2017年辽宁单招数学仿真模拟试卷(附答案)

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2017年辽宁单招数学仿真模拟试卷(附答案)

一、选择题（共10小题，每题5分）

1. 已知复数z 1=2+i ，z 2=1-i ，则在z =z 1⋅z 2复平面上对应的点位于（ ） (A)第一象限

(B)第二象限

(C)第三象限

(D)第四象限

2. 有3张奖券，其中2张可中奖，现3个人按顺序依次从中抽一张，小明最后抽，则他抽到中奖券的概率是（ (A)

）

(B)

13

16

(C)

2 3

(D)

1 2

∃x ∈R ，使tan x =1，命题q ：3. 已知命题p ：x 2-3x +2

下列结论：

①命题“p ∧q ”是真命题； ②命题“p ∧⌝q ”是假命题； ③命题“⌝p ∨q ”是真命题； ④命题“⌝p ∨⌝q ”是假命题 其中正确的是（ (A)②③

）

(B)①②④

(C)①③④

(D)①②③④

sin(+θ) -cos(π-θ)

4. 已知tan θ=2，则=（ -θ) -sin(π-θ)

2

(A)2

(B)－2

π

）

(C)0

2(D)

3

5. lg x -

1

=0有解的区域是（ x

）

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(A)(0,1]

(B)(1,10]

(C)(10,100]

(D)

(100,+∞)

6. 已知向量 a =(1，2) ，b

=(x ，4) ，若向量 a ∥b ，则x =（

） (A)-

1

2

(B)12

(C)-2

(D)2

7. 已知两点A (-2, 0), B (0,2) ，点C 是圆x 2+y 2-2x =0上任意一点，则∆ABC 面积的最小值是（

）

(A)3-

(B)3+

(C)3-

22

(D)

3-2

2

8. 甲、乙、丙、丁四位同学各自对A 、B 两变量的线性相关性作试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r 与残差平方和m 如下表：

则哪位同学的试验结果体现A 、B 两变量更强的线性相关性？（ ） (A ) 甲 (B )

乙

(

C ) 丙 (D ) 丁

9. 如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（

） (A)1

(B)

1

2

(C)13

(D)16

10. 已知抛物线y 2=8x ，过点A (2,0) ) 作倾斜角为

π

3

的直线l ，若l 与抛物线交于B 、C 两点，弦BC 的中垂线交x 轴于点P ，则线段AP 的长为（

）

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(A)

16 3

(B)

83

(D)

二、填空题（共4小题，每小题5分）

11. 已知集合A ={1，2，3}，使A B ={1，2，3}的集合B 的个数是_________．

⎧x >0

⎪

12. 在约束条件⎨y ≤1下，目标函数S =2x +y 的最大值为_____________.

⎪2x -2y +1≤0⎩

13. 在∆ABC 中，若AB ⊥AC , AC =b , BC =a ，则∆

ABC 的外接圆半径

，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体S -ABC 中，r =

若SA 、SB 、SC 两两垂直，SA =a , SB =b , SC =c ，则四面体S -ABC 的外接球

半径R =____________．

14. 在如下程序框图中，输入f 0(x ) =cos x ，则输出的是__________.

三、解答题（共6小题，共80分）

15.(本题满分12分) 在∆ABC 中，A 、B 、C 是三角形的三内角，a 、b 、c 是三内角对应的三边，已知b 2+c 2-a 2=bc ． （Ⅰ）求角A 的大小；

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（Ⅱ）若sin 2A +sin 2B =sin 2C ，求角B 的大小．

