概念图在高中数学解题中的应用

一、问题的提出

（一）研究背景及意义

1. 研究背景

数学是研究客观世界事物间数量关系和空间形式的一门学科，数学对象是从具体的客观事物中抽象出的一系列概念为研究对象的一门学科。数学对象实际是一种特殊的对象——人类的思维对象。它不是直接取之于被操作的实际事物，而是经过协调性活动而产生的构造物。例如加法的概念不是来源于更多小石头，而是来自于添加或合并的过程，是经过操作之后构造出来的①。因此数学的研究对象是一些现实生活并不存在，而是在经过操作之后被构造出来的一系列具有自身逻辑结构的概念群体，每一个概念都有它的来龙去脉。对于数学学习者理解清楚这些概念是尤为重要的。

数学的学习离不开问题，解决数学问题是至关重要的，下图是蔡道法，许炽雄等人在《初等数学解题方法引论》一书概括的数学解题的过程（如图1）②：

图1 数学解题过程

图1中的数学信息库指的解题者在以往的学习中已经掌握的数学概念、数学运算法则、定理、由基本的题型形成的“知识块”、以及数学解题的基本方法等。由此我们不难看出如果数学学习者没有掌握数学概念，或者在某个数学概念上迷思或者缺失，那么数学解题肯定就是失败的。

①

② 张奠宙，李士琦，李俊. 数学教育学导论[M]. 北京：高等教育出版社，1992. 蔡道法，许炽雄. 初等数学解题方法引论[M].北京：机械工业出版，1989.

1952年6月12日，教育部发布关于《关于全国高等学校一九五二年暑期招收新生的规定》，明确了“全国高等学校，除个别数学经中央教育部批准外一律参加各区统一招生”这一规定的颁布标志着全国高等学招生考试制度的建立①，经历十年文化大革命之后，1977年10月12日国务院批准了教育部呈报的招生工作文件，恢复了全国高等学校招生考试制度。至此之后高考复习也就成为了教育工作者经久不衰的研究问题，数学学科本身的这种结构特征引起了很多新的理论应用于高三复习课中，比如说概念图理论，研究者尝试利用图形结构将所学的知识点、数学方法、题型结构联结在一起，使得抽象的数学变得形象生动。但是数学在考试中是需要在限定的时间之内去解决某一问题，尽管这种概念图工具的应用可以使抽象的知识点之间的逻辑关系变得清晰明朗，但是学生对于某类问题应该如何熟练地应用这些知识点就显得束手无策了。比如说题组教学理论的应用，研究者试图通过编拟一系列的问题串将学过的知识点进行归纳和梳理。虽然这种教学模式能够很好地解决学生如何应用知识点，但是在概念的形象化呈现方面又似乎有所欠缺。所以本研究尝试从理论上将概念图教学与题组教学进行有机的整合，构建“题组—概念图”教学模型。利用“题组—概念图”教学模型优化高三数学复习课不仅可以将数学知识点之间的逻辑关系形象化的呈现出来还可以将数学解题方法、数学思想融汇在一起一张图中。从而提高学生上课的积极性和自主探究能力，激发他们的学习兴趣。

2. 研究意义

（1）体现高中数学新课程改革的精神

2001年召开的全国基础教育工作会议和国务院《关于基础教育改革与发展的决定》进一步明确了新一轮基础教育课程改革的指导思想。根据国务院《关于基础教育改革与发展的决定》的精神，教育部颁发了《基础教育课程改革纲要(试行) 》，提出了基础教育课程改革的目标，其中包括:“改变课程过于注重知识传授的倾向，强调形成积极主动的学习态度，使获得基础知识与基本技能的过程同时成为学会学习和形成正确价值观的过程”，“改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状，倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析问题和解决问题的能力以及交流与合作的能力”。 ① 余国源，胡坤华. 公正公平：高考制度的本质意义—对30年高考制度恢复重建与改革创新的初步认识[J].成都大学学报（教育科学版），2008(10):4-7.

数学课程改革作为基础教育课程改革的一部分，一直以来倍受关注。《普通高中数学课程标准》(实验稿) 于2003年4正式出版，2007年海南、广东、山东、宁夏四省区率先进入新课改，之后各个省市陆续进入新课改。根据普通高中课程改革纲要对课程结构和目标的要求，数学探究作为这次高中数学课程改革的一个极大亮点而提出：数学探究教学应当着力构建完整、科学的教学设计理论体系，即系统研究数学探究教学问题的解决方法和寻找这些方法的方法，这是确保探究式教学成效的根本。而利用“题组——概念图”教学的模型优化高三数学复习课也体现高中数学新课程改革的精神。

（2）满足高三学生数学有效复习的现实需求

高三学生经历了高一高二两年的学习到高三时，基本的数学概念、知识点、有基本的题型所形成的“知识块”和解题的方法已基本学完。笔者于2014年3月到4月分别访谈了兰州市城关区、安宁区、西固区共12人（其中数学教师6人, 高三学生6人，每区2人）根据访谈的结果笔者发现目前高三学习复习一般采用三轮式复习。三轮复习法把高三的复习时间大致分为三段，每段时间里的复习目的各有侧重，时间长短也各不相同。学校为高三的学生和教师定一本大家通用的辅导书，在每一轮的复习中教师总是按照辅导书的顺序从第一页讲到最后一页，学生也就陷入了题海的汪洋之中了。三轮式复习教师上课基本环节为：

巩固练习教学主要存在以下五个方面的问题：

①没有学习兴趣，枯燥无味，老师以讲授为主，经常跟不上老师的思路 ②复习效率低下，总是觉得自己很努力但是学习效率不高

③没有形成完整的概念体系

④学习负担过重，每天都有做不完的数学题

⑤考试成绩不理想

利用“题组——概念图”教学模型来优化高三复习课能有效地避免高三学生陷入题海的汪洋之中，满足高三学生数学有效复习的现实需求。

（二）研究问题的表述

本文的核心是利用“题组——概念图”的教学模型优化高三复习课中。具体而言，本文从以下几个方面对问题展开论述：

（1）“题组——概念图”教学模型的理论依据是什么？

（2）如何构建“题组——概念图”教学模型？

（3）“题组——概念图”教学模型优化高三复习课的实践效果如何？

（4）教师利用“题组——概念图”教学模型优化高三复习课中的优势与不足？

（三）核心概念的界定

1. 概念图定义的界定

概念图（Concept Map）最早是在19世纪60年代由美国康奈尔大学（Cornell University ）教育系的诺瓦克（Joseph D.Novak ）教授等人根据奥苏贝尔（DavidP . Ausubel ）的有意义学习理论提出的，是用于组织和表征知识的工具。诺瓦克（Joseph D.Novak）在《学会学习》一书中将概念图定义为：“概念图就是用来组织和表征知识的工具，是一种以科学命题的形式显示概念之间的意义联系，并用

① 具体的示例加以说明，从而把所有的基本概念有机联系起来的网络结构图。”下

图是诺瓦克（Joseph D.Novak）教授所创的概念图模型（如图2）②

概念图引入国内后，关于概念图的定义有很多种，有人将概念图称为“思维导图”在港台地区一些学者将“思维导图”又称为“脑图”，正如浙江师范大学的谢华在她的硕士论文中提到“概念图”与“思维导图”至少在历史渊源、概念间的关系、作用与培养的能力、编制时的顺序、状态的性质、应用的领域六个方面有很大不同。③，上海师范大学黎加厚教授指出“人类使用的一切来表达自己思想的图示方法都是概念图” ④。 概念图是用来阐述（表征）、组织和管理知识的①

② Novak,J.D&D.B.learning How to learn,New York: Cambridge University Press,1984:2-4. 蔡铁权，蒋旭英编著. 新编科学教学论[M].上海：华东师范大学出版社，2008.

