初等数论练习题

初等数论练习题

信阳职业技术学院

2010年12月

一、填空题

1、d(2420)=___________； ϕ(2420)=___________。 2、设a,n 是大于1的整数，若a n -1是质数，则a=___________。 3、模9的绝对最小完全剩余系是___________。 4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是__________。 5、不定方程18x-23y=100的通解是___________。 6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_______。 7、18100被172除的余数是___________。 8、

⎛65⎫

⎪ =___________。 ⎝103⎭

9、若p 是素数，则同余方程x p -1≡1(mod p ) 的解数为 二、计算题

1、解同余方程：3x 2+11x -20≡0 (mod 105)。 2、判断同余方程x 2≡42(mod 107)是否有解？ 3、求（127156+34）28除以111的最小非负余数。 三、证明题

1、已知p 是质数，（a,p ）=1，证明：

（1）当a 为奇数时，a p-1+(p-1)≡0 (mod p)； （2）当a 为偶数时，a p-1-(p-1)≡0 (mod p)。

2、设a 为正奇数，n 为正整数，试证a

3、设p 是一个素数，且1≢k ≢p-1。证明：C k p -1 ≡ （-1 ）(mod p ) 。

k

a

a

2n

≡1(mod 2n+2) 。

4、设p 是不等于3和7的奇质数，证明：p 6≡1(mod 84)。

一、填空题

1、d(1000)=__________；σ(1000)=__________。 2、2010! 的标准分解式中，质数11的次数是__________。

3、费尔马(Fermat)数是指Fn=22+1,这种数中最小的合数Fn 中的n=_________。 4、同余方程13x ≡5(mod 31)的解是__________。 5、分母不大于m 的既约真分数的个数为_________。 6、设7∣(80n -1), 则最小的正整数n=__________。

7、使41x+15y=C无非负整数解的最大正整数C=__________。 8、⎛

46⎫

⎪=__________。 ⎝101⎭

n

9、若p 是质数，n ∣p - 1，则同余方程x n ≡ 1 (mod p ) 的解数为 。 二、计算题

2003

1、试求2002

2004

被19除所得的余数。

2、解同余方程3x 14+4x 10+6x -18≡0 (mod 5)。

3、已知a=5,m=21,求使a x ≡ 1 (mod m)成立的最小自然数x 。 三、证明题

1、试证13|(54m +46n +2000)。(提示：可取模13进行计算性证明) 。

2、证明Wilson 定理的逆定理：若n > 1，并且(n - 1)! ≡ -1 (mod n ) ，则n 是素数。

3、证明：设p s 表示全部由1组成的s 位十进制数，若p s 是素数，则s 也是一个素数。

4、证明：若2p + 1是奇素数，则 (p !) 2 + (-1) p ≡ 0 (mod 2p + 1)。

5、设p 是大于5的质数，证明：p 4≡1(mod 240)。

一、单项选择题

1、若n ＞1，ϕ(n )=n-1是n 为质数的（ ）条件。 A.必要但非充分条件 B.充分但非必要条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件

2、设n 是正整数，以下各组a ，b 使为既约分数的一组数是（ ）。 A.a=n+1,b=2n-1 B.a=2n-1,b=5n+2 C.a=n+1,b=3n+1

D.a=3n+1,b=5n+2

b

a

3、使方程6x+5y=C无非负整数解的最大整数C 是（ ）。 A.19

B.24 C.25

D.30

4、不是同余方程28x ≡21(mod 35)的解为（ ）。

A. x ≡2(mod 35) B. x≡7(mod 35) C. x≡17(mod 35) D. x≡29(mod 35) 5、设a 是整数，(1)a≡0(mod9) (2)a≡2010(mod9) (3)a的十进位表示的各位数码字之和可被9整除

