半导体物理第三章2
§3.3 非本征半导体的载流子密度
一、杂质能级上的电子和空穴
1、 电子和空穴占据杂质能级的几率
杂质或缺陷能级上的电子和空穴虽然不能直接参与导电，但电子和空穴在杂质或缺陷能级上的分布会直接影响导带和价带中的载流子密度。因此，为了考察半导体中杂质的电离情况，也需要使用分布函数来表示电子和空穴占据这些能级的几率。但是，禁带中的杂质能级与导带和价带中的本征能级有所不同。本征能级代表的是相互独立的状态，即当一个状态被电子占据之后，另一个状态的存在不受到影响。杂质能级则不然。虽然从道理上说一条能级能容纳自旋方向相反的两个电子，但杂质能级最多只能容纳一个电子。杂质能级实际是一个二度简并的能级。也就是说，当杂质能级还未被占据的时候，电子可以按正自旋也可以按反自旋的方式去占据它，但一旦被占据，就不可能让第二个电子再去占据它。所以费米分布函数不能用来表示电子占据杂质能级的几率。
参考书章末的补充材料用量子统计力学的方法证明：电子占据一个二度简并施主能级的几率是
f D (E ) =
1
E D -E F 1
1+) 2kT 1
F A 1+) 2kT
空穴占据一个二度简并受主能级的几率是
f A (E ) =
2、 杂质的电离度
利用上面的几率函数，可以求出
(1) 仍保留在施主能级上的电子密度n D ，也即没有电离的施主浓度
n D =N D f D (E ) =
(2) 电离施主的浓度
+
n D =N D -n D =
N D
E D -E F 1
1+) 2kT
N D
E D -E F
1+2exp(-)
kT N A
E -E 1A
1+F ) 2kT
(3) 仍保留在受主能级上的空穴密度p A ，也即没有电离的受主浓度
p A =N A f A (E ) =
(4) 电离受主浓度
-
p A =N A -p A =
N A
E F -E A
1+2exp(-)
kT
（2）、（4）两个公式实际反映了杂质的电离度。可以看出，半导体中杂质的电离度跟杂质能级与费米能级之间的相对位置有关：
当E F 远在E D 之上时，施主杂质基本上没有电离；
当E D 与E F 重合时，n D = 2ND /3，而n +D ＝N D /3，即施主杂质只有1/3电离，还有2/3没有电离；
当E D -E F >>k 0T ，即费米能级远在E D 之下时，施主杂质几乎全部电离。 同理，当E F 远在E A 之下时，受主杂质基本上没有电离； 当E F 等于E A 时，受主杂质有1/3电离，还有2/3没有电离； 当E F 远在E A 之上时，受主杂质几乎全部电离。 3、决定杂质的电离度的主要因素
杂质能级与费米能级之间的相对位置决定于杂质的电离能和费米能级的位置，而后者决定于温度和掺杂浓度。
对确定的杂质和温度而言，掺杂浓度越高，费米能级离禁带中部越远，因而杂质的电离度越小； 对确定的掺杂浓度和温度而言，浅能级杂质比深能级杂质更容易使条件E D -E F >>k 0T 或E F –E A >>k 0T 得到满足，因而电离度较高；
对确定的杂质及其浓度，温度越高，费米能级离禁带中心越近，因而杂质的电离度越高。
二、n 型半导体在不同温区的载流子密度
以只含一种施主杂质的n 型半导体为例，讨论费米能级与载流子密度随温度的变化。 N 型半导体的电中性条件为n 0=n D +＋p 0，等式左边是单位体积中的负电荷数，实际上为导带中的电子浓度；等式右边是单位体积中的正电荷数，实际上是价带中的空穴浓度与电离施主浓度之和，代入各量的计算公式，得
N C exp(-
E C -E F
) =kT
E -E V N D
+N V exp(-F )
D F kT
1+2exp(-)
kT
上式中除E F 之外，其余各量均为已知，因而在一定温度下可以将E F 决定出来。但是从上式求E F 的一般解析式还是困难的，下面分别分析不同温度范围的情况。 1、低温弱电离区（杂质电离程度较低的低温区）p 0＝0，则n 0＝n D +
（1） 费米能级的位置及其随温度的变化
当温度很低时，大部分施主杂质能级仍为电子所占据，只有很少量施主杂质发生电离，给导带提供少量电子，这种情况即弱电离。这时从价带依靠本征激发跃迁至导带的电子更少，可忽略不计。换言之，在导带电子全部由电离施主提供的低温弱电离区，因p 0＝0，所以n 0＝n +D ，即
N C exp(-
E C -E F
) =kT
N D
D F
1+2exp(-)
kT
因n +D 远比N D 小，所以exp[-(E D -E F )/ kT]>>l，上式简化为
N C exp(-
E C -E F E -E F 1
) =N D exp(D ) kT 2kT
