多目标决策问题的博弈论方法初探

第１２卷第６期

２００３年１２月运筹与管理ＶＯ【１２．Ｎｕ６１）ｅｃ．２００３ＯＰＥＲＡＴＩＯＮＳＲＥＳＥＡＲＣＨＡＮＤＭＡＮＡＧＥＭＥＮＪｌ∞ＩＥＮＣＥ

多目标决策问题的博弈论方法初探

董雨１，胡兴祥２，陈景雄１

（１．巾囤科学技术大学，安徽台肥２３００２６：２合肥工业大学团委．安徽合肥２３０００９）

摘要：本文通过对多目标决策中常用解法的改进，提出了运用博弈论的方法求解多目标评价的思想，讨论了相

互冲突的目标决策和非合作博弈问题中的三种类型，并给出了相应的求解路径。

美蕾词：多目标决策；博弈论Ｎａｓｌｌ；均衡解

中围分类号：０２２１．６０２２５文章标识码：Ａ文章编号：１００７—３２２１１２００３）１）６．００３５．０５

ＧａｍｅＴｈｅｏｒｙＡｎａｌｙｓｉｓＯｎＭｕｌｔｉ’。ＯｂｊｅｃｔｉｖｅＤｅｃｉｓｉｏｎ

ＤＯＮＧＹｕｌ，ＨＵＸｉｎｇ—ｘｉａｎ９２，ＣＨＥＮＪｉｎｇ—ｘｉｏｎ９１

（１．ＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｌＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙｏｌＣ油ｉｎａ，ＢｕｓｉｎｅｓｓＳｃｈｏｏｌ，ＨＦ扣Ｉ２３００２６，（Ｍｊｎ“

２．ＨｅｆｅｉＵ，『ｌｉｖｅｒｓｉｔｙ吖Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，ＨｅＪＰｌ２３０００９，Ｃｈｉｎａ）

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｔｈｉｓａｒｔｉｃｌｅ，ｗｅｉｍｐｒｏｖｅｔｈｅｃｏｍｍｏｎｍｅｔｈｏｄｓｆｏｒｔｈｅｍｕｌｔｉ—ｏｂｊｅｃｔｉｖｅｄｅｃｉｓｉｏｎ，ａｎｄｔｒｙｄｕｅｅｔｈｅｇａｍｅｔｈｅｏｒｙ

ｎＯＢ—ｃｏｏｐｅｒａｔｅｔＯｔＯｉｎｔｒｏ—ｔｈｉｓｆｉｅｌｄＷｅａｌｓｏｄｉｓｃｕｓｓｔｈｒｅｅｔｙｐｅｓｏｆｔｈｅｍｕｌｔｉ—ｏｂｊｅｃｔｉｖｅｄｅｃｉｓｉｏｎＯｉｌｃｏｍｐｅｔｅ＆ｐｒｏｂｌｅｍ，ａｎｄｔｈｅｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇｓｏｌｕｔｉｏｎｉｓｇｉｖｅｎ．

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｍｕｌｔｉ—ｏｂｊｅｃｔｉｖｅｄｅｃｉｓｉｏｎ；ｇａｍｅｔｈｅｏｒｙ；Ｎａｓｈｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ

０引言

近年来，人们日益认识到，在分析和解决某些经济问题时，必须同时考虑多个目标。常用于求解多目标决策的方法比较多．如平方加权和法，∈一约束法，等，这些解法在本质上都归结于多目标的线性组台。由于这些解法都是从某一个方面揭示多目标决策问题，因此就存在着需要改进的地方。

决策人面对多个目标进行决策时，这些目标一般是冲突的。为了调和这些冲突，它要以某种方式解决目标之间的矛盾。本质上，博弈论是研究解决、调和冲突的科学，根据博弈论思想，如果我们将决策者设置为局外人．把各个目标作为局中人，而各目标在某一方案下的值即可与博弈论中在一个条件下的局中人支付作对应。这里的目标方案则是博弈论中的策略。一旦目标条件确定，则策略也随之确定，同时也产生了相应的支付。通过博弈选择，我们可以得到对应多目标决策问题的博弈解，而决策者这个局外人要做的是根据自己的偏好与效用情况，从博弈解中选取满意解。由此可以把多目标决策问题与博弈论问题从本质思想上联系到一起…。