16.(本题满分12分) 已知f (x ) =ax 3+3x 2-x +1，a ∈R ． （Ⅰ）当a =-3时，求证：f (x ) 在R 上是减函数；

（Ⅱ）如果对∀x ∈R 不等式f '(x ) ≤4x 恒成立，求实数a 的取值范围．

E 、F 分17.(本题满分14分) 如图所示，在棱长为2的正方体ABCD -A 1BC 11D 1中，

别为DD 1、DB 的中点．

（Ⅰ）求证：EF //平面ABC 1D 1； （Ⅱ）求证：EF ⊥B 1C ； （Ⅲ）求三棱锥V B 1-EFC 的体积．

A A 1

E D 1

1

C 1

F

C

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18.(本题满分14分) 某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200公斤，每公斤饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每公斤每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．

（Ⅰ）求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小；

（Ⅱ）若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少5吨时其价格可享受八五折优

惠（即原价的85%）．问该厂是否考虑利用此优惠条件，请说明理由．

19.(本题满分14分) 观察下面由奇数组成的数阵，回答下列问题： （Ⅰ）求第六行的第一个数．

1

（Ⅱ）求第20行的第一个数．

357

9

（Ⅲ）求第20行的所有数的和． 131517

19

11

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20.(本题满分14分) 如图，在直角梯形ABCD 中，∠BAD =90 ，AD //BC ，

31

AB =2, AD =, BC =，椭圆以A 、B 为焦点且经过点D ．

22

（Ⅰ）建立适当的直角坐标系，求椭圆的方程；

1

（Ⅱ）若点E 满足EC =AB , 问是否存在直线l 与椭圆交于M 、N 两点，且

2

ME =NE ？若存在，求出直线 l 与AB 夹角θ的正切值的取值范围；若不

存在，请说明理由．

A

C

D

B

参考答案

一、选择题

DCDBB DADDA

二、填空题

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三、解答题

15. 解：（Ⅰ）在∆ABC 中，b 2+c 2-a 2=2bc cos A 且 b 2+c 2=a 2+bc

∴cos A =

π1

，A =

32

2

2

2

…………6分

a 2b 2c 2

（Ⅱ）由正弦定理，又sin A +sin B =sin C ，故2+2=2…………8分

4R 4R 4R

即：a 2+b 2=c 2 故∆ABC 是以∠C 为直角的直角三角形……………10分

6

…………………………12分

3

又∵A =π ， ∴B =

π

16. 解：（Ⅰ）当a =-3时，f (x ) =-3x 3+3x 2-x +1 分

∵f /(x ) =-9x 2+6x -1

……………1

………………2分

……………3

=-(3x -1) 2≤0

分

∴f (x ) 在R 上是减函数

（Ⅱ）∵∀x ∈R 不等式f '(x ) ≤4x 恒成立

…………4分

即∀x ∈R 不等式3ax 2+6x -1≤4x 恒成立 ∴∀x ∈R 不等式3ax 2+2x -1≤0恒成立 当a =0时，∀x ∈R 2x -1≤0不恒成立 分

…………………6分

……………7

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当a

……………8分

13

…………………10分

当a >0时，∀x ∈R 不等式3ax 2+2x -1≤0不恒成立… … …… 11分

-] 综上所述，a 的取值范围是(-∞，

13

… … … …12分

17. 证明：（Ⅰ）连结BD 1，在∆DD 1B 中，E 、F 分别为D 1D ，DB 的中点，则

⎫⎪

D 1B ⊂平面ABC 1D 1⎬⇒EF //平面ABC 1D 1 EF ⊄平面ABC 1D 1⎪⎭

（Ⅱ）

A 1

EF //D 1B

D 1

……………4分

C 1

B 1

⎫

⎪B 1C ⊥BC 1⎪⎬⇒

AB , B 1C ⊂平面ABC 1D 1⎪

⎪AB BC 1=B ⎭

B 1C ⊥平面ABC 1D 1⎫⎬⇒

BD 1⊂平面ABC 1D 1⎭B 1C ⊥BD 1⎫

⎬⇒EF ⊥B 1C

EF //BD 1⎭

（Ⅲ） CF ⊥平面BDD 1B 1

A

B 1C ⊥AB

E

F

C

…………9分

∴CF ⊥平面EFB 1 且

CF =BF =

EF =

1

BD 1=B 1F ===10分

2

B 1E ===3

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∴EF 2+B 1F 2=B 1E 2 即∠EFB 1=90

