微分中值定理11年毕业论文

本 科 生 毕 业 论 文

微分中值定理推广及其应用

院 系： 数学与应用数学系 专 业： 数学与应用数学 班 级： 071 学 号： 指导教师： 职称（或学位）：

2011年5月

原创性声明

本人郑重声明：所呈交的论文（设计），是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文（设计）不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。

学生签名： 年 月 日

指导声明

本人指导的 同学的毕业论文（设计）题目大小、难度适当，且符合该同学所学专业的培养目标的要求。本人在指导过程中，通过网上文献搜索及文献比对等方式，对其毕业论文（设计）内容进行了检查，未发现抄袭现象，特此声明。

指导教师签名： 年 月 日

目 录

1 引言 ............................................... 2 2 中值定理的内容及联系 ................................ 2 2.1 基本内容 ....................................... 2 2.2 三个中值定理之间的关系 .......................... 2 3 定理的推广 ......................................... 3 4 定理的应用 ......................................... 5 4.1 利用定理证明方程根（零点）的存在性 ............... 5 4.2 用定理求极限 ................................... 7 4.3 证明不等式 ..................................... 8 4.4 定理推广的应用 ................................. 9 5 结论 .............................................. 10 6 致谢 .............................................. 11

微分中值定理推广及其应用

摘要：本文首先介绍了微分中值定理之间的内在联系，以及它们的推广；接着再看微分中值定理在解题中的应用,如:“讨论方程根（零点）的存在性” ,“ 求极限”和“证明不等式”等方面的应用。

关键词：微分中值定理；联系；推广；应用

Abstract: This paper describes the intrinsic link between the differential mean value theorem, and their promotion; then look at the differential mean value theorem in solving problems, such as: the discussion of the roots (zero) in existence, limit and proof of in equality.

Keywords: Differential mean value theorem; Contact; Promotion; Application

1 引言

通过对数学分析的学习我们知道，微分学在数学分析中具有举足轻重的地位，它是组成数学分析的不可缺失的部分。对于整块微分学的学习，我们可以知道中值定理在它的所有定理里面是最基本的定理，也是构成它理论基础知识的一块非常重要的内容。由此可知，对于深入的了解微分中值定理，可以让我们更好的学好数学分析。通过对微分中值定理的研究，我们可以得到它不仅揭示了函数整体与局部的关系，而且也是微分学理论应用的基础。微分中值定理是一系列中值定理总称，但本文主要是以拉格朗日定理、罗尔定理和柯西定理三个定理之间的关系

[1-3]

以及它们的推广为研究对象，利用它们来讨论一些方程根（零

点）的存在性, 和对极限的求解问题，以及一些不等式的证明。

2 中值定理的内容及联系

2.1 基本内容

[4][5]

对于，微分中值定理的了解，我们了解到它包含了很多中值定理，可以说它是一系列定理的总称。而本文主要是以其中的三个定理为对象，进行探讨和发现它们之间的关系。它们分别是“罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）定理和柯西（Cauchy）定理”。这三个定理的具体内容如下： 1) Rolle 定理

若fx在a,b上连续，在a,b内可导，且fa,b，使f0。

afb，则至少存在一点

2) Lagrange定理

若fx在a,b上连续，在a,b内可导，则至少存在一点a,b，使

f=

f

bfa

ba

3) Cauchy定理

现在我们来看这三个定理，从这三个定理的内容我们不难看出它们之间具有一定的关

系。那它们之间具体有什么样的关系呢？我们又如何来探讨呢？这是我们要关心的问题，我们将利用推广和收缩的观点来看这三个定理。首先我们先对这三个定理进行观察和类比，从中可以发现，如果把罗尔定理中的fafb这一条件给去掉的话，那么定理就会变成为拉格朗日定理。相反，如果在拉格朗日定理中添加fafb这一条件的话，显然就该定理就会成为了罗尔定理。通过这一发现，可以得到这样的一个结论：拉格朗日定理是罗尔定理的推广，而罗尔定理是拉格朗日定理的收缩，或是它的特例。继续用这一思路来看拉格朗日定理和柯西定理，看看这两者之间又是如何的联系？我们先对柯西定理进行观察，从观察中会是我们作出这样的假设，如果令定理中的发现定理成为了拉格朗日定理。这使得我们发现他们二者之间的联系， 拉gxx的话，