(4)划去a 的十进位表示中所有的数码字9，所得的新数被9整除 以上各条件中，成为9|a的充要条件的共有（ ）。 A.1个 二、填空题

1、σ(2010)=__________；ϕ(2010)=__________。

202、数C 100的标准分解式中，质因数7的指数是__________。

B.2个 C.3个 D.4个

3、每个数都有一个最小质因数. 所有不大于10000的合数的最小质因数中，最大者是___。 4、同余方程24x ≡6(mod34)的解是__________。

5、整数n>1，且(n-1)!+1≡0(mod n),则n 为_______（填：素数或合数）。 6、3103被11除所得余数是__________。 7、

⎛60⎫

⎪=__________。 97⎝⎭

三、计算题

1、判定(ⅰ) 2x 3 - x 2 + 3x - 1 ≡ 0 (mod 5)是否有三个解；

(ⅱ) x 6 + 2x 5 - 4x 2 + 3 ≡ 0 (mod 5)是否有六个解？

32n -1

2、设n 是正整数，求C 1 的最大公约数。 2n , C 2n , , C 2n

3、已知a=18,m=77,求使a x ≡ 1 (mod m)成立的最小自然数x 。

四、证明题

1、若质数p ≣5, 且2p+1是质数，证明：4p+1必是合数。

2、设p 、q 是两个大于3的质数，证明：p 2≡q 2(mod 24)。

3、若x, y ∈R , （1）证明：[xy]≣[x][y]； （2）试讨论{xy}与{x}{y}的大小关系。 注：我们知道，[x+y]≣[x]+[y]，{x+y}≢{x}+{y}。此题把加法换成乘法又如何呢？

4、证明：存在一个有理数 [k

c

，其中d

73

] 。 100

+

c d

]=[k

（提示：由（73,100）=1，利用裴蜀恒等式来证明）

初等数论练习题四

一、单项选择题 1、若F n =2

2n

+1是合数，则最小的n 是( ) 。

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

2、记号b a ‖a 表示b a ｜a, 但b a+1 /| a. 以下各式中错误的一个是( ) 。 A. 218‖20! B. 105‖50! C. 119‖100! D. 1316‖200! 3、对于任意整数n ，最大公因数(2n+1,6n-1)的所有可能值是( ) 。 A. 1 B. 4 C. 1或2 D. 1，2或4 4、设a 是整数，下面同余式有可能成立的是( ) 。

A. a2≡2 (mod 4) B. a2≡5 (mod 7) C. a2≡5 (mod 11) D. a2≡6 (mod 13) 5、如果a ≡b(mod m)，c 是任意整数，则下列错误的是（ ） A ．ac ≡bc(mod mc) 二、填空题

1、d(10010)=_________；φ(10010)=_________。

2、对于任意一个自然数n ，为使自N 起的n 个相继自然数都是合数，可取N=_________。 3、为使3n-1与5n+7的最大公因数达到最大的可能值，则整数n 应满足条件________。 4、在5的倍数中，选择尽可能小的正整数来构成模12的一个简化系，则这组数是______。 5、同余方程26x+1≡33 (mod 74)的解是_________。 6、不定方程5x+9y=86的正整数解是_________。 7、

⎛54⎫

⎪=_________。 ⎝89⎭

B ．m|a-b C ．(a,m)=(b,m) D ．a=b+mt,t∈Z

三、计算题

1、设n 的十进制表示是13xy 45z ，若792∣n ，求x ，y ，z 。

2、求3406的末二位数。

3、求(214928+40)35被73除所得余数。

四、证明题

1、设a 1, a2, , a m 是模m 的完全剩余系，证明： （1）当m 为奇数时，a 1+ a2+ + a m ≡0（mod m）； （2）当m 为偶数时，a 1+ a2+ + a m ≡

ϕ（m ）

m

（mod m）。 2

2、证明：若m ＞2，a 1, a2, , a ϕ(m)是模m 的任一简化剩余系，则

∑a

i =1

i

≡0(modm ).

3、设m > 0是偶数，{a 1, a2, , a m }与{b 1, b 2, , b m }都是模m 的完全剩余系，证明： {a 1 + b 1, a 2 + b 2, , a m + b m }不是模m 的完全剩余系。

4、证明：（1）2730∣x 13-x ；

（2）24∣x(x+2)(25x-1) ； （3）504∣x 9-x 3；

（4）设质数p ＞3，证明：6p ∣x p -x 。

2

初等数论练习题五

一、单项选择题

1、设x 、y 分别通过模m 、n 的完全剩余系，若（ ）通过模mn 的完全剩余系。 A.m 、n 都是质数，则my + nx B. m≠n ，则my + nx C. （m ，n ）=1，则my + nx D. （m ，n ）=1，则mx + ny 2、1×3×5×…×2003×2005的标准分解式中11的幂指数是( ) 。 A.100 B.101 C.99 D.102 3、n 为正整数，若2n -1为质数，则n 是( ) 。