１多目标决策的博弈观

大多数而言，多目标决策具有相互冲突性，各个目标之间是对抗的．引用博弈论的语言．就是非合作的收藕日期：２００３．０３一Ｕ６

基金项目：田牢８６３计划赞助项目（２０‘ｄ２ＡＡ４１３６１）作奢简介：量雨（１９６８．ｊ，男，安擞阜阳人，中回科学技术走学博士研究生．研究方向曲知诅管理、信息蛀济学、博彝诗．

运筹与管理２００３年第Ｌ２卷

（１ｉＯｎ～ｃｏｏｒｐｏｒａｔｉｏｎ）。我们通过引入博弈论思想，从三个方面分析相互冲突的目标决策与非合作博弈多月标决策问题的最优决策准则．这具有一定代表性，也是运用博弈解法的基础。

首先把各目标放于完全竞争（冲突）的环境中来考虑，每～目标都争取达到最优值，这样我们得到完全竞争下的非合作平衡解，然后考虑整体利益最优，把目标看作是存在相互合作的，并在合作中得到大于各自独立行动时利益的整体，最后考虑如果目标存在层次性的情况下，如何求得两者的博奔最优解。

２有限方案的两目标决策与二人零和、一般和有限博弈

因为实际管理行动中的可行方案是有限的，所以有限方案的两目标决策可以用矩阵形式列出，并标出在这一方案下，两目标所赋予的对应值。如表１所示：

表ｌ有限方案商目标决策的决策矩阵

届

方案

ｘｌ

ｘ１性Ｆ２（ｔ）Ｆ２Ｉ【ｘＦＩ（ｊ）—ｌ（ｘＩｊ２）＾ｌ（ｘ１）Ｆ２２（ｘ２）

其中Ｘ．∈盘”为欧式空间的一个向量，Ｆ州（ｘ。．）和Ｆ们（ｘ。）为各自属性下的数值。

实际问题中，由于Ｆ。（ｚ）和Ｆ：（ｚ）方案的属性性质不同，为了统一量纲，我们首先需要将属性值加以规范化‘“。为了把两个央策目标作为两个博奔局中人分开处理，我们构造以下两个归一化后的矩阵：

＾（ｚ１）

（Ｉ一１）

／ｌ（上。）Ｂ＝（１—２）

这里／ｉ（ｚ，），／ｊ（ｚｉ）∈［０，１Ｊ．（ｊ＝１，２，Ａ．州）

由此我们可以把有限方案两目标决策转化为二人一般和矩阵博弈，即，＝（ｘ，ｙ，Ａ，Ｂ），其中ｘ，ｙ分别表示两目标采用某一策略ｚ，．Ａ，Ｂ分别表示两目标的支付。因为以ｎ维向量来表示两目标的策略．所以此处Ａ，Ｂ是斜对角矩阵。如果把ｎ维向量分成两个变量，即ｚ＝［¨”Ｊ，“，ｗ的维数之和为¨即Ｒａｎｋ（Ｈ）＋Ｒ洲点（ｖ）＝Ｒａｎｋ（工），则支付矩阵Ａ，Ｂ可表示为：

Ａ＝（１—４）为了方便，也可写成为双矩阵支付形式

Ｃ（１—５）

对于（１１），（１—２）的策略来说，我们可以这样认为，两个目标局中人的策略是相巨约束的，而对于（１—３）和（１—４）我们将可以由ｆ，（ｚ）能控制的向量分量分离到“中，而把止（。）能控制的变量分离到ｗ中，这样“和。就是－厂。（ｚ）和儿（ｚ）的独立策略而不依赖于对方了。我们先针对非合作博弈的情况来解这类问题，此时两目标决策问题可以有４种类型的解。

（”收益影子值最大双方都希望自己的收益越大越好。记

第６期董雨，等：多目标决策问题的博彝论方法初探

ｆ岛＝ｓ“Ｐ／Ｉ（“，∥）、“。Ｊｔ’３７Ｊ

ｌ卢２＝ｓ“巳，２（“，ｕ）

称为博弈的“影子最大”。若恰好存在（ｉ，；）∈ａ同时使岛＋口：成立，那么（ｉ，；）为最优解，同时也廿Ｊ求得目标问题的最优解。

（２）保守解

两目标都猜测博弈对方要尽量使自己的收益最小，所以都没有想在最坏的情况下能得到最好的收益，因此这种目标方案存在保守解，对于（“，”）有：

ｆ／１＊（“‘，Ｆ。）＝ｓｕｐｆｌ（Ｈ，口。）＝ｓｕｐｉｎ驴ｊ（“Ｕ）

』““”