③ 谢华. 概念图及其在数学教学中的实施与探索[D].杭州：浙江师范大学，2002.

④ 齐伟. 与黎加厚教授谈概念图[J]. 信息技术教育，2003,(9):34-36

一种工具，它通常是以综合、分层的形式来表示概念之间相互关系的空间网络结构图①经过查阅大量的资料，并结合本课题的研究笔者将概念图重新定义为“概念图是将一学科主题中的相关概念，以及思想方法用图式的形式组织或者表征出来的的工具，它是知识视觉的呈现、概念关系的图画、思想的汇总。”它有四个图表特征：概念—感知到的事物的规则属性，通常用专有名词或符号来表示；命题—两个概念之间通过某个连接词而形成关系；交叉连接—不同知识领域概念之间的相互关系；层级结构—同一知识领域内或不同知识领域间的结构。

2. “题组教学”概念的界定

所谓“题组”就是将内容、思维方式、解题方法相同或相近的联系起来，形成一组题，就叫做“题组”。“题组教学”的概念没有统一的说法，但所指的意义都相同或者相近。陆运龙《浅谈题组教学》中把题组教学定义为以“题组”为单位，通过层层铺设“题组”组织教学，称为题组教学②。高慧在《高中数学教学中题组教学的探究》中提到：所谓题组教学指在课堂教学中，以“题组”为单位组织教学，即把一组题全部展现在学生面前，给学生留下充足的时间，让他们“快者快学，慢者慢学”等一组题处理完后在处理另一组题，最后提炼出“出示题组-—指导探究—展示辨析—总结提炼”四步骤教学③。结合本研究对于高三数学复习研究的前提，将题组教学定义为：“针对某一节复习课（或某一知识单元）的教学目标，设计出几组题目，将有关数学基础知识，基本技能，基本方法与数学思想溶于其中。在具体的教学中以“出示题组—指导探究—展示辨析—总结提炼”这四个步骤引导学生对题目进行分析、讨论、研究和解答。

3. “题组—概念图”教学模型的概念界定

2009东北师范大学的姜丽艳首次提出“题组—概念图”教学并把其定义为“题组—概念图”教学模式④，她的这种模式可以下图来呈现（如图3）： ①

② 裴新宁. 概念图及其在理科学科教学中的应用[J].全球教育展望，2001,(8):49-50. 陆运龙. 浅谈题组教学[J].中学生数理化，2011,(1):16-17.

③ 高慧. 高中数学教学中题组教学的探究[D].呼和浩特：内蒙古师范大学.2008.

④ 姜丽艳. 高中生物学“题组-概念图”教学模式研究[D]. 长春：东北师范大学，2009.

但是笔者认为这只是一种应用“题组”和“概念”的一种课堂教学模型，称模式在理论上和实践上还需进一步地论证和实践。

数学教学模式是指在某种教学思想和教学原理的指导下，围绕一个特定的教学目标而形成的相对较稳定的的规范化教学程序与操作的体系。①一个教学模式至少包括数学教学思想、教学目标、操作程序、实现条件及教学评价五个方面，而教学学方法仅是为实现教学目标，完成教学任务的教学方式和手段②，笔者认为教学模型只是教学方法的总和并形成的操作体系，称其为教学模式至少在实现条件和教学评价及其相对稳定性上有所欠缺。

结合本研究笔者将“题组-概念图”教学模型定义为：学生根据自己原有的认知结构初次绘制概念图；教师依据课标和考纲结合学生的实际情况编拟题组；师生进行互动探究，通过提炼、总结、反思题组，学生完善概念图；最后学生利用题组强化知识，以教学目标、数学思维为单位将知识点、数学方法、数学思想网络在一起的一种教学方法。

①

② 傅海伦. 数学教育发展概论[M].北京：科学教学出版社.2001;91.96 刘秋香，徐凡，傅海伦. 对数学教学模式的再认识[J].教育科学研究.2013(10).

二、文献综述

（一）“题组教学”的相关研究

1. 国外研究

国外对于“题组教学”的研究较少，但是对于解题理论研究较多，其中最著名是波利亚的《怎样解题》。波利亚凭借自己深厚的数学功底和丰富的解题经验思考了笛卡尔、莱布尼茨、波尔查诺等数学大师们的解题经验，利用任教的机会研究了怎么解题的过程历经几十年的潜心钻研成功地设计了“怎样解题”表。他将解题分为四个步骤：弄清问题、拟定计划、实现计划和回顾。自从波利亚的《怎么解题》问世以来，很多专家学者对解题过程怎么了深入细致的研究，英国数学家梅森（J.Mason ）、美国数学家舍菲尔德（A.Schoenfeld ）、杜威（J.Dewey ）、沃拉斯（G.Wallas ）、里斯特（Lester ）、赫勒（Heller ）等人从不同的角度阐述了怎么样解题的过程。①

虽然国外没有提出“题组教学”的定义，但这些学者关于怎样解题的研究，对于以后的教学研究做出了指导性的建议。对比蔡道法，许炽雄等人在《初等数学解题方法引论》一书概括的数学解题的过程“问题情景—信息处理—逻辑分析—检验评价”、其理论来源都是波利亚的《怎么解题》。

2. 国内研究

在数学教育实践中我国教育工作者很早就使用了“题组教学”，查阅相关的文献可以很明确地发现，国内提出“题组”及“题组教学”的概念在20世纪90年代左右。“题组教学”的研究主要可以分为三个阶段：第一阶段： 1983年到1997年左右，这一阶段的研究主要侧重于实践的教学研究，很少有研究从理论的方面对题组教学进行进行深入系统的分析，1983年吴晓提出“题组”是教师根据教材内容结合学生的实际，选编的一组由浅入深，由易到难的例题和习题。“题组教学”则是利用这些“题组”进行讲练结合的一种课堂教学。②1987江西①

② 汤炳兴，叶红. 中学数学解题学习[M].北京：化工出版社，2011.26-27 吴晓. “题组”教学是平几教学中的一项重要措施[J]，1983.

九江师范的彭璋甫在《题组教学的作用》一文中强调以学生为主体让学生动手、观察、分析、判断然最后师生生共同归纳得出结论。1993年胡村、朱有为提出“题组教学”的五个步骤：学前诊断-启发诱导-深入调查-反馈矫正-归纳小结。①

第二阶段：1997年到现在，这一阶段的研究已经对“题组教学”进行了很多理论化的的系统研究。1997年，徐国明在同济大学从事心理教育工作时，深入研究了院士及全国各地上百位中高考状元的学习方法，在此基础上，他提出了数学需分层分组的训练策略与“三步五问”具体的操作方法，并设计了一个训练模型。这一学习方法有两个关键部分：一是突出以学生为主题，要求教师“精选题目、精编题组”每三到五题为一组；二是要求学生“精做”，要求学生注重每到题目的探索、解答、反思、总结、对比、提炼五个环节的细致落实，每组题目必须达到预期的目标。② 最近几年的研究“题组教学”的研究基本上已经成熟，研究者不断的从建构主义、奥苏贝尔的有意义学习等理论层面对题组教学进行论述，形成一定的理论体系和结构。陆运龙《浅谈题组教学》中把“题组”定义为将多个内容相扣、形式相似、思维方法相近、解题方法相同或有一定联系的题目串联构成一组题。而“题组教学”是以“题组”为单位，通过层层铺设“题组”组织教学的一种方法称为“题组教学”。③第三阶段：“题组教学”被广泛地应用于其他学科。

综上所述，题组教学已经形成了它的理论化体系并且已经建立成熟的教学程序如下图（如图4）：

“题组教学”一般有有四个环节：教师根据课标制定相应的教学目标编拟题组、展示题组师生合作交流、学生展示探究结果总结提炼、强化反馈。这四个教学环节目的明确，很大程度上能够培养学生自主探究的能力，但是在概念间的相互逻辑关系的体现上却有所欠缺，这也是本文构建“题组-概念图”教学模型的一个很重要的原因。

(二) 概念图的相关研究 ①

② 胡村，朱有为. 简介题组教学法的理论与实践[J]，1993. 付桂芳. 高三地理分层—题组教学模式的实验研究[D].南昌：江西师范大学.2006.