…………………12分

111

∴V B 1-EFC =V C -B 1EF =⋅S ∆B 1EF ⋅CF =⨯⋅EF ⋅B 1F ⋅CF

332

=⨯

18. 解：（Ⅰ）设该厂应隔x (x ∈N +) 天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y 1…1

分

∵饲料的保管与其它费用每天比前一天少200×0.03=6（元）， ∴x 天饲料的保管与其它费用共是

11

=1 32

………………14分

6(x -1) +6(x -2) + +6=3x 2-3x (元)

从而有y 1=

………………4分

…………5分

1

(3x 2-3x +300) +200⨯1.8 x

300

+3x +357≥417 x

=

7分

当且仅当

………………

300

=3x ，即x =10时，y 1有最小值………………8分 x

即每隔10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小.

（Ⅱ）若厂家利用此优惠条件，则至少25天购买一次饲料，设该厂利用此优惠条件，

每隔x 天(x ≥25) 购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y 2，则

y 2=

1

(3x 2-3x +300) +200⨯1.8⨯0.85 x

=

10分

300

+3x +303(x ≥25) x

……………

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∵y 2'=-

300

+3 x 2

'

∴当x ≥25时，y 2>0，即函数y 2在[25，+∞)上是增函数…………12分

∴当x =25时，y 2取得最小值为390，而390

19. 解：（Ⅰ）第六行的第一个数为31

……………2分

……………14分

……………13分

（Ⅱ）∵第n 行的最后一个数是n 2+n -1，第n 行共有n 个数，且这些数构成一

个等差数列，设第n 行的第一个数是a n 1 分

∴n 2+n -1=a n 1+2(n -1)

……………7分

……………5

∴a n 1=n 2-n +1

…………9分

∴第20行的第一个数为381 10分

……………

（Ⅲ）第20行构成首项为381，公差为2的等差数列，且有20个数

设第20行的所有数的和为S 20 则S 20=381⨯20+

20. 解：（Ⅰ）如图，以AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标

系

………………12分 ……………14分

20(20-1)

⨯2=8000 2

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则A (-1，0) ，B (1，0) ，C (1) ，D (-1)

………2分

1

232

x 2y 2

设椭圆方程为2+2=1(a >b >0)

a b

32⎧

() 2

⎪⎪(-1) +=1则⎨2

a b 2⎪2

2

⎪⎩a -b =1

2

⎧⎪a =4解得⎨2………………4分

⎪⎩b =3

x 2y 2

+=1 ∴所求椭圆方程为43

…………………5分

1 1

（Ⅱ）由EC =AB 得点E 的坐标为(0)

22

显然直线 l 与x 轴平行时满足题意，即θ=0

…………6分

直线 l 与x 轴垂直时不满足题意 不妨设直线 l :y =kx +m (k ≠0)

……………7分

⎧y =kx +m ⎪

由⎨x 2y 2 得 (3+4k 2) x 2+8kmx +4m 2-12=0………9分

=1⎪+3⎩4

由 ∆=64k 2m 2-4(3+4k 2)(4m -12) >0 得 4k 2+3>m 2………10分 设M (x 1，y 0) y 1) ，N (x 2，y 2) , MN 的中点为F (x 0，则x 0=

x 1+x 24km 3m

=-y =kx +m =， 0022

23+4k 3+4k

………11分

∵ME =NE ∴MN ⊥EF

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∴

y 0-

3m 11

-

=-1 即 2=-1

x 0k k -23+4k

3+4k 2

解得：m =-

2

………………12分

⎛3+4k 2⎫112

- - 得 且 k ≠0…………13分 ⎪

222⎭⎝

故直线 l 与AB 夹角θ的正切值的取值范围是[0)

2

1

2

……………14分