (2() f 4() f
3) (f 2(007) f
+2(006) f
16. 设f (x ) =
ax +b
(a >0)的值域为[-1,4],则a , b 的值为_________ 2
x +1
x ≤0⎧2x +3
⎪
17. 函数y =⎨x +301⎩
18.已知a , b 为常数,若f (x ) =x 2+4x +3, f (ax +b ) =x 2+10x +24, 则5a -b =
三、解答题:
19. 求下列函数的值域
4(1)y =2; x -4x -5
(2)y =-x +-2x ;
(3)y =2x -1 x
2x 2+bx +c (b
21.设函数f (x ) =x 2+x -1, 4
(1)若定义域为[0,3],求f (x ) 的值域;
11(2)若定义域为[a , a +1]时,f (x ) 的值域为[-, ],求a 的值. 216
.
课外习题
⎧-1(x >0) (a +b ) +(a -b ) ⋅f (a -b ) (a ≠b ) 的值为 1. 设函数f (x ) =⎨,则2⎩1(x
A. a
2.函数f (x ) =B. b C.a 、b 中较小的数 D.a 、b 中较大的数 19∑x -n 的最小值为
n =1
A .190 B.171 C .90 D .45
3.求下列函数的值域
23x +1y =(x ≤1) (3
)y =2x +4)
(1)y =2) y =x +4 22+x x -2
4.已知x , y ≥0, 2x +y =6,求Z =4x 2+3xy +y 2-6x -3y 的最值。
5.求下列函数的值域
2sin x x 2-x y =y =(1)y =1-x (2)(3) x +224-2+52-cos x x -x +1
x +1x 2+3(x >-1) 呢? (x >-1) 的最值?y =26. 如何求函数y =x +3x +1
7.求下列函数的值域
x 2+1(x ≥2) (2
)y =2x -(1)f (x ) =x
(3)y =|x -1|+|x +4| (4)y =
8. 已知函数:f (x ) =x +1-a (a ∈R 且x ≠a ) a -x 1-sin x 2-cos x
(1)证明:f (x ) +2+f (2a -x ) =0对定义域内的所有x 都成立.
(2)当f (x ) 的定义域为[a +1
2, a +1]
(3)设函数g (x ) =x 2+|(x -a ) f (x ) |,
时,求证:f (x ) 的值域为[-3, -2];求g (x ) 的最小值