③ 陆云龙. 浅谈数学题组教学[J]，2011.

1. 国外研究

概念图的在国外的研究相对较早从20世纪60年代提出概念图到现在，相关研究取得了丰硕的研究成果。其主要研究表现在以下几个方面：

（1）概念图作为教学策略的实验研究①

概念图最初只是诺瓦克（Joseph D.Novak ）教授等人做的一项关于理解重要科学概念的研究方案时提出的，只是作为一种研究工具和评价工具，后来在应用这项技术的时候发现概念图在教学方面也巨大的作用，而国外对概念图在教学方面的研究在功能和范围上已经延伸为一种教学策略，已经形成比较成熟的理论体系。

（2）概念图作为支持学习的工具

概念图从提出到现在它最原始的价值就是一种研究工具，而这种工具的制作技术也得到了很大的创新和完善，已经开发出了很多关于概念图制作的软件如：Amp2.0、Mind man、Mind Manager、Coco Systems Decision Explorer等。

（3）概念图作为一种评估工具②

在教学评价方案中，传统的对于零散概念的检测只能考察出学习者对于某些知识点的理解和掌握程度，而对于学习者是否掌握了概念以及概念之间的逻辑结构却有所欠缺，而概念图作为一种评估手段无疑弥补了这种欠缺。

总之，概念图在国外的研究尤其是在教学方面的研究已经取得了巨大的成果，概念图已不仅是作为一种研究工具，而发展为一种教学策略和评价学生理解概念及概念间相互关系的评价手段，并且在技术上得到长足的发展。

2. 国内研究

国内关于概念图在教学中应用的研究相对较晚，在港台地区余名宁教授的《有意义的学习—概念构图之研究》影响重大。在大陆以上海师范大学教育技术系主任黎加厚教授指出作为可视化的教学手段，概念图组织和表征知识，以图的①

②李远航. 概念图在高中物理陈述性知识教学中的应用研究[D].保定：河北大学，2006. 胡喜丽. 中学化学中引入概念图策略的实验研究[D].天津师范大学，2005

形式来显化抽象的思维、逻辑、方法和概念，强调了以一个主要概念为核心的各个概念或命题之间的有机联系。概念图具有形象性、直观性、层次性、关系性和可扩展性等特点。①华东师范大学祝智庭和高文教授、《教学模式论》一书中提出的概念图有效教学设计。祝智庭博导、钟志贤博士主编的《现代教育技术—促进多元智能发展》把概念图看作是基于认知工具的学习。以华东师范大学教育技术学后科研工作站培训部主任齐伟为代表的科研团队对概念图在数学教育中的应用做了大量的研究，浙江师范大学沈建强教授在《概念图与思维导图的比较》中指出“概念图适合概念较多的理科学科，帮助学生建立学科知识结构体系。它以整体的方式来呈现、组织知识、有利于知识的传播、理解、记忆和巩固，提高学习效率。”②而齐伟谈到：“概念图作为一种学习策略，能让学生进行有意义的学习，促使他们整合新旧知识，建立知识网络，浓缩知识结构，从而使学生从整体上把握知识，还可以为一种元认知策略提高学生的自学能力、思维能力和自我反思能力③。

总之，国内最近几年关于概念图在教学中的研究越来越多 ，已经形成了比较系统的理论化体系。

三、研究方法与过程

（一）研究方法

本研究主要采用以下研究方法对研究问题进行探究： ①

② 赵金坡，黎加厚. 概念图在小学高年级写作中应用研究[J].上海教育科研，2004.7. 沈建强. 概念图与思维导图的比较[J]. 浙江现代教育技术，2007，(004):2

③ 齐伟. 与黎加厚教授谈概念图[J]. 信息技术教育，2003，(9):34-36.

1. 调查研究法

调查研究法是科学研究中一个常用的方法，它一般通过抽样的基本步骤，多以个体为分析单位，其中访谈和问卷调查是主要调查研究方法，是一种研究性谈话，是通过研究者与被访者进行的口头交流收集研究所需资料的一种研究方法。本研究为了调查高三数学复习课的复习现状笔者于2014年3月到2014年4，分别在兰州市安宁区、城关区和西固区对6名高三数学教师和6名高三学生进行访谈。最终得出高三数学复习课教师教学的现状和学生数学复习的现状。在实施了“题组-概念图”教学模型优化高三数学复习课之后，为了研究关于学生学习兴趣、学习习惯、知识结构等方面的变化情况笔者对实验组的学生进行了问卷调查。 具体的问卷及其分析详见第六部分。

2. 文献分析法

任何研究都不可能脱离前任的思想与观点而独立形成。为确保本研究能够在前任研究的基础上有所创新，在进行本研究的过程中，笔者广泛浏览了大量的中外期刊、书籍，并详细地阅读课重要的文献资料，并利用图书馆、因特网等手段查阅、收集、和筛选了国内外有关概念图的研究尤其是概念图与题组教学在复习课中应用的研究结果成果，包括一些电子资料和一些权威的数学教育核心期刊、掌握并了解了一些传统的教学方法，并结合自己的教学经验对其进行有机地整合从而构建“题组——概念图”教学模型，因此文献分析法将是本研究的重要研究方法。

3. 实验研究法

实验是教育研究的一个基本方法，笔者通过对概念图与题组教学在复习课中应用的研究结果成果，在理论上构建了“题组——概念图”教学的模型。并以该模型作为教学高三数学复习课的教学设计的依据，并在此基础上于2014年11月选取了兰州市西固区XX 学校的高三（2）班的学生作为实验组，高三（3）班的学生作为控制组，做了利用“题组——概念图”教学的模型优化高三数学复习课后学生在考试成绩、学习兴趣、数学学习习惯等方面的变化的实验研究。为了

保证实验的有效性，在被试前做了实验前测。研究的主要过程和结果详见第四部分内容。

研究的主要过程与结果在第四章。

（二）研究思路

（1）通过访谈查阅相关文献以及个人的教学经验提出高三数学复习课中存在的问题

（2）构建“题组-概念图”教学模型的理论基础

（3）“题组-概念图”教学模型的操作流程及案例研究

（3）利用“题组-概念图”教学模型优化高三数学复习课的实验研究

（4）得出研究结论

四、“题组-概念图”教学模型构建的理论基础

（一）“题组”教学的理论依据

1. 布鲁纳的发现学习论

“题组教学”是我国教育工作者在教学的实践中所提出的，在最近几年关于“题组教学”的研究中一般认为题组教学的理论依据是布鲁纳的发现学习论。

美国著名的认知心理学家布鲁纳将研究的重心放在知识获得的内部认知过程，及学习理论和教学理论在教学中的应用。他特别强调学生的主动探索，主张学习的目的在于采用发现学习的方式，是学科的基本结构转变为学生头脑中的认知结构。①