【，？（“。，。‘）＝ｓｕｐｆ２（“’，ｕ）＝ｓｕｐｉｎ叽（“，口）

（“’，ｕ’）即为两目标决策的保守解。

（３）非合作平衡解（Ｎａｓｈ解）

若有博弈策略对（ｉ５）满足：

ｆ／ｌ（Ｈ＇ｕ）＝ＳｔｌⅣ１（“，ｕ日）

≮“

一一

Ｉ／ｚ（ｆｆ，Ｆ）＝ｓｕ∥２（“，口）

则（ｉ，；）为非合作平衡解。这时（ｉ，；）为双支付矩阵的鞍点（ＳａｄｄｌｅＩ，ｏｉ。ｔ）‘¨，其意义是：在平衡点时．任何一方若单独改变策略的话，都会使自己的收益降低。

（４）混合扩展的Ｎａｓｈ解

不妨设局中人多次重复进行同一博弈活动，在每次博弈过程中，各自随机地选取策略。经多次进行之后，再计算局中人的平均收益，这时局中人甲可能以“。的概率选取策略一．ａ２的概率选取策略二．在多次决策过程中，甲以概率“＝（“ｌ＇…一，ｎ。．）作为策略，并称其为甲的“混合策略”。对于上例，我们得到混合扩展的Ｎａｓｈ解：

若有策略对（二，ｉ）∈ｘ×ｘ，使

｛面ｉ＞ｏＡ＿１五呖≥二Ｂ６Ｖ“∈ｘ，Ｖ６∈ｘ

则称（二，ｂ）为两目标决策的一个非合作平衡点（Ｎａｓｈ解），其意义与上面纯策略的情况相似，只是每一策略已赋予了概率的含义。

在一般情况下Ａ＋Ｂ≠Ｏ，这时适合用二人一般和博弈来解这类问题。但在特殊的情况下，也就是当Ａ十Ｂ＝Ｏ时，这时我们可以用二个零和博弈来解此类问题。

３无限方案的两目标决策与二人无限博弈

无限方案指的是决策目标方案的数目是无限的，其中隐含着，方案中至少有一个分量是无限的，简单的模型建立如下：

Ｆ（ｚｌ，。２）＝ｍａｘ（Ｊｌ（工１，上！），／２（９２Ｉ，ｚｚ））

ｆ（Ｔ，’｛，）∈Ｕ

ｓＬ＝＜ｕｃＸｌ×Ｘ２

【一１∈义ｌ，。２∈ｘ２

其中ｕ为解集可行域。值得注意的是，可行集并不一定等于ｘ．×ｘ２，而是给定上．∈ｘ。，Ｔ２受约束于集合Ｓ（ｘ２）＝｛ｚ：∈ｘ２Ｉ（ｚ１，ｚ！）∈ｕ｝，亦即一方目标的策略选择不仅影响了另一目标的利益，同Ｈ，Ｉ－也影响到彦的可行集。如图ｌ所示”１：

与上述有限方案的解法类似，我们可以定义无限方案下两目标决策博弈问题的解。（Ｉ）目标方案收益影子值最大

运筹与菅理２００３年第１２巷

圈１可行集图示

』ｐ一。。…ｓｕ，是Ｌ，，ｔ‘ｚｔ，２：’

ｌｐ，一。，翠／ｊ（％。ｚ’