取对数后化简得低温弱电离区费米能级的表达式
E F =
E C +E D kT N
+D ) 222N C
因为N c 正比于T 3/2，在低温极限T →0K 时，lim (T lnT) = 0，所以，在低温极限T →0K 时，费米能级位于导带底和施主能级间的中线处，不管N D 多大。
为了了解费米能级随温度变化的规律，按上式将费米能级对温度求微商，得 dE F k N 3
=D ) -] dT 22N C 2
令dE F /dT ＝0，知E F 在
N C =
N D -3/2
e =0. 11N D 2
取极大值。从纯数学形式上看，此结果表明，费米能级在低温区首先从导带底和施主能级之间的中点以很高的变化率上升，至极大值后下降。但是，以下计算表明：在一般掺杂浓度下，费米能级随温度升高而上升的情况基本不存在。计算表明，对硅，1K 时N C 已达6⨯1015cm -3左右。这就是说，当施主浓度低于5⨯1016cm -3时，n 型硅中费米能级在绝对温度1K 以下就达到其极大值，然后就随着温度的升高而向杂质能级方向下降。即便是更高的杂质含量，例如2.5⨯1017cm -3，其E F 达到极大值时的温度也只有3K 。
因此，弱电离温度区的E F 事实上是基本随着温度的上升而下降。 （2）电子密度及其随温度的变化
将上面求出的E F 表达式代入热平衡电子密度表达式，得到低温弱电离区的电子密度为
⎛N N ⎫n 0= D C ⎪
⎝2⎭
1/2
⎛E -E D ⎫⎛N D N C ⎫exp -C ⎪= ⎪
2kT ⎭⎝2⎭⎝
1/2
⎛∆E ⎫
exp -D ⎪
⎝2kT ⎭
式中，∆E D =E C -E D 为施主杂质电离能。由于N C 正比于T 3/2，所以在温度很低时，载流子浓度n 0正比于T 3/4 exp(-∆E D / k0T ) ，随着温度升高，n 0呈指数上升。
对式(3-46)取对数得
1⎛N N ln n 0=ln D C
2⎝2
在ln( n 0T
－4/3
⎫∆E D
⎪-
⎭2kT
) ~1/T图中，上述方程为一直线，其斜率为∆E D /(2k ) ，因此可以通过实验测定的n 0~T
关系确定杂质电离能。
2. 中度电离区（杂质中度电离的温区）
温度继续升高，当2N C ＞N D 后，式（3-44）中第二项为负值，这时E F 下降至(E C +E D )/2以下，弱电离情况下近似条件exp[-(E D -E F )/ kT]>>l不再成立。导带电子密度
N C exp(-
E C -E F
) =kT
N D
D F
1+2exp(-)
kT
当温度升高到使E F =E D 时，exp(E F -E D / k0T )=1，施主杂质有1/3电离，即n 0=N D /3，相应的温度
T =
3N (T ) -1∆E D
[lnC ] k N D
其值决定于杂质电离能∆E D 和掺杂浓度N D 。 3. 强电离区（杂质高度电离的温区）n D +≈N D
1) 费米能级位置及其变化规律
当温度升高至大部分杂质都电离时称为强电离。这时n +D ≈N D ，于是应有exp(EF -E D /k 0T)>k 0T 。因而费米能级E F 位于E D 之下。在强电离时，式(3-42)简化为
N C exp(-
E C -E F
) =N D kT
解得费米能级E F 为
E F =E C -kT N C
) N D
这时，费米能级的位置由温度及施主杂质浓度决定。由于在一般掺杂浓度下N C ＞>N D
，故E F 一般距导带底若干kT 。
在一定的温度下，N D 越大，E F 就越向导带方向靠近；
在N D 一定时，温度越高，E F 就越向本征费米能级E i 方向靠近。如图3-10所示。
在施主杂质全部电离时，电子浓度
这时，载流子浓度与温度无关。载流子浓度n 0保持等于杂质浓度的这一温度范围称为饱和区。
2） 强电离条件
设杂质90％以上电离为强电离，则为实现强电离，杂质电离能、浓度以及温度之间须满足一定条件。施主杂质强电离，意味着(ED -E F )>>k T ，则未电离施主密度可表示为
n D ≈2N D exp(-
将强电离时的费米能级表达式(3-48)代入上式，得
n D ≈2N D
令
则
(3-53)
因N D 是施主杂质浓度，n D 是未电离的施主浓度，因此，D －应是未电离施主占施主杂质数的百分比。强电离时， D －约为10％。由式(3-52)可知，D －与温度、杂质浓度和杂质电离能都有关系。
（1）当温度和杂质（电离能）一定时，强电离要求杂质浓度不得超过一定限度（上限）。 杂质浓度越高，则达到全部电离的温度就越高。通常所说的室温下杂质全部电离，实际上忽略了杂质浓度的限制。例如，对掺磷n-Si ，室温下N c ＝2.8×1019cm -3，∆ ED ＝0.044eV ，k T =0.026 eV。代入式(3-52)得室温下磷杂质强电离的浓度上限N D 为