（1）布鲁纳的学习观

布鲁纳认为学习的本质是主动地形成认知结构，而不是被动地、机械地接受知识、学习者对于知识的获取应该是主动的，并通过把新获取的知识和原有的认知结构联系起来，重新组合形成知识体系。他把学习分为三个过程：获得知识、转化知识和评价知识。而“题组教学”是以“题组”为教学的单元，提出问题，强调学生的自主探究和学生与教师合作交流，得出结论的教学方法。

（2）布鲁纳的教师观

基于布鲁纳对学习本质的研究，那么教师在教学中的角色也就发生了变化，教师不再是知识的传授者，而是组织者和引导者和启发者。教师应采取有效的措施促进学生获得、转化和评价知识。

2. 建构主义理论

20世纪80年代以来，以认知主义理论为基础的建构主义理论在教育领域中逐渐流行起来，成为国际教育改革的有影响力的理论。它在知识论、学习观、师生观等方面都有独到的见解，对课程与教学改革产生了广泛的影响。建构主义(constructivism)有很多不同的类型和流派、仅教育中的建构主义就有6种，它们是：激进建构主义(RadicalConstruchvism)、社会建构主义(Socia1

Construchvism) 、社会建构论(Social Constructivism)、社会文化认知观点(sociocultural Cognitinon)、信息加工建构主义(information—Processing Constructivism) 和控制系统论(Cybernetic Sys-tem)。而一般所说的建构主义更多是指社会建构主义，它在肯定学习活动的个体性质的同时又承认学习活动的社会性，而激进建构主义(或称极端建构主义、个人建构主义) 则对认识活动的个① 张大均. 教育心理学[M].北京：人民教育出版社(第二版).2011.

体性质给予绝对肯定。进入20世纪90年代，极端建构主义向社会建构主义转变，这是建构主义实际发展的轨迹。

（1）建构主义的学习观

建构主义认为, 学习是学习者主动建构知识的意义的过程。建构一方面是对新信息的意义的建构, 同时包含对原有经验的改造和重组, 是新旧经验之间的双向的相互作用过程。这种思想被认为是当代教学和课程改革的基础。建构主义核心思想就是当代著名的建构主义者格拉泽斯费尔德(Glasersfeld)所指出的“知识是由它的认识者所建构的”论断。他认为，知识的获得主要不是通过教师传授得到；而是学习者在一定的情境即社会文化背景下，利用必要的学习资源，通过与教师棚学习伙伴的交流、协作，以意义构建的方式来获得。“情境”、“协作”、“会话”、“意义建构”是学习环境四大要素。建构主义思想非常丰富，其蕴涵的教学思想主要反映在其与传统不同的学习观。

（2）建构主义的教师观

建构主义把教师看成是学生学习的帮助者、合作者。建构主义认为教学不是由教师到学生的简单的转移和传递, 而是在师生的共同活动中, 教师通过提供帮助和支持, 引导学生从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验, 使学生对知识的理解能逐步深入; 帮助学生形成思考、分析问题的思路, 启发他们对自己的学习进行反思, 逐渐让学生对自己的学习能力自我管理、自我负责; 创设良好的、情境性的、多样化的学习环境, 鼓励学生在其中通过实验、独立探究、讨论或合作等学习方式学习; 组织学生与不同领域的专家或实际工作者进行广泛的交流, 为学生的探索提供有力的社会性支持。

总之，建构主义认为学生获取知识不是被动的，而是学生主动建构的，这是教育学建构主义的一条基本原则。建构主义的学习理论认为要记住知识、并懂得意义，新知识就应该与现有的知识结构整合。学习者对知识的建构是通过意义建构完成的，当学生面对新知识，总是与原有知识经验相联系，在短时记忆中进行加工，如果达到了对新知识的意义的理解，便进入到了长时记忆中，同化到原有的认知结构中或进行知识的重组。在建构主义的影响下，教师越来越重视学生的自身建构学习，强调学习是建构在其原有就的知识的基础之上，而概念图可以把

整合过程清晰呈现，使学习者看到概念之间的关系，促进整合过程的形成。概念图不仅是学生建构知识的脚手架，而且是符合建构主义达到意义学习的一种教学策略。

（二）“概念图”教学的理论依据

1. 奥苏贝尔（DavidP . Ausubel）的有意义学习理论

“概念图”是用结构图示的方式将概念以及概念间的相互关系清晰明确的呈现出来的的一种工具。概念图（Concept Map）最早是在19世纪60年代由美国康奈尔大学（Cornell University ）教育系的诺瓦克（Joseph D.Novak ）教授等人根据奥苏贝尔（DavidP. Ausubel）的有意义学习理论提出的。奥苏贝尔认为学习是将符号所代表的新知识与学习者认知结构中已有的适当的观念建立起一种以某种合理的逻辑为基础的联系①。所以他强调有意义学习的条件有三个方面：首先，学习者要有学习的欲望，有积极主动地将新旧知识建立联系的倾向。其次，学习者原有知识的结构的重要性，而概念图可以在教学之前识别出众多具体概念中较大的概括性概念，随着新知识的获得学习者会重新主动构建新的认知结构。最后，学习者必须积极主动地实现新旧知识之间的联系，而新旧知识的联系用概念图来呈现既可以帮助学习者熟悉新概念也可以帮助学习者建立新旧知识的联系，最终重组概念，构建新的知识网络。然而概念图也是一种很好的评价策略，教师可以让学习者画出概念图来评价学习者的有意义学习。

（三）“题组-概念图”教学的的模型的构建

1. 建构数学复习课“题组——概念图”教学的模型的必要性

（1）学科发展的必要性

数学是研究客观事物间的数量关系和空间形式的学科，因此数学学科本身是由一些复杂的抽象的概念及符号组成学科，所以数学学科具有抽象性；数学离不开解题数学的研究过程也就是解题的过程，数学的研究成果也都是用问题及其解①张大均. 教育心理学[M].北京：人民教育出版社(第二版).2011.

决的形式来记录的，①所以数学学科本身的研究过程具有很强的逻辑性。有人说数学家在很大程度上具有欺骗性，他们往往把最完美的结论呈现给了世人，但是比结果更美的其实是数学的解题过程。而这些完美的解题过程首先要求学习者或研究者理解这些抽象的概念，并且掌握这些概念间的逻辑关系。

（2）新课程改革发展的要求

根据普通高中课程改革纲要对课程结构和目标的要求，数学探究作为这次高中数学课程改革的一个极大亮点而提出：数学探究教学应当着力构建完整、科学的教学设计理论体系，即系统研究数学探究教学问题的解决方法和寻找这些方法的方法，这是确保探究式教学成效的根本。而利用“题组——概念图”教学的模型正好顺应了本次课改的需要。

（3）高三数学高效复习的要求

本文利用构建的“题组——概念图”教学模型来优化高三数学复习课，能有效地对高三学生已学的知识内容进行系统化地梳理，而教师设计的导学题组又是以课标和考试大纲为依据，避免学生陷入题海的汪洋之中，不仅为教师提供了一种行之有效的教学模型而且提高了学生的学习能力，而且本文提供了一些利用“题组——概念图”教学的模型优化高三复习课的具体的案例，为高三教师改进教学方法提供了行之有效的方法，促进了教师的专业化发展。

2．高三数学复习课“题组—概念图”教学的模型构建

（1）构建原则

笔者依据教学过程阶段理论在传统的“四阶段教学过程模型”和“五步骤教学过程模型”基础上结合教学的基本原则制定了如下三个方面的原则：首先，坚持自主性原则。构建“题组-概念图”教学的模型要以学生为教学的主体，重点突出培养学生的自主探究能力。其次，坚持可操作原则。从教学的实践出发构建“题组-概念图”教学的模型。最后，坚持可变性原则。教无定法，所以教师可以根据不同的教学内容择对本教学内容有用的步骤进行实践教学。

（2）构建方法 ①罗增儒. 中学数学解题的理论与实践[M].南宁：广西教育出版社.2008.09.