格朗日定理是柯西定理收缩，而柯西定理则是拉格朗日定理的推广。我们利用这一方法可以得到它们之间的关系。

总的来说，这三个定理既单独存在，相互之间又存在着联系。我们从上面的讨论中可以总结得到，罗尔定理是这一块内容的基石，而拉格朗日定理则是这一块内容的核心，那么柯西定理是这一块内容的推广应用。

如果我们从几何的意义上来看这三个中值定理的话，那它们之间又是如何的呢？在这里我们不具体的给予研究，而是直接给予结果。若用几何解释：“若一条连续的曲线，曲线上端点除外的每一点都有切线存在，且存在的切线于x轴相交的夹角不为直角；那么像这一类曲线具有共同的属性——曲线上有一点，它的切线与曲线端点的连线平行”。

3 定理的推广[6][7]

前面我们已经讨论了定理之间的关系，接下来我们来看它们的推广。从前面的内容我们知道，这三个定理都要求函数fx在a,b上是连续，在a,b内是可导。那么我们如果把定理中的闭区间a,b，把它推广到无限区间a,或,，再把开区间a,b推广到无限区间a,或,的话，则这些定理是否还能满足条件，或者我们能得出哪些相应的定理呢？

通过讨论研究我们知道，按照以上的想法把中值定理的区间，推广到无限区间上可以得到几个相应的定理，本文在此只提到其中的三个，下面给出定理以及证明。

定理1 若fx在a,上连续，在a,内可导，且lim

x

fxfa，则至

少存在一点a,，使f0成立。 证明：

令

1xa1

t

，则x



1t

a1，即可得到关于t

参数函数t1a1

t

当xa,时，则t0,1

即1a，limt，再令fxf tgtt0

limgtlim

t0

t0

fftxlim

x

faf1g1

g0limgt

t0

g0g1

 gt在0,1上连续，在0,1内可导，且g0g1，由Rolle定理可得到至少存在一点0,1，使g0成立

令，有f0，而



1



2

0.

至少存在一点a,，使f0成立

证毕 定理2 若fx在,上连续，在,内可导，并且lim少存在一点,，使f0成立。

定理2的证明可以参照定理1。

定理3 若fx在a,上连续，在a,内可导，并且lim一点a,，使

Mfa

f2

1a

x

x

f

x

x

limf

x，至

fxM

，则至少存在

成立。

证明：设t

1xa1

，则x



1t

a1，即可得到关于t

参数函数t1a1

t

当xa,时，则t0,1 即1a，limt

t0



，再令fxf tgt

limgtlimt

t0

t0

x

limfxM

g0limgtM

t0

 gt在0,1上连续，在0,1内可导，由Lagrange定理得

至少存在一点0,1，使g

g1g010

成立

即gfaM 令



，有gf，而

1



2

1a，

2

至少存在一点a,，使

Mfa

f2

1a

成立.

证毕

4 定理的应用

通过上面对定理的研究和探讨，加深了我们的理解。我们知道中值定理在解题中具有十分广泛的应用，现在我们来看看这三个定理的具体运用。我们学知识，不仅仅是为了让我们知道，更主要的是学了要会用，这才是最关键的。

4.1 利用定理证明方程根（零点）的存在性

例1 若fx在a,b上连续，在a,b内可导a0，证明在a,b内方程

2xfbfaba

2

2

fx至少存在一根。

22

分析：由于题目是要求方程2xfbfabafx是否有根存在，所以可以先

22对方程进行变形，把方程变为2xfbfabafx0。那么方程

2xfbfaba

2

2

fx有根的话，则原方程也有根。变形之后的方程有fx存

22在，所以可以利用不定积分把方程2x，转变为fbfabafx0

f

b

fa

2

x

2

b

2

af

x0。现在我们返回来看题目，由题目中我们可以知道

f

x在区间a,b上连续，在区间a,b内可导a0，由函数的连续性和求导的概念，

222可以得到函数fbfaxbafx在a,b上连续,在a,b内可导a0，

那么我们不难想到利用罗尔中值定理就可以证明该题了。

222

证明:令Fxfbfaxbafx， 

显然Fx在a,b上连续,在a,b内可导， 而Fafba2b2faFb. 根据Rolle定理, 至少存在一点，

22

使2fbfabafx. 

