用等价无穷小代换求极限的两个误区
ｖ １１ 。 ｏ ５ ｏ．２ Ｎ ．
Ｓｐ ｅ ．，２ ０ ０９
Ｓ ＴＵＤＩ Ｓ Ｉ ＣＯＬＬ Ｅ Ｎ ＥＧＥ Ｍ ＡＴＨＥＭ ＡＴＩ ＣＳ
高 等 数 学研 究
１ ７
用等 价 无 穷小 代换 求 极 限的两个 误 区’
赵 琼 （ 湖北经济学院统计与应用数学系 武汉 ４００） ３２５
摘 要 普遍认 为利用等价无穷小代换求代数和 及复合函数的极限时常常隐藏着两个误 区， 通过
对 其 进行 探讨 可 以发 现 ． 只要 加 以适 当的 条 件 ， 数 和 各部 分 为 无穷 小 量 以及 复合 函数 的 中 间 变 量 为 无 代 穷 小 量 时 ． 这 些 部 分 是 可 以进 行 等 价 无 穷 小 代换 的． 对 关 键 词 无 穷 小 ； 价 Ｉ 限 ； 区． 等 极 误 中 图分 类 号 Ｏ１ １ ７
学必须 掌握 的基 本技能 之一 ． 中 ， 其 等价无穷 小代换 的方法 因其 可 以化 繁 为简 ， 变难 为 易 的优 越性 而倍受青 睐． 然而 ， 此方 法并 非万能 ， 的使 用是 有条 件的 ， 它 稍不 注 意就 会 出现计 算错 误 ． 文 结 合 本 具体 实例 ， 对计 算时 常见 的两 个误 区做 了一些探 析． 误 区一 代 数 和（ 或差 ）的各部分无 穷小不 能分 别做 代换
引理 １ 在同一变化过程中， ｉａ ，ｍ￣ ， ～ｎ，～Ｊ， ． 存在，Ｊ＂ Ⅲ ￣ｌ ＝ｏｌ ／ ｍ ｉ ＝ｏｎ ９ ＿１ ，ｆ ｉ １ｍ ￣． ｉ １ － ｉ ｆ
ｌ吾 ｉ ・ ｉ ｌ ｍ ｍ
引理 ２ Ⅲ 无 穷小 的等价关 系具有 下列性 质 ：
（ ） 自反 性 ： １ 口～ 口 ；
（ ） 对称 性 ： 口～ ， 卢～ 口 ２ 若 则 ； （） 传递 性 ： 口～ ， ３ 若 ～ ｙ 则 口～ ｙ ， ．
定理 １ 在同一变化过程中，：ｍ ｏｌ ｆ ， ～ 口，～』， ｉ ￣ｌ ａ ， ｌ ｉ ｉ —ｏ口 ｍ ９ 且ｌ ， ｍ
抛 － ４ － ～ 抛 ± ，
一五 ≠千１则 ，
其 中 ｍ， ， ， 矗为常数 ， ｍ， 非零． ｌ 且 ， ｌ
证 ５ ｌ 暑 ＝ ≠ １ 情 ．为 ～ ～ 由 理１ 知 明 １ ｉ ＝ 一 的 形因 口 口 ，引 可 ： ￣ｍ ＝ 五 ，
ｌ ｉ ｍ 一 ｌ ｉ ｍ
， ｌ
ｎ／ ／
是≠ 一 ｌ ，
Ｉ ｉ ｍ 搿
所 以 栅 ＋ ～ ｔｔ十 ． ｒ ｏ
＿ ｌ ｉ ｍ
。
‰
行 口
口 。‘
ｍ ＿ ｌ ＇
若是ｌ ｉ ｍ
忌一一 １则 抛 ～一 ， ， 由引理 ２中无 穷小等 价关系 的传递性 ，
抛 ～ 抛 ～ 一 ～ 一 ，