(3-52)
E D -E F
) kT
(3-50)
⎛N D ⎫∆E D
⎪) (3-51) ⎪N kT ⎝C ⎭
在室温时，硅的本征载流子浓度为1.5×1010cm -3，当杂质浓度比它至少大1个数量级时，才保持以杂质电离为主。所以, 对于掺磷的硅，在室温下，磷浓度在（1010~3×1017）cm -3范围内，可认为硅是以杂质电离为主，而且处于杂质全部电离的饱和区。
(2) 当杂质（电离能）及其浓度一定时，强电离设定了一个温度下限
由N C 表达式代入式(3-52)即可以确定杂质全部电离时的温度。化简取对数后得
利用上述关系式，对固定的∆E D 和N D ，可以决定杂质强电离所必须达到的温度下限。
(3) 电离能对全电离温度和全电离掺杂浓度限制的影响
以上讨论针对的是确定的杂质电离能。在温度和杂质浓度一定的情况下，利用上式可以决定杂质高度电离(D－
用作业加深这方面的认识：补充题：已知碳化硅中起施主作用的氮和起受主作用的铝的电离能分别为0.1eV 和0.2eV ，求掺杂浓度均为1016cm -3时这两种杂质在室温下的电离度。已知6H-SiC 的N C =8.9⨯1019cm -3，N V =2.5⨯1019cm -3。 4、向本征状态过渡的温区
1）费米能级的位置及其随温度的变化
在杂质基本电离之后，随着温度的继续升高，本征激发成为提高导带电子密度的主要机构。这时的电中性条件是
为了处理方便起见，利用n 0和p 0跟 n i 和E i 的关系
n 0=n i exp(
E F -E i
) kT E -E F
p 0=n i exp(i )
kT
(3-56) (3-57)
代入电中性条件，得
N D =n i [exp(
解之，得
E F -E i E -E i E -E i
) -exp(F )]=2n i sh (F ) kT kT kT
E F =E i +kTarsh (
N D
) 2n i
(3-58)
因为N D 是常数，而n i 随着温度的升高指数上升，即当n i = ND 之后，N D /n i 随着温度的升高而迅速减小，也即E F 向E i 迅速靠拢，在n i >>ND 时进入本征状态。
2）过渡状态下的载流子密度
过渡区的载流子浓度n 0及p 0可通过将n 0p 0=n i 2代入上列电中性条件得出的一元二次方程
2n 0-N D n 0-n i 2=0 (3-59)
解得
4n i 21/2N D n 0=[(1+2) +1] (3-60)
2N D
n 0的另—根无用。代入p 0 = n0－N D 得
4n i 21/2N D
p 0=n 0-N D =[(1+2) -1] (3-61)
2N D
以上二式就是过渡温度区的载流子密度公式。
当n i
4n i 21/214n i 2
(1+2) =1++.... 2
N D 2N D
略去更高次项，代入式(3-60)，得
n i 2
n 0=N D +N D
而
这时，电子密度仍比空穴密度大得多。
(3-62)
(3-63)
当n i >> ND ，即过渡后期，因4 n2 i ／N 2D >>1, 可将小括弧中1略去，即得
n 0=n i +
11N D ；p 0=n i -N D 22
此结果表明，在过渡后期，n i >>N D ，n 0和p 0已渐趋相等。 5、高温本征激发区
随着温度的继续上升，费米能级渐趋与E i 重合，终至n 0＝p 0＝n i ，杂质半导体进入本征激发状态。显然，掺杂半导体进入本征激发状态的温度与杂质浓度有关。掺杂浓度越高，达到本征激发起主要作用的温度也越高。例如，因为室温下硅的本征载流子浓度为1.5×1010 cm-3，所以硅在施主浓度N D ＜1010 cm-3时，在室温下就是本征激发起主要作用；而对N D =1016 cm-3的硅，本征激发起主要作用的温度高达800K 以上。
6、小结—n 型半导体电子密度随温度变化的全过程
右图示意地画出非本征半导体中载流子密度在上述整个温度范围内随温度变化的曲线。注意杂质电离温区和本征激发温区指数变化曲线的斜率不同；不同杂质浓度对应的饱和区温度范围不同。图中还画出了少数载流子密度从忽略不计到进入本征状态的过程。由n 0 p 0= n i 2 关系不难看出，在多数载流子密度基本不随温度升高而升高的饱和温区，少数载流子的密度随着本征载流子密度的升高而迅速升高，最终在半导体进入本征状态时与多数载流子密度相等而无多数少数之分。
三、p 型半导体的载流子浓度 （略）