若恰好存在同时使两者成立ｌＩＶｅ（；。，；２）为最优解。

（２）保守解

令

／（ｚｌ）＝＾（ｚ现

趣Ｊ、ｌ／

那么保守解为（ｚ２）＝ｒ（ｚ“邮甜“＾

＿ｍ２１一’ｓ蝉“（Ｘ１）

１ｗｌ＝ｓ她尼（ｚｚ）

这一解可作为博弈规则中的“威胁”值，即因为博弈中的一方认识到无论如何，他至少都可以得到。‘ｔ或口§的收益，所以定义

Ｖ＝ｌ（ｚ。，ｚ２）∈ｕＩ／（ｚ．，．Ｔ２）≥ｖｃＩ作为优势解。因为博弈双方都把保守解看作为解的底线，在获取更大收益的驱动行动下，保守解是极不稳定的。

（３）Ｎａｓｈ非台作解

如果两目标方案

ｆｆｌ（“Ｘ２）－ｍ啦ａ∥ｘｆ（ｍｚ２）

【，ｊ（至１，；２）＝“ｐ芋／２（王ｌ，卫２）

同时成立．则（三．，；：）称为无限方案的两目标决策的Ｎａｓｈ解，意义同上述的有限方案中所述。因为局中人的博弈双方已经获得了Ｎａｓｈ意义上的均衡，所以这一解有对于双方来说都具有个体的稳定性‘“。

对于Ｎａｓｈ非合作解，定义（；ｌ，；２）∈Ｘ一。（；２）Ｘ又２（；】），其中

ｆ贾，（ｚｚ）＝；；，∈ｘ・ｌ，－（ｊ一，５Ｆ２）５。ｍ．。ａ。ｘ．ｆｔ（ｚ・，Ｘ２）｛

【贾２（ｚ１）＝｛；２∈ｘ２ｌｆ２（ｘｌ，３２２）＝ｍａｘｆ２（ｘＩ，ｘ２）｝

分别称为两目标的理性集，则在这种解集众博弈双方都获得了最优。

（４）扩展的Ｎａｓｈ解

针对Ｎａｓｈ非合作解，如果我们以连续分布的密度函数代替有限方案的概率选择，这时有

Ｅ＾（Ｆ，＿）ｂ”

Ｇ州ｄ№ｂ、Ａｂ

第６期董雨，等：多目标决策ｆ－ｑ题的博彝论方法初探３９其中，Ｆ（ｚ），Ｇ（ｚ）分别表示两个目标在方案集全体上的概率累计函数。

定义无限方案混合情况的Ｎａｓｈ解，当

Ｅ（Ｆ，Ｇ）＝ｎｌｓｘＩ邶Ｅ＾（Ｆ．ｙ）ｄＧ（ｙ）

一一门ＶＧ（＿）』

、】Ｅ（Ｆ，Ｇ）＝ＩｘｌａｘＩＥＢ（ｚ，Ｇ）ｄＧ（ｚ）ＶＦ（ｚ）ＪＵ

同时成立．我们称Ｆ（ｚ），Ｇ（Ｙ）为决策的博弈中无限方案的混合扩展解。

由上分析，对于无限方案的两目标决策与两人无限博弈问题的解具有一定关联性。

４多目标决策与，ｚ人博弈

实际应用中，若把以上的两目标决策推广到ｎ个目标，相应的也可以把其对应的博弈模型推广到”人博弈的情况中：

ｉｎｆｉｘｌ厂ｌ（工），…，＾（＿）Ｉ—ｒ（～，｛ｘ２ｌ，｛Ｐ，｝）

Ｎａｓｈ平衡点的定义与前面两目标类似，即

ｚ＝（ｚｌ，．一，ｚ。）称为Ｎａｓｈ平衡点，如果对每个目标ｉ，有

＾（ｚ）＝ｒ呻填（ｚＩＹ。）

，，ｔ，．

其中ｚｌＭ＝（ｚ∥一，ｚ，一ｌ，Ｙ，，置＋ｌ＇一，ｚ。）表示在局势ｚ之下，目标ｉ偏离ｚ．而采用ｙ．，其他目标策略不变的新局势。

同样，混合策略的Ｎａｓｈ与两目标定义相类似。混合策略Ｎａｓｈ平衡点同样可以用Ｌｅｍｅｋｅ—ＨｏｗＮｏｎ【６１算法来算出。

５结论

总之，运用博弈论方法解决多目标决策是一种尝试，我们首先分析的是在竞争条件下相互冲突的目标决策与非合作博弈问题，并试图得出一些结论。对于博弈论求解多目标决策，在合作和控制方面，还有追求整体最优目标决策与合作博弈、层次性多目标决策与Ｓｔａｃｋｅｌｂｅｒｇ博弈等方法，这需要我们进一步加以努力探索。

参考文献

［Ｉ］和蔚博奔论及Ｈ应用贵州师范大学学报［Ｊ］＋１９９８（２】：１６－２０

【２ＪＫａｓｐｒｚａｋＥＭ．ＬｅｗｉｓＫＥＰａｒｅｔｏＡｎａ［ｙｓｉｓｉｎＭｕｌｔｉ—ｏｂｊｅｃｔｉｖｅＯｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ

２２，ｌｓａｕｅ３，２００１：２０８—２１８ＵｓｉｎｇｔｈｅＣｏｌｉｎｅａｒｉｔｙＴｈｅｏｒｅｍＳｃａｌｉｎｇＭｅｔｈｏｄ［Ｊ］ＳｔｒｕｃｔｕｒａｌａｎｄＭｕｌｔｉｄｉｓｃｉｐｌｉｎａｒｙＯｐｔｉｍｉｚａｆｉｏｎ，Ｖｏｌｕｍｅ

［３］ｎ鼍洪，周心权一种综合决策指标属性值规一盘化技木新途径［Ｊ］系统工程学报，２０００（２）：２５．２８

［４］ｔ运筹学）教材编写纰运筹学第２版［Ｍ］．清华大学出版社，１９９０

［５］张浆迎博弈沧与信息经济学［Ｍ］上海三联出版社１９９６年第１版，Ｐ

【６ＪＢａｌｉｎｓｋｉＭＬ，ＣｏｔｄｅＲＷＣｏｍｐｌｅｍｅｎｌａｒｉｔｙａｎｄＦｉｘｅｄＰｏｉｎｔ６８ＰｕＮｉｓｈｉｎｇＣｏｍｐａｎ，：１９７８Ｐｒｏｂｌｅｍｓ［Ｍ］Ｎｏｒｔｈ—Ｈｏｌｌａｎｄ

多目标决策问题的博弈论方法初探

作者：

作者单位：

刊名：

英文刊名：

年，卷(期)：

被引用次数：董雨， 胡兴祥， 陈景雄董雨,陈景雄(中国科学技术大学,安徽,合肥,230026)， 胡兴祥(合肥工业大学,团委,安徽,合肥,230009)运筹与管理OPERATIONS RESEARCH AND MANAGEMENT SCIENCE2003,12(6)10次

参考文献(6条)

1. Balinski M L;Cottle R W Complementarity and Fixed Point Problems 1978

2. 张维迎 博弈论与信息经济学 1996

3. 教材编写组 运筹学 1990

4. 冯圣洪;周心权 一种综合决策指标属性值规一量化技术新途径[期刊论文]-系统工程学报 2000(02)

5. Kasprzak E M;Lewis K E Pareto Analysis in Multi- objective Optinization Using the ColinearityTheorem Scaling Method[外文期刊] 2001

6. 和蔚 博弈论及其应用 1998(02)

引证文献(11条)

1. 苗强. 张学友. 毛军军 基于模糊语言判断矩阵的多目标博弈研究[期刊论文]-合肥师范学院学报 2010(3)

2. 杨二波. 陈明 船舶主尺度方案的博弈优选[期刊论文]-中国舰船研究 2010(6)

3. 郑丞. 金隼. 来新民. 李余民 基于非合作博弈的公差分配优化[期刊论文]-机械工程学报 2009(10)

4. 谢能刚. 方浩. 包家汉. 赵雷 具有目标偏好的多目标博弈设计与机构仿真[期刊论文]-系统仿真学报 2007(1)

5. 袁倩倩. 蒋鹏. 黄世旺 快速城市化地区公交线路优选应用研究[期刊论文]-山西建筑 2006(6)

6. 潘创业. 谢能刚. 包家汉 多目标并行博弈算法的研究与应用[期刊论文]-机械传动 2006(2)

7. 谢能刚. 孙林松. 郭兴文 博弈分析方法在重力坝多目标设计中的应用[期刊论文]-河海大学学报（自然科学版）2006(2)

8. 韩莉 上海合作组织框架下中俄关系的博弈研究[学位论文]硕士 2006

9. 谢能刚. 方浩. 包家汉. 赵雷 博弈决策分析在补偿滑轮组变幅机构多目标设计中的应用[期刊论文]-机械强度2005(2)

10. 包家汉. 裴令明. 谢能刚. 张玉华 机构多目标优化与博弈决策设计[期刊论文]-安徽工业大学学报（自然科学版） 2005(2)

11. 杨二波. 陈明 船舶主尺度方案的博弈优选[期刊论文]-中国舰船研究 2010(6)

本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_ycygl200306008.aspx