・ 收稿 日期 ｚ０ ９～ Ｏ 一 ｌ ． 改 日期 ｌ０ ９一 Ｏ — １． ２０ １ ３惨 ２０ ５ ９
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高等数 学研究
２０ ０ ９年
９月
从 而不一 定有 ｌ ｉ ｍ
口 十 ／ ｎ￣
＝ ｌ 即 抛 十 ～ 抛 ， ＋带 不一 定成 立． 事实 上 ， 过后 续知 识 点洛必 通
。 … 。 。 … … ～ 一 … ’… … …
达法则 的学 习 ， 此极 限的结果 可能是 多种情 况． 类似可 证ｌ ｍ ≠ １ 抛 一 印 ～ 珊 ｉ Ｑ ｍ 时 一 ． 文献 ［ ］中只讨论 了 ＝ 一 ｌ ３ 的情形 ， 定理 该
作 了进一 步推广 ． 当 ｚ一 ０时 常见 的等价无 穷小有 ：
ｓ ～ ，ａ ～， － ｓ 萼 ｌ ＋） ｚ 一～． ｉ ｔ １ｃ ～ ，ｎ ｚ ， １ｚ 眦 眦 ｏ ｚ （ ～ １
例 １ 求极 限ｌ ｉ ａ ｒ
ａ－ － ￣Ｏ
ｔ ｎｚ— ｓ ｎ ａ ． ｉｘ
ｓｎ０ ｘ 。 ｉ ２
错 解 当 一 ０时 ，ｉｘ～ ， ａ ～ ｚ， ｓ ｎ ｔ眦 故
— 一 ０ ｏ ’ ．
错误解析 当 一０ ｓｘ ，ａｘ ， ｉ 时，ｎ ～ｚ ｔ ～ｚ此时１ ｉ ｎ ｍ导一ｌ定理１ ， 的条件不满足， 故分子中
差 的各部分 不能 直接代 换． 实上 ， 了泰 勒公 式便 可知 道 ， 种代 换 不成 立 的 原 因是 由高 阶项 省 事 学 这
略 的差 异引起 ．
正 确解 当
０时 ，ｉ２ ｓ ｘ～ ２ ，ｔｎ ｎ ｘ ａ ｘ— ｓ ａ 一 ｔｎ （ 一 ＣＳ ）～ ｚ ， ｉ ： ａ￣ １ ＯＸ ｎ 。故
．
—
ｔ 。
一 ｓｎ ｉ ｚ
一
． ．
—
（ ｘ ３一 一 ‘ ２— ） １ ６
丢。 】
例 ２ 求 极 限 ｌ —ａ － ｓ ｘ ｉ ３—ｘ 一ｉ ｍ ｔｎ ２ｎ
．
解 为 ＝ｉ 号 ｌ 以 因 裴 ｌｚ一 ≠ ， —３ ｍｘ 。 所
。 ．
３ ａ ｘ 一 ２ ｉｘ ｔｎ ｓｎ
— —
ｊｏ 卜 ・
ｓｉ ｎ
＿ Ｚ
． ． ３ 一 ２ ｚ
ｎｍ
—
． ３ 一 ２ ． 工
】
ｘ －， ． ｏ
Ｓ ｎ ｌ
ｚ 一 ＋ — ｚ 一 虿 ’ ． Ｚ ｏ 一 ｚ
上述例 子一 方面表 明在求 不定式 中分 子或 分母 整体 做等价 无 穷小 代换 的便 利 ， 另一 方 面也
说 明在差 （ 和）中对其 部分做等 价无穷 小 代换并 非 绝对不 可 ， 或 只要注 意定理 的条 件是 否满 足． 误 区二 复合 函数 的中间变量 不能 做等 价无 穷小 代换 定理 ２３ 设 口 ）ｆ ｘ 【 ］ （ ，（ ）为 ｚ— ｚ （ ｌ 。或 一 ∞）时 的无穷 小量 ，（ ）～ ｆ ｘ ， ， “ ｎ ｌ ） 而 （ ）为 当 Ｕ （
