专题函数对称性_周期性的应用
专题:函数对称性及周期性的应用
一、函数的周期性(约定a >b >0，f (x ) 的周期T)
二、函数的对称性
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练习题：
1. 已知函数y =f (x +1) 的图象过点（3，2），则函数f (x ) 的图象关于x 轴的对称图形
一定过点
2. 设y =f (x ) 为偶函数, 当x 0时, f (x ) 的解析式为
x
3. 已知f (x +1) 为偶函数, 且当x ∈(0,1)时f (x ) =2, 则当x ∈(1, 2) 时，f (x ) = x
4. x ∈R ，恒有f (1+x ) =-f (1-x ) 成立，当x ∈(0,) 时, f (x ) =4, 则f ()
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5. 若函数y =f (x ) (x ∈R ) 满足f (x +2) =f (x ) , 且x ∈(-1,1]时f (x ) =|x |, 则函数
y =f (x ) 的图象与函数y =lg |x |的图象的交点个数为 ( )
A ．16 B ．18 C ．20 D ．无数个
6. 定义在R 上的偶函数f (x ) 满足f (x +1)=-f (x ) ，且在[-1，0]上单调递增，设a =f (3)，b =f (2) ，
c =f (2)，则a ，b ，c 大小关系是（ ）
A 、a >b >c B 、a >c >b C 、b >c >a
D 、c >b >a
7. 已知函数f (x +1) 为奇函数，函数f (x -1) 为偶函数，且f (0) =4, f (1) =3, f (2) =2，
f (3) =1，则f (4)=，f (2011) =，f (2013) =8. f (x ) 是定义在（-∞，+∞）上的函数，对x ∈R 均有f (x )+f (x +2)=0，当-1
f (x )=2x -1，当1
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9. 设函数f (x ) 对一切实数x 均有: f (x +3) =f (3-x ) , 且方程f (x ) =0恰好有6个不同
的实数根, 则6个根的和为___________________ 10. 定义在(-∞,0)
则f (
(0,+∞) 的奇函数f(x)满足f (x +2) f (x ) =1，且当0
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) 2
11. 设函数y =f (x ) 是定义在R 上的偶函数，它的图象关于直线x =2对称，已
知x ∈[-2, 2]时，函数f (x ) =-x 2+1，则x ∈[-6, -2]，f (x ) =
⎛1⎫
12. 已知函数f (x ) = ⎪的图像与函数g (x ) 的图像关于直线y =x 对称，
⎝2⎭
（1）h (x ) 的图像关于原点对称；（2）h (x ) h (x ) =g (1-|x |)，则关于h (x ) 有下列命题：
为偶函数；（3）h (x ) 的最小值为0；（4）h (x ) 在（0，1）上为减函数。 其中正确命题的序号为：____________________
13. 定义在(-∞, +∞) 上的偶函数f (x ) 满足f (x +1) =-f (x ) ，且在[-1, 0]上是
x
增函数，下面是关于f (x ) 的判断：①f (x ) 是周期函数； ②f (x ) 的图象关于直线x =1对称； ③f (x ) 在[0, 1]上是增函数； ④f (2) =f (0). 其中正确的判断是
14. 函数y =f (x ) 的图象为C 1，C 1关于直线x =1对称的图象为C 2，将C 2向左平
移2个单位后得到图象C 3，则C 3对应函数为（ ）
A. y =f (-x ) B. y =f (1-x ) C. y =f (2-x ) D. y =f (3-x )
15. 若函数f (x ) =x 3+ax 2+bx 的图象关于(1,1)点对称，则a =b =16. f (x ) 为定义在R 上的偶函数，x ∈R ，恒有f (1-x ) =-f (1+x ) 成立，当x ∈[0, 1]时，
f (x ) =x 2-x
（1）证明：y =f (x ) 为周期函数
（2）写出函数的单调区间及值域(不用证明) （3）写出方程f (x ) =
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的根 （4）写出不等式f (x ) ≤-的解集 416
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