梯形与重心经典例题

类型一：梯形中的辅助线

1、（2010北京）已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC=AD=2，BC=4。 求∠B的度数及AC的长。

思路点拨: 平移一腰，把梯形分成一个平行四边形和三角形。 解法一：过A点作AE∥DC交BC于点E． ∵ AD∥BC，

∴ 四边形AECD是平行四边形． ∴ AD=EC，AE=DC．

∵ AB=DC=AD=2，BC=4， ∴ AE=BE=EC=AB．

可证 △BAC是直角三角形，△ABE是等边三角形． ∴ ∠BAC=90°，∠B=60°．

．

．

在Rt△ABC中， ∴ ∠B=60°，

解法二：分别作AF⊥BC，DG⊥BC，F、G是垂足， ∴ ∠AFB=∠DGC=90°． ∵ AD∥BC，

∴ 四边形AFGD是矩形． ∴ AF=DG． ∵ AB=DC．

∴ Rt△AFB≌Rt△DGC． ∴ BF=CG．

∵ AD=2，BC=4， ∴ BF=1．

在Rt△AFB中， ∵ 2BF=AB， ∴ ∠B=60°． ∵ BF=1，

．

∴

∵ FC=3，

由勾股定理，得 ∴ ∠B=60°，

， ．

总结升华：在用平移线段的方法作梯形的辅助线时，

无论是平移一腰还是平移一条对角

线，都是将梯形问题转化成三角形和平行四边形的问题来解决；

举一反三： 【变式1】（平移对角线）已知梯形ABCD的面积是32，两底与高的和为16，如果其中一条对角线与两底垂直，则另一条对角线长为___________________

【答案】梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥BC．设AD=x，BC=y，DB=z，由题得：x+y+z=16，

，（熟记梯形面积公式）

解得x+y=8，z=8，

过D作DE∥AC交BC的延长线于E． ∴四边形ADEC是平行四边形，（注意这种辅助线的作法很常用） ∴DE=AC，AD=CE．（将“上底+下底”转化到一条线段上） 在Rt△DBE中，∠DBE=90°，BE=BC+CE=x+y=8，BD=8，

，

根据勾股定理得 ∵AC=DE，

．

【变式2】（过顶点作高）已知AB=BC，AB∥CD，∠D=90°，AE⊥BC．求证：CD=CE． 分析：这是一个直角梯形，通过作CF⊥AB，可以将梯形分成矩形和直角三角形，结合直角梯形的性质，利用两次全等，达到证明CD=CE的目的． 证明：如图，连结AC，过C作CF⊥AB于F． 在△CFB和△AEB中，（这是直角梯形中常见的辅助线）

∴△CFB≌△AEB（AAS） ∴CF=AE．

∵∠D=90°，CF⊥AB且AB∥CD， ∴AFCD是矩形 ∴AD=CF， ∴AD=AE．

在Rt△ADC和Rt△AEC中，

∴Rt△ADC≌Rt△AEC（HL） ∴CD=CE．

【变式3】（延长两腰）如图，在梯形为

、

的中点。

中，

，

，

、

求证：

【答案】如图，延长 ∵

，

相交于

点，连结

，

.

∵ ∴ ∵ ∴ ∴

、为、， ∴

的中点，∴

∴

，

、、三点共线

【变式4】（过一腰中点作底边平行线——构造中位线）已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC的平分线过CD的中点E．

求证：AD＋BC=AB．

证明：过E作EF∥BC交AB于F，则EF∥BC∥AD， ∵E是CD的中点

∴EF为梯形ABCD的中位线,∠2=∠3 ∴AD＋BC=2EF，AF=FB ∵∠1=∠2，

∴∠1=∠3，则BF=EF． ∴BF=EF=AF

∴2EF=BF+AF=AB ∵AD＋BC=2EF ∴AD＋BC=AB．

【变式5】如图，E是梯形ABCD中腰DC上的中点，

【答案】证明：过E作MN∥AB交BC于N，交 AD的延长线于M，则四边形ABNM是平行四边形．

∵△ABE与□ABNM同底同高，

∵∠1=∠C，∠M=∠2，DE=CE， ∴△EMD≌△ENC． ∴S□ABNM=S梯形ABCD

。

类型二：不添加辅助线（多数与全等、面积、梯形中位线有关系）

求证：

2、已知：如图，四边形ABCD为矩形，四边形ABDE为等腰梯形，

思路点拨: 要证而

，且

，则考虑这两个三角形中对应边、对应角的相等关系。

，则问题得证，本题要证对应的角相等

也并不困难。

解析：∵四边形ABCD为矩形， ∴

为其对角线，

∵四边形ABDE为等腰梯形，且 ∴ 在 又 ∴

举一反三：

【变式1】如图，已知：在梯形ABCD中， 求证：

.