一 ０时的无 穷小 量 ， 有 厂 且 （ ）～ ， 当 ｚ一 Ｏ 或 ｚ一 。 ）时 ， （（ ） ～ ， 口 ｚ ） 则 ，Ｘ （ 。 ｆｆ ｘ ） ｌ （（ ）． 证 明 以下 只证 ｚ— 。的情形
， ，Ｏ Ｘ一． Ｏ可 类似 证得 ． ・
因为 ｌ （ ）＝ ｌ ｌ ｘ ｉ ｘ ｍａ ｉ （ ）一 ０ 利用 引理 ２中无穷 小等 价关 系的传递 性 得 ， ｍｆ ，
＿． Ｐ 。 Ｏ
ｆ ｆｘ ） ｆ ｘ （ （ ） ～ ｌ ）～ 口 ）～ ， 口 ｚ ） ｌ （ （ （（ ）．
这种方 法 与文献 Ｅ－中的证 法相 比， 为简捷 和 直观． ３ １ 更
例 ３ 求ｌ ｉ ａ ｒ
ｘ ， －－ Ｏ
ｌ（ ｎ １＋ ｓｎ ｉｘ） ｓｎ ｓｎ ｉ （ ｉ￣） 。
解法 一 因为 当 一 ０时 Ｉ（ ＋ ）～ ， 以 Ｉ（ ＋ ｓ ． ｎ１ 所 ｎ １ ｉｚ ｎ ）～ ｓ ｘ， ｉ 从而 ｎ
１．
１（ ｎ １＋ ｓｎ ｉｘ）
１ ｓｎ ． ｉｘ
，
ｒＯ 虿ｎ Ｓ ｘ 一 Ｏｓ— ： ． —Ｓ １ ｌ ｎ — ｉｘ ： 。 —ｆ ＝ ｌ ｎ ｔ
～竹 １ （ 转摹２ 页 下 贝 ｒ ）
第ｌ ２卷第 ５ 期
彭婿 。 郭夕 敬 ： 段 函数 在 分 段 点 处 的 导 数 分
２ １
／＋（） ｌ ） ＝ ｌ ｘ 一 ０ ０一 ｉ ｍ（ ｉ ｍ３ ，
ｌ・ 一０ Ｔ＋０ ’
／一（） ｌ （。 ＝ ｌ ２ ｏ ＝ ｉ ） ａ ｒ ｉ ｘ＝ ０ ａ ｒ ，
￡一 ． ｔ． －
所 以 ． Ｏ ． （ ）＝ ０ 厂 ．
‘
但是 ， 值得 注意 的是 ， 在定理 ２中若 去掉左 连续 （ 或右连 续）结论 是不成 立 的． ， 例如 ，
ｔ设（一 ’≤， 一 ｘ２ ／（＝ 三 ＝． ，）（ｘ ｌ ‘ 一， ＋） ） １ ） ２ 而 １ 薯孚 ∞ ＞则 （ 厂 一 ￣， 一 ｚ２。 ） ２２ ） 一处 ２ （ ｛ｘｌ ‘ ２ ．（ ｌ—， ｚ １ ） ｘ 则 ） 一一２＝ｍ 但 在 设 ）２＜ ｚ １ ， ｌｘ ｉ ｉ ｍ 一 ， 一
不 连续 ， 因此不可 导．
当然， 对于定理 ２ 来说，ｉ ） ｌ （ 不存在， ｍｇ 并不能保证 ／一（ ） 不存在ｆ 同样 ，ｉ ） ｌ （ 不存 ｍｈ
ｚ一 一
在， 也不能保证 ／＋（。 不存在． ）
由定理 ２可 得如下 的推论 ：
推论 如果 ， ｚ 在 。 （） 点连续， ．ｍ厂（ ） ￣１ ｉ 存在， 厂 在 。 则 （） 点可导， 且有
厂（ｏ ｚ ）一 ｌ ｉ ｍ厂（ ． ）
但是 ， 值得注意的是，ｒ厂（ ） ｌ ｉ 不存在 ， ａ 不能保证 ／（。 不存在． ｚ） 例如，