每一种理论在教学中应用都有它的优势所在，取其精华去其糟粕，这是事物发展的必然趋势，笔者采用“组合建模法”，结合“概念图”的清晰的表征功能和“题组教学”的思维训练功能。组合构建出教学互动的有效的教学的模型。

3. “题组—概念图” 教学模模型

“题组—概念图”是笔者结合概念图和题组教学的理论基础和自己的教学经验在实践基础上，参考文献的基础上总结出的一种全新的教学模式。其主要内涵、功能目标体现在五个操作步骤上，本模式的一般流程图如下（如图8）：①

从上述的一般流程图可以看出本模式主要有五个操作步骤所构成，也就是说在复习课中有以下五个教学环节。

（1）考纲解读

对学生而言，在这一环节中学生通过教师对考试大纲以及课程标准的解读，了解自己在本章或本节所掌握的知识点、高考的命题趋势、重点和难点并理清这些知识点之间的逻辑关系。对教师而言，这一环节中通过对考纲的解读来确定教学目标包括知识目标、情感目标和能力目标。

（2）概念图的初次构建

这一环节主要是由学生自行完成的，学生在原有知识经验基础上，通过教师对考纲的解读，自己构建概念图。本环节的主要目标是唤醒学生原有的知识经验，并将原有的知识经验通过概念图的的形式进行构建，初步形成一个有机的知识结构系统。

（3）导学题组呈现

这一环节主要是由教师完成的，教师可以从历年的高考试题、全国各大名校模拟试题中精选出一些题目、或者自己编拟一些学生感兴趣或者具有针对性的题目，以选择题、填空题、计算题、探究题等问题形式呈现出来引起学生的求解的积极性与兴趣，从而活跃学生的课堂气氛。

（4）概念图的完善 ① 姜丽艳. 高中生物学“题组——概念图”复习模式研究[D].东北师范大学.2009

在这一环节中，教师通过对导学题组的讲解，使学生对原有的知识经验进行重新构建，总结与反思纠察自己在知识点上的漏洞、数学方法的提炼、数学思想的应用，完善和补充自己初次构建的概念图。达到对知识点的融会贯通和熟练应用。

（5）变式题组强化

这一环节的题组主要由教师完成，教师可以根据导学题组的类型，精选历年高考试题和模拟试题，对导学题组进行改编，学生在这一环节中对已经形成的概念体系做自我监控、自我强化最终达到教师在考纲解读中所确定的的教学目标，从而巩固知识结构、形成有效的思维模式，进而提高解题能力与考试成绩。

当然学生还可以根据自己的实际情况反复使用这五个环节，最终达到自己的学习目标。这一模式既能保证学生对基本知识结构的掌握，又能掌握同种类型、同种方法、同种数学思想的题组，和各环节题组之间的联系。

五、“题组-概念图”教学模型的操作流程

（一）“题组-概念图”教学模型的策略

1. 题组的编写策略

(1)教师根据对考纲的分析，明确教学目标之后编拟导学题组编拟，这一环节是本模式的基础，所以教师的选题至关重要，而且所选题目必须是经典例题，而且要具有层次针对性，满足不同学生的需求，这样才有利于学生通过导学题组重新构建原有的知识结构，查漏补缺，为二次构建概念图做好准备工作。才能提高学生的复习效率，有利于培养学生总结、归纳、概括的能力。

(2)题组编拟的原则和特点：

①一般以3—5道选择题，2-3道填空题、5道计算题、一道探究型题为宜，当然题量可以根据所复习的题目内容而定。

②题组的编拟要本课时的内容为主题兼顾其他章节内容相关知识点之间的联系。 ③编拟的题目必须体现教师已经明确了的教学目标，并且学生通过导学题组的复习，能够达到教师制定的教学目标。

④编拟的题组必须在结构上具有梯度，由易到难，层层推进，不可机械，不可重复不可过难。

2. 概念图的绘制策略

概念图的制作方法多种多样，但是它们都遵循“阐述概念和概念间的联系，表达对概念的理解”的基本思路。目前对于概念图的制作归纳起来大致有三种方法：第一种是徒手制作，如采用粉笔、黑板、笔和纸；而是采用一些平常的办公软件如WPS 、Offic 等绘制；三是利用国外开发的制作软件绘图，“如Amp2.0、Mind man、Mind Manager、Coco Systems Decision Explorer等。结合本研究笔者在下面主要介绍徒手绘制的一般步骤：①

（1）确定中心主题。中心主题的确定一般是由绘制者确定的，或者是绘制者根据具体的问题抽象出的主题，这个主题必须要有许多子题，而且这些子题一① 钟志贤，陈春生. 作为学习工具的概念地图[J].中国电化教育，2004（1）：25.

定要能反映这一中心主题。然后列出与中心主题相关（包括横向相关和纵向相关）的子题（或子概念）。

（2）开始制作概念图。将列出的子题或子概念进行排序。依照层级关系，将最一般，最抽象的放在最高层，其余的依次放在各自的层级之上。

（3）用箭头和直线连接概念。箭头具有指向性而连线是一种平级之间的概念，并在箭头上或连线上标出恰当的连接词，构成一个简单的命题并产生一定的意义。最终由大量的相关概念的连接构成一个庞大的网络关系图。

（4）重新整理概念图的结构。在查阅大量的相关的基础上重新整理子概念的层级关系和整体布局，使之更加完美与美观。

下图是笔者绘制的“绝对值理解概念图”（如图5）：

图5 绝对值理解概念图

（二）设计案例

函数是高中数学六大主线之一，高考对于函数单调性的考察是每年必考的考点，函数的单调性是函数的一个重要性质，是研究函数时经常要使用的一个性质，并且在比较数与式的大小、对函数作定性分析、以及与其他知识在综合题中都有广泛的应用比如不等式、方程、数列、线性规划、导数等。可以说函数的单调性是高中数学中起着承上启下，举足轻重的作用，也是高三教师比较难讲的一部分知识点，所以在本研究中选择了函数的单调性作为案例的设计内容。 案例1：利用“题组-概念图”教学的模型优化函数单调性及其应用

整个教学过程表1所示：

表1利用“题组-概念图”教学模型优化函数单调性及其应用

（1）考纲解读与命题趋势分析

2014年新课标考试大纲中对函数单调性的要求是理解，说明函数的单调性对学生思维水平的要求比较高，笔者对近十年全国卷的数学高考试题进行研究发现，函数的单调性几乎是每年必考的内容，分别出现在选择题第7题到第11题之间和最后的解答题中。其中选择题一般要求学生会利用函数的单调性比较数的大小，而在最后的解答题中有的将函数的单调性在不等式中考察，有的将函数的单调性用在数列中考察，大部分的题目考察学生利用导数去求函数的单调区间或者利用单调性求函数的最值问题。例如：

学生初次绘制概念图示例，以下A 、B 两名学生绘制的概念图：

A （图9）

图9学生A 初次绘制的函数单调性概念图

B （图10）

图10 学生B 初次绘制的函数单调性概念图

（3）导学题组呈现

题组问题：你能从以上几道题目中总结出一般函数单调性的概念吗？及定义法证明函数单调性的一般方法？你能总结出我们所学过的所有基本初等函数的单调性吗？

师：哪位同学可以说说函数单调性的概念？

生1：函数的单调性就是函数的增减性。

师：那你能具体地刻画函数的单调性吗？

生1：在函数的区间上任意取两个数x 1，x 2，且x 1

师：回答的非常正确。那么你们能不能说说他说的这句话中暗含了哪几个动词？

生：“取”“代”“比”

