等差数列中的数学思想
【方法归纳】
等差数列中的数学思想
数学思想是数学的灵魂,是数学方法与技能实质的体现,对解题思路的产生具有指导意义. 因此,深刻地理解数学思想、学会运用数学思想来分析、解决问题对提高解题能力将有很大帮助;本文例说等差数列中常用的几种数学思想,望对你今后尽快掌握分析问题的方法能有所启发.
1、方程思想
例1、等差数列{a n }的前20项和为100,前45项的和为400,求前65项的和。
20⨯19⎧20a +d =100,⎪⎪12⇒ 解析:设等差数列的首项为a 1,公差为d . 依题意,得⎨45⨯44⎪45a +d =4001⎪⎩2
92⎧a =,⎪65⨯649265⨯6414⎪145⇒s =65a +d =65⨯+⨯=780. ⎨[1**********]⎪d =⎪45⎩
点评:等差数列的通项公式及前n 项和公式都是关于首项a 1及公差d 的代数式,只要a 1与d 确定,等差数列就被确定. 因此,很多有关等差数列通项及前n 项和问题,实际上就是列、解关于a 1与d 的方程问题.
2、整体思想
例2 设{a n }是等差数列,且a 1+a 2+ +a 100=80,a 101+a 102+ +a 200=8=120, 求a 201+a 202+ +a 300的值.
解析:设a 201+a 202+ +a 300⎧a 1+a 2++a 100=80,⎪由等差数列的性=t ,则⎨a 101+a 102++a 200=120,
⎪a +a ++a =t ,300⎩201202
质可知120-80=t -120,于是t =160, 故a 201+a 202+ +a 300=160.
点评:建立在等差数列性质的基础上,进行整体分析、整体思考,绕过了运算的中间环节,使结论恰到好处的快速产生. 本题的求解具有欣赏价值,也许会让你感觉耳目一新.
3、函数思想
例3 设等差数列{a n }的前n 项和为s n ,若a 3=12, s 12>0, s 13
⎧⎪a 1+2d =12,⎪2412⨯11⎪解析:设等差数列的首项为a 1,公差为d ,则⎨12a 1+d >0,⇒-
n (n -1) n (n -1) d 124d 1d =n (12-2d ) +d =[n -(5-)]2-[( 2222d 22
24124245-)]2,由于d
点评:等差数的通项a n 是n 的一次函数,前n 项和是n 的二次函数;等比数列的通项a n 可以认为是n 的指数函数. 因此,在数列中函数思想非常有“市场”.