证毕

222本文主要在于辅助函数Fx的构造，我们从结论出fbfaxbafx

发，构造辅助函数，使得该题可以利用中值定理来证明，接下来是考虑利用微分中值定理中的哪一个即可。对于构造辅助函数我们可以得到FaFb，所以选在利用罗尔定理证明。这是对解该类问题的总结，也是自己对该类问题解题提出的一个解题思路模式，大家可以借鉴。下来我们继续看两道例题：

例2 设fx在a,b上连续，在a,b可导0ab，证明：在a,b内存在一点， 使bfbafbbaff成立。

分析：对于等式bfbafbbaff，则可以两边同除以ba，即等式左端为bfbafb，这个商式可看为函数xfx在a,b上的改变量与自变量的改变量

ba

之商，则会考虑利用Lagrange定理，那么可构造辅助函数Fxxfx。 证明: Fxxfx，则Fx在a,b上连续，在a,b可导，

由Lagrange定理，存在一点a,b，使F即ffx

bfbafa

ba

FbFaba

，

，

即bfbafbba ff

证毕

例3 设fx在a,b上连续，在a,b可导0ab，证明:在a,b内存在一点，

使fbfalnbf成立。





a

b

分析:等式fbfa两边同除以ln

lnf



a

fbfalnblna

ba

lnblna

，即该等式的左端为

，这个商式可看为函数fx与lnx在闭区间a,b上的改变量之商，则我们会想

到利用柯西定理来证明，那么构造辅助函数gxlnx。

证明：令gxlnx，对fx ，gx在a,b上运用Cauchy定理，

得ffbfa，

1

lnblna





即ffbfa， g

gbga

b

即fbfa. lnf



a

证毕

4.2 用定理求极限

在求极限的题目里，有些题目如果运用通常的一些方法来求解的话，则会使我们在解题过程中出现很大的计算量，或者比较繁琐的解题过程。但是应用中值定理的话，会为这一类题目提供一种简单有效的方法。而用中值定理来解题，最关键在于辅助函数的构造，然后在运用中值定理解题，即可求出极限。 例1 求limn2n

a

n

1

1

a

n1



，其中a

1n1

0。

分析：由于题目中有a和a

n

1

，则可以试着构造辅助函数fxax，那么就可以得到fx在

11

,n1n

连续，在

11

,

n1n

可导，即可以利用Lagrange定理解题了。

解：根据题意，由Lagrangge定理，有

1

1nn1

limnaa n



2

limn

n

2

a

n

x

11

nn1

lim

nalnann1

2

n

lna

11

, n1n

其中，

例2 已知

a

n



liman。

xn

解：

令fxfx在上满足Lagrangge定理可nnk,nnk1得：

nnk1nnk ，

n

nk,nnk1



 当k0,1,

,n1时，把得到的上述

n个不等式相加得：



2





即an

21ann

故02an

1

1n

liman2

n

4.3 证明不等式

对于数学体系来说不等式是一块很重要的内容。故不等式的证明对数学是很重要的。当我们学习了中值定理，知道了它在不等式的证明中起着巨大的作用。“我们可以根据不等式

两边的代数式选取一个来构造辅助函数，再应用中值定理得出一个等式后，对这个等式根据自变量的取值范围的不同进行讨论，得到不等式”。下面我们来通过例子来说明定理在证明中的运用。 例1 设x

0

，对01的情况，求证x



x1

。

分析：证明不等式最常用的方法有做差，做商，对于该题目如果直接应用做差或者做商的话显然是不行的。那我们是否能通过变形是，他们可以应用做差或是做商呢？我们来看下不等式，不难发现当x1时，等式两边就相等了，所以接下来排除x1，分两步讨论。在观察不等式两边的代数式，不难看出左边的代数式比较复杂，则是否可以把左边的代数式构造辅助函数，是题目可以运用中值定理解题呢？不妨设fxx，Fxx。利用Cauchy定理即可证明。