师：非常正确，首先我们在给定的区间中任意取两个数，然后带入函数的表达式中，比较f (x 1) 与f (x 2) 的大小关系，最后下定义。但是特别要强调的是比较时可以用做差法也可以用做商法，一般定号时要分解因式。那么哪位同学可以总结一下我们以前学过的基本初等函数的单调性？

生2：一次函数：y =kx +b (k 0) 当k >0时，是单调递增函数；当k

生2：二次函数f (x ) =ax 2+bx +c （a ¹0）

当a >0，x ? [? ,

当a

k （k ¹0） x 生3. 反比例函数f (x ) =

当k >0，x ? (? ,0) (0, ) 时，f (x ) 单调递增。

当k

生4. 指数函数f (x ) =a x (a >0, a 1)

当0

当a >1，x ÎR 时，f (x ) 单调递减。

生5. 对数函数f (x ) =log a x (a >0, a 1)

当0

当a >1，x ? (0, ) 时，f (x ) 单调递减。

师：还有一种函数幂函数，希望大家能够回去自己总结。

题组目标：本题组从初中所学的函数类型：一次函数、反比例、二次函数出发通过学生总结反思函数的单调性的概念。

2. 若f (x ) =ax +1在区间(-2, + ) 上是增函数，求a 的取值范围 x +2

1题组问题：你会用均值不等式f (x ) =x +分别求出f (x ) 在x ? ( ,0) 上的最x

大值与x ? (0, ) 上的最小值吗？

师：板书

方法1. 定义法：

解：设0

=(x 1-x 2)(1-x 1x 2) x 1x 2

当00, x 2>0且x 10,1-x 1x 2>0 \f (x 1) -f (x 2)

\当x Î(0,1)时，f (x ) 单调递减

当10,1-x 1x 2

\f (x 1) -f (x 2) >0，即f (x 1) >f (x 2)

\当x ? (1,

) 时，又f (-x ) =-f (x ) \当x ? (? , 1) 时，f (x ) 单调递增 当x ? (1,0) 时f (x ) 单调递减

综上所述：当x ? (? , 1) (1,+ ) 时，f (x ) 单调递增

当x ? (1,0) (0,1)时，f (x ) 单调递减

方法2：（导数法）

f ' (x ) =1-1 令f ' (x ) =0，则x 1=-1，x 2=1，列表如下： 2x

综上所述：当x ? (? , 1) (1,+ ) 时，f (x ) 单调递增

当x ? (1,0) (0,1)时，f (x ) 单调递减 1利用均值不等式求f (x ) =x +分别求出f (x ) 在x ? ( ,0) 上的最大值与x

x ? (0, ) 上的最小值

1解：当x >

0时，x +匙=2 x 当且仅当x =

1即x 2=1，x 1=1，x 2=-1 x 1x >0\x =1，即当x =1时，f (x ) =x +在x ? (0, ) 上取得最小值2 x

11>0，

\-x +(-) ? 2 x x 当x 0, -

1\x +? 2 x

当且仅当-x =-

又1时，即x 1=1, x 2=-1

x 1x

1f (x ) =x +的函数图像（如图11） x

1 图11f (x ) =x +的函数图像 x

题组目标：本题组从第1题总结出用定义证明单调性的一般步骤，和利用导数证明函数单调性的一般步骤，从第2题中体会函数单调性定义法的逆向思维。

题组问题：你们从这两道题中总结出复合函数单调性的判断方法和一般求法吗？

师：从以上例题中我们可以看到复合函数的单调性，满足同增异减。比如第1题：

11设t (x ) =-x 则y =

() t (x ) y =() t (x ) 在x R 上单调递减，t (x ) =-x ，x ÎR 单33

1调递减。\y =() t (x ) 单调递增。 3

师：那么你们谁能展示一下第2题的答案呢？

生9：老师，我的。（如图12）

图12 学生答案展示图

题组目标：通过本题组的训练让学生体会复合函数单调性的判断方法和求法。

题组问题：利用单调性求解不等式时应该注意哪些问题？有抽象函数的恒等关系式证明函数单调性时赋值时有和技巧？

师：同学们，你们觉得利用函数的单调性求解不等式的解集有哪些该注意的问题？

生1：首先要利用已知条件得出抽象函数的单调性。

师：还有呢？

生2：有时会用到函数的奇偶性，最终“脱”去f 。

师：还有呢？

生3：不知道了。

师：还有我们要注意充当自变量的部分一定在函数的定义域范围之类。 下图是学生听课时所记录的技巧

图13学生上课听课记录图

题组目标：通过本组题让学生归纳出利用单调性求解不等式时应该注意的问题。总结如何给恒等关系式赋值并转化成定义法证明函数的单调性。

（4）学生A 、B 分别完善后的概念图

图15 学生B 完善后的函数单调性概念图

（5）变式题组训练

（1）考纲解读及高考命题趋势分析

2014年考试大纲要求学生理解空间直线、平面位置关系的定义并会证明直线与平面间的位置关系，及平面与平面间位置关系。笔者对最近几年的高考试题进行分析得出这部分知识的考察主要在考试卷中后面的解答题或证明题中，一般出现在第18题-第20题之间，这类题型一般在第一问中是要求学生证明直线与直线的位置观、直线与平面间的位置关系和平面与平面的位置关系，第二问一般要求学生求异面直线的夹角、直线与平面的夹角和二面角的平面角等，而第三问一般要求学生求平面外的一点到平面的距离或者求几何体中某个三棱锥的体积。例如：

笔者认为这部分的内容用概念图来呈现会知识体系将会一目了然，下图是笔者绘制的概念图（如图16）：

图16直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系概念图

（2）学生初次绘制直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系的概念图：

A ：(如图17) ．

图17学生A 直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系的概念图

B. （如图18）

图18 学生B 直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系的概念图

（3）导学题组呈现：

题组问题：同学们通过以上几个小题你总结出直线与直线、直线与平面和平面与平面之间的位置关系吗？下图是学生总结的直线与直线、直线与平面和平面与平面之间的位置关系。

图19学生C 总结的直线与直线、直线与平面、平面与平面间

的位置关系的概念图

题组目标：通过本题组的训练让学生归纳直线与直线、直线与平面和平面与平面之间的位置关系以及它们之间的位置关系的判定定理和性质定理，培养学生归纳概括的能力。

题组问题：同学们通过以上题组，你能总结出空间中的距离和夹角的求法和解题思路吗？

师：你们谁来回答这个问题呢？

生4：空间中的距离一般可以用线面垂直，找见平面外的一个点在平面上的射影，构建直角三角形去求。

师：还有别的方法吗？

生5：哦，还可以用等体积转化法。

师：那你能不能说一下，等体积转化法和二维平面上求三角形的高有什么联系和区别？

生6：老师这个问题我暂时还没有想好。

生7：老师，我知道，其实在平面上三角形对应空间中的三棱锥，平面上三角形某条边上的高对应三棱锥的顶点到某一平面的距离，在三角形中我们可以用等面积转化法，而在三棱锥中我们可以用等体积转化法求某一个点到某一个平面的距离。

师：回答的相当精彩。

下图是学生7按照等体积转化法做的2014年新课标（II ）卷，第18题

图20 学生E 作题过程展示

题组目标：通过以上题组的训练，归纳出求空间的角与距离的普遍性方法，培养学生的空间想象能力，问题转化能力。

（4）学生完善后的关于空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系的概念图

A （如图21）：

图21 学生A 完善后的概念图

B （如图22）：

图22学生B 完善后的概念图

六 利用“题组-概念图”教学的模型优化高三

数学复习的实验研究

（一）实验目的

本实验研究主要探讨在利用“题组-概念图”教学的模型优化高三数学复习课的可行性和有效性，试图通过利用“题组-概念图”教学的的模型，改变传统的课堂教学模型，期望在学习成绩、学习习惯、学习兴趣、知识结构方面取得好的效果。