和，

中，

，

，AC、BD相交于点O.

【答案】∵

，

∴A、D两点到BC的距离相等. 即 ∴

∴ ∴

和

的面积相等，推出

和

的面

中BC边上的高与

（等底等高）.

中BC边上的高相等.

说明 本题中，我们也可以用

积相等，等底等高的性质在证明三角形及四边形的面积问题时，起关键作用.

【变式2】如图，已知：AD是

的平分线，

，

，

.

（1）求证：四边形ADCE是等腰梯形. （2）若

的周长为

，求四边形ADCE的周长.

证明：（1）∵ ∴

又∵ ∴

∴ ∵

（等角对等边） （已知） （已知），

（两直线平行，内错角相等） （角平分线定义），

∴ 即

∴ 又∵ ∴ ∴ 而

（等边对等角） （对顶角相等）

（内错角相等，两直线平行）

∴ 四边形ADCE是梯形 又∵ ∴

∴

（全等三角形的对应边相等）.

∴ 四边形ADCE是等腰梯形 解：（2）∵四边形ADCE是等腰梯形 ∴

∴ 梯形ADCE的周长 而 ∴

∵

∴

即

的周长

∴ 梯形ADCE的周长

说明 等腰梯形的判定，一般是先判定一个四边形是梯形，然后再由“两腰相等”或“同一底上的两个角相等”来判定它是等腰梯形，要判定一个四边形是梯形时，判定一组对边不平行常常有困难，所以可用判定平行的两边不相等的方法来解决．

类型三：有关梯形的作图问题

3．（2010江苏连云港）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．如，平行四边形的一条对角线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线．

（1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有________；

（2）如图1，梯形ABCD中，AB∥DC，如果延长DC到E，使CE＝AB，连接AE，那么有

．

请你给出这个结论成立的理由，并过点A作出梯形ABCD的面积等分线(不写作法，保留作图痕迹);

（3）如图，四边形ABCD中，AB与CD不平行，

，过点A能否作出四

边形ABCD的面积等分

线？若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由．

思路点拨：注意梯形的辅助线中，连接一顶点和一腰的中点并延长与底边相交，可以构造一对全等的三角形，将梯形作等积变换。 【答案】：(1) 中线所在的直线

(2) 法一：连接BE，因为AB∥CE,AB=CE，所以四边形ABEC为平行四边形

所以BE∥AC

所以△ABC 和△AEC的公共边AC上的高也相等 所以有 所以

法二：设 AE与BC相交于点F 因为AB∥CE，所以 又因为 AB=CE 所以

过点A的梯形ABCD的面积等分线的画法如图1所示 AG为△AED的中线

所

以

(3) 能.连接AC,过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E,连接AE. 因为BE∥AC,所以△ABC 和△AEC的公共边AC上的高也相等 所以有 所以 因为

所以面积等分线必与CD相交,取DE中点F

则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线 作图如图2所示

总结升华：总结把四边形转化成与它面积相等的三角形的方法。

举一反三：

【变式1】已知：如图，△ABC中，AC

(1)在BC边上确定点P的位置，使∠APC=∠C．请画出图形，不写画法；

(2)在图中画出一条直线，使得直线分别与AB、BC边交于点M、N，并且沿直线将△ABC剪开后可拼

成一个等腰梯形．请画出直线及拼接后的等腰梯形，并简要说明你的剪拼方法． 说明：本题只需保留画图痕迹，无需尺规作图．

【答案】：(1)简案见图4（任选一种即可）． (2)答案见图5．

剪拼方法：取AB的中点M，过点M作AP的平行线，与BC交于点N，过点A作

BC的平行线，与交于点H，将△BMN绕点M顺时针旋转180°到△AMH，则四边形ACNH为拼接后的等腰梯形．

【变式2】如图，梯形纸片ABCD中，AD∥BC，AB≠DC．设AD=a，BC=b．过AD中点和BC的中点的直线可将梯形纸片ABCD面积分成面积相等的两部分． 请你再设计一种方法：

只须用剪刀剪一次将梯形纸片ABCD分割成面积相等的二部分，画出设计的图形并简要说明你的分割方法．

【答案】：方法1：取，连结AM．AM把梯形ABCD分成面积相等的

两部分．如下图。

方法2：(1)取DC的中点G，作G作EF∥AB，交BC于点F，交AD的延长线于点E．

(2)连结AF，BE相交于点O．

(3)过O任作直线MN与AD，BC相交于点M、N，沿MN剪一刀即把梯形ABCD分成面积相

等的两部分．

说明：方法二是利用辅助线把梯形转化成与它面积相等的平行四边形，过平行四边形对角线交点的直线始终平分平行四边形面积。