证明：当x1时结论显然成立，当x1时，取x,1或1,x，在该区间设

fxx，Fxx，由Cauchy定理得：

fxf1FxF1





x,1或1,x F

f

1

1 即x1

x

当x即

1时，x,1，11



x1

x

1

又xx10

故x1x，即x11 当x

1时，

1,x，11

则x

x10

故x1x，即x11 由此，不等式得证

例2 已知fx在0,a满足fxM，且在0,a内取最大值，试证：

f0faaM。

分析：若能找到点x00,a，使

fx00

，则要证的结论便转化为变量的形式：

fx0f0fafx0aM，

则根据 Lagrangge 定理证之即可。然而对于x0的寻找，应该从题目中条件的fx在开区间0,a内取到最大值入手。

4.4 定理推广的应用

对于中值定理推广到无限区间上，在于求解一些题目，如果应用了中值定理的该推广会比较方便的得到解题，下面我们来看一个例子： 例1 如果函数fxxex，求证：0,，使得

2

f0。

分析：对于该题目我们通常会采用这样一种证法，令fx0，有fxxex



2



e

x

2



12x0

2

x

2

0,

，即可得证。这种证明的方法，可以说是利用极限方法来证

明的，我们现在考虑是否还可以运用其它的方法来证明。若要运用中值定理来证明是否可以

呢？下面给出该方法。

证明： 由题得fx在0,连续，在0,可导，且可得：ex12x20

limxe

x

2

2

x

0f0

那么，由推广定理的定理1，得到：

0,，使得f0

证毕

例 2 设fx在,上可得，且0fx

f

1

22

2

x1x

2

，证明：0，使得

。

1

1x

证明 问题相当于要找0，使fx1x0，因函数Fxfx在221x1x



,内可导，故0

又0所以

lim0limf

x

x

lim0limf

x

x

x

lim

x1x

2

0，即limfx0

x

x

x

x

lim

x1x

2

0，即limfx0

x

x

limf

x

x

limf

x0

由定理2知0，使得F0，即题目得证。

证毕

中值定理的应用广泛，本文从几个方面介绍了该定理的运用。通过以上的例题让大家知道，应用这几定理的关键和解题的难点，是在于对辅助函数的构造。在论文中通过一些题目的解题过程让大家了解到对于一道题目来说，他的解题的方法具有多样性，对于方法的选择是解题过程繁简的关键，选择一种简便的方法可以使我们快速有效的作答。也希望通过这几道例子能让大家对定理加深理解和应用。

5 结论

本课题的研究成果是通过大学阶段的有关数学分析知识的学习，和一些相关学科内容的知识的学习，并结合一些相关的参考图书资料，以及通过网络收集期刊、报刊和杂志上的相关内容，其中还包括自己对这些内容的理解，还通过多方面的了解和研究，且在和老师和同学们的一起探讨下，我们了解到微分中值定理的内在联系，也对微分中值定理的推广做了探讨，接着对微分中值定理的应用做了归纳总结。对微分中值定理本课题主要是以罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理，三个定理之间的联系为主要的研究对象，希望通过本

课题能让大家加深了对的这三个定理的理解和应用，也希望通过例题的解析，能使得大家在应用微分中值定理上更加的娴熟。

6 致谢

完成本论文，我要特别感谢我的指导老师林老师的热怀和指导。在我撰写论文的过程中，美琳老师倾注了大量的心血和汗水，无论是在论文的选题、构思和资料的收集方面，还是在论文的研究方法以及成文定稿方面，我都得到了美琳老师教诲和帮助在此表示真诚地感谢和深深的谢意。

最后，向在百忙中抽出时间对本文进行评审并提出宝贵意见的各位专家表示感谢！

参考文献：

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[4]欧阳光中 朱学炎.复旦大学数学系.数学分析第三版上册[M].北京:高等教育出版社,2007.184-225. [5]阿黑波夫 萨多夫尼奇 丘巴里阔夫.数学分析讲义第3版[M].北京:高等教育出版社,2006.94-95. [6]纪华霞.微分中值定理的几个推广结论[J].高等函授学报（自然科学版），2006,19(6):33-38. [7]杨万必 龙鸣.微分中值定理的推广[J].2005,23(1):31-33.