（二）变量分析及假设

1. 自变量：“题组—概念图”教学模型的实施

2. 因变量：学生的考试成绩、学习兴趣、复习效率、形成概念体系、学习负担

3. 无关变量的处理：前每班的学生数学基础基本相同，学习风气基本相同，高三复习的焦虑程度基本相同，两次测试题的信度和效度基本相同。

4. 实验假设：假定自变量和因变量有因果关系，需要实验加以验证并进行统计分

析。

假设1. 实验组比控制组更能提高学生的数学考试成绩

假设2. 实验组比对照组更能培养学生的数学学习兴趣

假设3. 实验组比对照组更能让学生提高数学复习效率

假设4. 实验组比对照组更能让学生形成数学的概念体系

假设5. 实验组比对照组更能减轻学生的学习负担

（三）实验对象

借用学校安排的自主实习的机会选择了兰州市西固区xx 中学2015届高三两

个平行班高三（2）班和高三（3）班的同学为实验对象（这两个班是同一名教师

所带），高三（2）班共60人，高三（3）班共61人。共121人。

随机确定了高三（2）班为第实验组、高三（3）班为对照组。将2014年11

月底举行的模拟考试数学成绩作为前测结果。（见表4-1）通过成绩对比，很容

易看出这两个文科班的数学成绩起点比较平均，无明显差异。

表1前测平均成绩

（四）实验设计与过程

1. 实验前期准备

（1）教学材料：《普通高中课程标准实验教科书-数学》必修1、选修2-2，高考

复习资料（包括一些电子教学资源例如高考学习网上下载的教学学案和课件），

自编题组和概念图等。

（2）测评材料：

第一次测评（实验前测）是全校举行的高三十一月模拟考试题（2014.11.28），

这次考题是高三数学教研小组命制，可以保证测评材料的信度和效度；第二次（实

验后侧）是（2015.1.16）试卷由高三数学教研小组命制，确保了测验的较高的

信度和效度。

2. 实验方法

实验组利用“题组—概念图”教学的模型优化高三复习课，具体操作流程详

见第三章；对照组采用传统教学模式组织复习的教与学，主要采取的操作程序为：

3. 实验程序：

具体的实验分三个阶段进行。

第一阶段：（2014.11.25-2014.11.30）选取笔者所带的两个高三文科班作为实验

对象，以学校举行的十一月月底摸底考试的成绩作为实验前测。

第二阶段：（2014.12.1-2015.1.16）

实施利用“题组-概念图”教学模型优化高三数学复习课，以2015.1.16日学校

举行期末考试绩作为实验后侧。

第三阶段：（2015.1.18-2015.1.20）利用“题组-概念图”教学模型优化高三数

学复习课实施效果的学生问卷。

（五）实验结果统计与分析

1. 实验组学生成绩分布表

（1）实验组前测成绩分布（表2）

表1 实验组前测成绩分布表（全班总人数60人）

由上表我们可以看出来实验组的学生在61-89分之间的人数和处于90-120

分之间的人数所占的比重较较大，处于120分以上的学生人数比重较小。

（2）实验组后侧成绩分布（表2）

表2 实验组后测成绩分布表（全班总人数60人）

通过以上数据我们发现实验后测的成绩0-60分之间和120分以上的学生人数所占百分比有所减少，而处于中间段60-89分之间和90-120分之间的人数所占的百分比有所增加。为了明显地看出实验组和对照组分别在实验前测与后侧之间学生人数所占的百分比的变化情况，笔者绘制了如下的统计图：

图23 实验组学生成绩前测与后侧成绩统计图

通过上图我们可以明显的发现实验组的考试成绩后侧比前测结果在0-60分之间的学生人数下降了11.66个百分点，60-89分之间的百分比增长8.33个百分点，90-120分之间增长了6.66个百分点。120分以上的百分比下降了3.34。说明实施“题组-概念图”教学能够较高的提高学生的总体数学考试成绩。

2. 对照组学生成绩分布表（全班总人数61人）

（1）对照组前测成绩分布表（表3）

表3 对照组前测成绩分布表（全班总人数61人）

通过以上数据我们发现对照组学生中处于0-60分之间的人数所占的比重最大，120分以上的学生人数所占比重最小。相当于实验组，对照组中高分段的学生人数较少。

（2）对照组后测成绩分布表（表4）

表4 对照组后测成绩分布表（全班总人数61人）

通过以上数据我们发现，对照组中处于61-89分之间和90-120分之间的学生人数所占的百分比也有所增加但是增加的程度要比实验组增加的百分比低。为了更加明显地分析对照组学生成绩变化情况，笔者绘制了以下统计图。

图24 对照组学生成绩前测与后侧成绩统计图

通过上图我们可以明显的发现对照组使用传统的教学方式学生的考试成绩

也有所提高，后侧比前测结果在，0-60分之间的学生人数下降了6.55个百分点，60-89分之间后侧增长了1.6个百分点，90-120分之间增长了3.28个百分点。与实验组相比，使用“题组-概念图”教学模型之后能够提高中下等学生的成绩而处于120分以上的学生人数增长了1.69个百分点。

3．显著性差异比较：

（1）实验组前后测成绩显著性差异比较：

将实验组的学生成成绩录入SPSS17.0版数据统计处理软件，得到如表5所示的结果：

表5 实验组学生前测与后测显著性差异比较

（2）对照组前后测显著性差异比较：将实验组的学生成成绩录入SPSS17.0版数据统计处理软件，得到（如表6）所示的结果：

表6对照组学生前测与后侧显著性差异比较

通过以上数据我们发现实验组和对照组在前测和后侧学生的成绩分布上都有显著性差异，但是实验的平均成绩比对照组的平均成绩高。

（六）利用“题组-概念图”教学模型优化高三数学复习课实施效果的学生问卷统计分析

调查问卷是在实施“题组-概念图”教学模型优化高三数学复习课之后对实验班的同学们发的，发放问卷60份，回收60份，其中2份无效，有效回收率96.66%，保证了问卷的信度和效度。笔者根据问卷资料对实施“题组-概念图”教学模型优化高三数学复习课之后学生在学习兴趣、复习效率、掌握知识概念、减轻学习负担、学习成绩五个方面进行研究。

1. 问卷选择题各选项的人数与所占百分比调查统计结果

为了方面统计方便我们将“非常同意”用“VA ”表示；“同意”用“A ”表示；“不知道”用“N ”表示；“不同意”用“NA ”表式；“非常不同意”用“VNA ”来表示。“1”表示提高了学习兴趣；“2”表示提高了复习效率；“3”表示形成了概

念体系；“4”表示减轻了学习负担；“5”表示提高了学生考试成绩。如表7所示：

表7问卷选择题各选项的人数与所占百分比调查统计表

图25 问卷选择题各态度所占百分比统计图

从以上的统计图我们可以发现利用“题组-概念图”教学模型优化高三数学复习课后学生在学习兴趣方面有了很大的提高，在形成概念体系和提高考试成绩方面分别有高达36.20%和43.10%的学生非常同意。说明模型的有效性和可操作性。

由于高三学生升学压力大，所以在减轻学业负担方面有31.03%和25.86%的学生觉得不知道和不同意。

在提高复习效率方面有22.41%的学生表示非常同意，有31.03%的学生表示不知道，说明该教学模型也有它自身的缺点，任何一个新事物的出现一定有利和弊，所以在这一方面的研究还是一个任重而道远的过程。