厂 ） （
…
一
． ｛ ｌ
Ｉ。ｉ一 ， ０ ｓ １ ≠ ， ｎ
０， ： ０ ．
在 ｚ＝ ｏ ， 处 ＿ ￣
ｉ ｍ ｔ
—
Ｏｘ＝ ０ｚ ｛ ｓ一 ） （ｓ』 ｉＣ ，是 ｆ （ 、 ｉ ｎ／ 但 ， ｎ一 ， ２ ５ １
。
ｚ ｉ
ｎ ｓ
。
厂（ ）一 ｌ —— Ｏ ｉ ｍ
Ｏ
Ｚ
＝ ｌ ｓｎ三 ＝ ０ ｉ ｉ ｍｘ ．
ｘ ＊Ｏ －
因此 ， 对于常见 的分段 函数来说 ， 要讨论其 在分段点处的导数 ， 先看其 在该分段 点处是 否连续． 如 果 函数在分段点 处不连续 ， 当然就不 可导． 只要函数在分段点处连续 ， 就可 以用此两种方 法去考虑． 虽然 分段 函数在分 段点处 的导数 总可 以用定义 来求 ， 文也 不能 解决 所 有分 段 函数 的求 导 问 本 题， 但对一 般常 见的分 段 函数来 说 ， 这两 个结论 能 为我们 求 出其 分段点 处 的导 数 提供 新 的思 路． 对
初 学者容 易困惑 的地方 给 出了理 论上 的依 据 ．
参 考 文献
［］吴智泉．数学分析（ １ 上册） Ｍ］长春 ： ［ ． 吉林大学 出版社 ，９ ８ １８ ．
［ ］潘吉勋．傲积分简明教程 （ ２ 上册） Ｍ］ 广州 ： ［ ． 华南理工大学出版社 ．０ ７ ２０ ．
ｏ ●ｏ ● ●‘ ●ｏ 》 ● ｏ ●ｏ ●‘ － ●： ｏ ０ ● Ｈ● ●・ ● ‘ ：。 ：Ｈ ｏ ●ｏ ●‘ ●ｏ ●ｏ Ｃ ●ｏ ●ｏ ●ｏ ●ｏ ●ｏ ●ｏ ●ｏ ● ｏ ●ｏ ●‘ ● ：＇ ●ｏ ●
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解法 二 因为 当 一 ０时 ｓ ｘ～ ， 以 ｉ ｎ 所
ｌ ｌ（ ｉ ｎ １＋ ｓｎ ｉｘ）
ｍ— ＿
一
ｌ ●± 一 ｎ ｍ ● ｛ ｉ— ｍ Ｉ ｉ
．￣Ｏ ｖ － ｓ ｎ． ｌ Ｔ
一１ １．
．
ｚ＇ ｓｌ ｓｌ ｒＪ －Ｏ ｎ（ ｎ．
・ ￥ １Ｘ ０ １＂ Ｉ
两种方 法的 区别在 于 ： 法一是 对复合 函数 的外层 函数进行 整体代换 ， 而法 二是对 复合 函数 的 内 层 函数局部直 接代 换 的 ， 示 了定 理 ２的妙用． 显
参 考 文 献
［］同济大学应用数学系． １ 高等数学（ ［ ． 版． 京 ： 上） Ｍ］ ５ 北 高等教育出版社 ，０２ ２０。 ［ ］华东师范大学数学系． ２ 数学分析（ ［ ． 版． 上） Ｍ］ ２ 北京 ： 高等教育出版社 ．９１ １９． ［］陈新明． ３ 用等价无穷小代换求极限中的一些 问题［］ 高等数学 研究 ，０８ １ （） ５ — ５ ． Ｊ． ２ ０ ．１５ ：６ ８