2. 问卷简答题结果及其分析

本问卷从实验前高三数学复习的基本状况、“题组-概念图”教学模型能否应用在其他学科和学生对“题组-概念图”教学模型的评价三维度对实验组的学生进行调查。

（1）实验前高三数学复习的基本状况：

学习兴趣方面：有80%的学生认为自己完全没有学习兴趣，表示自己学习数学完全是被动的，有15%的学生认为基本上没有兴趣，有5%的学生表示自己喜欢学习数学。

学习习惯方面：有75%的学生认为自己的学习习惯很差，老师也没有强调过这一点。也有学生认为自己的学习习惯在初中已经定型了，已经无法改变了。

学业负担：有95%的学生认为自己的学业负担很重，根本没有时间自己去整理与思考一些基本概念，甚至有学生感觉自己已经不可能考上好的大学了。

教师教学方面：有90%的学生认为老师都非常负责任，非常认真。

学习效率：有85%的学生认为自己的学习效率很低，大量的数学学题已经让他们变得麻木。

（2）“题组-概念图”教学模型能否应用在其他学科。

由于实验组和对照组都是文科班，有75%的学生认为“题组-概念图”教学模型可以用在地理学科中，因为地理学科概念很强，可以方面记忆，也有20%的学生认为可以在政治学科中，能有效地归纳知识点，形成体系。

（2）学生对“题组-概念图”教学模型的评价

80%的学生表示喜欢“题组-概念图”教学模型，因为这种教学方式，简单明了，可以建立知识框架，归纳解题方法。20%的学生认为他们不喜欢，因为要总结和思考，要花费很多时间不如自己做上几道数学题的。

通过对结果的分析，大部分的学生比较喜欢“题组-概念图”教学模型，他们对这种教学方式的评定是肯定的，表明了这种模型的可操作性和有效性。

（七）实验结论与思考

1. 实验结论

（1）“题组-概念图”教学模型能够显著地提高考试成绩

（2）“题组-概念图”教学模型能够很好地培养学生的学习兴趣

（3）“题组-概念图”教学模型能够明显地提高学生的复习效率

（4）“题组-概念图”教学模型能有效地促使学生形成概念体系

（5）“题组-概念图”教学模型能在一定程度上减轻学生学习负担

(6“题组-概念图”教学模型可以推广到一些概念性比较强的学科。

2. 实验反思

在对实验数据统计与分析过程中笔者发现该模型至少还在以下几个方面需要改进和进一步的研究。

（1）对于学习比较的优秀的学生这种教学模型是不是适用，是需要进一步研究的。

（2）这种教学模型能否推广到其他学科是需要进一步研究的。

（3）实验中无关变量的干扰因素太多，所以实验方案应该进一步改进。

(4)实验的时间较多，期待以后能够进行长时间实验研究，对该模型做进一步的修正和完善。

七、研究结论及建议

（一）研究结论

笔者对高三数名学生和教师进行访谈时发现高三数学复习中存在学生学习没有兴趣、学习习惯差、学业负担过重、复习效率低下等问题，企图通过构建“题组——概念图”的教学模型，并进行了“利用‘题组——概念图’模型优化高三

数学复习课”的教学实践与实验研究，客观的实验结果成功地验证了这一模型的有效性和可操作性，能够很好地解决高三数学复习中存在的问题。具体而言得到了以下几个研究结论：

1. “题组——概念图”教学模型的理论依据

“题组——概念图”教学模型是建立在奥苏贝尔的有意义学习理论和建构主义的基础之上，汲取“题组教学”和“概念图教学”的各自优势，进行组合建模得到的一种教学方式。

2. “题组——概念图”教学模型的教学流程

“题组—概念图”教学模型的教学流程为“考纲解读—题组编拟—学生初次构建概念图—导学题组呈现—完善概念图—变式题组训练”。其中“考纲解读”和“题组编拟”是教师课前准备的、“学生初次绘制概念图”是学生课前准备的、“导学题组呈现”“概念图的完善”是在课堂进行的、“变式题组训练”是学生在课后完成的。

3. “题组——概念图”教学模型的实践效果

通过利用“题组——概念图”教学模型优化高三复习课实践研究得到这种教学模型尤其在提高学生考试成绩、形成概念体系、培养学生数学学习兴趣、提高复习效率方面有很好的实践效果。

4. 教师利用“题组——概念图”教学模型的优势与不足

教师利用“题组——概念图”教学模型优化高三复习课时，可以普遍性提高学生的考试成绩，能够有效地组织教学，但是题组的编拟需要团队的合作，这种教学模型的实施对教师的要求非常严格。

（二）对教师的建议

1. “题组编拟”需要团队协作

这一模型的实施的关键是“题组编拟”，教师编拟题组时不仅要把握课标、考纲要求，而且要结合自己学生的具体的学习情况设计不同层次的题组，而且这

些题目必须要有很好的代表性，所以建议题组的编拟最好能够组建团队，通过团队的协作完成题组的编拟。

2. “完善后的概念图”需要老师进行批阅指导

尽管学生在经历了导学题组的归纳与总结之后，可以更好地完善自己的概念体系，但是一些解题思路或者题型的总结学生做的不够。教师要善于利用概念图发现学生学习的空白区，给具体的学生予具体的指导性的建议。

3. 教师应采取多样化的教学

虽然本研究表明利用“题组——概念图”教学模型优化高三复习课，可以取得很好的效果，但是教无定法教师不能局限于某种教学方法或者教学模式，而没有任何创新，所以教师需尽可能采取多样化的教学以激发学生的学习兴趣，发挥学生的主体地位。

（三）对学生的建议

1.学生初次绘制概念图的注意事项

（1）学生在初次绘制绘制概念图的时候要尽可能地展现自己的原有的认知，通过查阅以前的资料尽可能地将一些题型和解题思路归纳在一起。

（2）绘制概念图时要注意每个概念与概念之间的横向与纵向的联系，还要注意概念与概念群的逻辑关系。

2. 变式训练中存在的问题要及时地反馈给教师

变式训练作为导学题组的强化与提高，学生应该认真地去做，将每一个题务必做精，做透。学生要善于反思题目所折射出的解题思想与各个知识点之间的联系。将不太明白的题目及时地反馈给教师。

3. 概念图的完善是一个循环往复的过程

学生不能拘泥于教师的讲解，而且还要主动自己构建自己的知识体系，做到五个思考：“这道题考哪些知识点？”，“这些知识点之间有什么联系吗？”，

“这些知识点怎么样考？”，“与此题类似的题有没有解题的通法”“能不能做到举一反三？”

八．研究的局限性与展望

（一）研究的局限性

虽然此次研究表明利用“题组—概念图”教学模型优化高三数学复习课在提

高学生考试成绩、形成概念体系、培养学生数学学习兴趣、提高复习效率方面有很好的实践效果。但是也有一些自身的局限性，首先，由于时间、人力和物力的限制，导致实验时间较短，而且受到了一些无法消除的无关变量的影响，在实验设计上有所不足；其次本文构建的“题组—概念图”教学模型还需进一步的充实和完善。

（二）展望

1. 本文只是利用“题组—概念图”教学模型优化高三数学复习课，这种教学模型能否用在低年级的数学复习课中还需要进一步实践研究。

2. “题组—概念图”教学模型能否用在其他学科中也是需要进一步的理论和实践研究的。

3. 本文只是在理论上构建了“题组—概念图”的教学模型，只是一种上课环节改进，这种模型能不能充实发展为一种教学教学模式还是需要进一步在理论上和实践进行研究。

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