A. 质数 B. 合数 C.3 D.2k (k为正整数) 4、从100到500的自然数中，能被11整除的数的个数是( ) 。 A.33 B.34 C.35 D.36

5、模100的最小非负简化剩余系中元素的个数是( ) 。

A.100 B.10 C.40 D.4 二、填空题

1、同余方程ax +b≡0(modm ) 有解的充分必要条件是______。 2、高斯称反转定律是数论的酵母，反转定律是指____________。 3、20112011被3除所得的余数为______。 4、设n 是大于2的整数，则(-1)ϕ(n)=______。 5、单位圆上的有理点的坐标是____________。

6、若3258×a 恰好是一个正整数的平方，则a 的最小值为______。

⎛58⎫

7、 ⎪=_________

⎝97⎭

三、计算题

1、求32008×72009×132010的个位数字。

2、求满足ϕ(mn)=ϕ(m )+ϕ(n ) 的互质的正整数m 和n 的值。

3、甲物每斤5元，乙物每斤3元，丙物每三斤1元，现在用100元买这三样东西共100斤，问各买几斤?

四、证明题

1、已知2011是质数，则有2011|99⋅⋅ ⋅9。

2010个

2、设p 是4n+1型的质数，证明若a 是p 的平方剩余，则p-a 也是p 的平方剩余.

3、已知p,q 是两个不同的质数，且a p-1≡1 (mod q), aq-1≡1 (mod p), 证明：a pq ≡a (mod pq)。

4、证明：若m,n 都是正整数，则ϕ(mn)=（m,n ）ϕ([m,n ])。

初等数论练习题六

一、填空题

1、为了验明2011是质数，只需逐个验算质数2，3，5，…p 都不能整除2011，此时，质数p 至少是__________。

2、最大公因数(4n+3,5n+2)的可能值是__________。

3、设3α∣40! ，而3α+1/|40! ，即3α‖40! ，则α=__________。

4、形如3n+1的自然数中，构成模8的一个完全剩余系的最小的那些数是__________。 5、不定方程x 2+y2=z2,2|x, (x,y)=1, x,y,z>0的整数解是且仅是_________ 。 6、21x ≡9 (mod 43)的解是__________。 7、

⎛73⎫

⎪ =__________。 ⎝199⎭

二、计算题 1、将

17

写成三个既约分数之和，它们的分母分别是3，5和7。 105

2、若3是质数p 的平方剩余，问p 是什么形式的质数？ 3、判断不定方程x 2+23y =17是否有解？ 三、证明题

1、试证对任何实数x, 恒有〔x 〕+〔x+〕=〔2x 〕。

2、证明：（1）当n 为奇数时，3∣（2+1）；

n

1

2

|（2+1）（2）当n 为偶数时，3/。

3、证明：（1）当3∣n （n 为正整数）时，7∣（2-1）；

n

n

|（2+1） （2）无论n 为任何正整数，7/。

4、设m ＞0，n ＞0，且m 为奇数，证明：（2-1，2+1）=1。

m

n

n

初等数论练习题七

一、单项选择题

1、设a 和b 是正整数，则(

A ．1 [a , b ][a , b ], ) =（ ）。 a b B ．a C ．b D ．(a,b)

2、176至545的正整数中，13的倍数的个数是（ ）。

A ．27 B ．28 C ．29 D ．30

3、200! 中末尾相继的0的个数是（ ）。

A ．49 B ．50 C ．51 D ．52

4、从以下满足规定要求的整数中，能选取出模20的简化剩余系的是（ ）。

A ．2的倍数 B ．3的倍数 C ．4的倍数 D ．5的倍数

5、设n 是正整数，下列选项为既约分数的是（ ）。

A ．21n +4n +12n -1n +1 B ． C ． D ． 14n +32n -15n +23n +1

二、填空题

1、314162被163除的余数是___________。

2、同余方程3x ≡5(mod13)的解是___________。

3、(365) =________。 1847

4、［-π］＝___________。

5、为使n-1与3n 的最大公因数达到最大的可能值，则整数n 应满足条件___________。

6、如果一个正整数具有21个正因数，问这个正整数最小是___________。

7、同余方程x 3+x2-x-1≡0(mod 3)的解是___________。

三、计算题

1、求不定方程x + 2y + 3z = 41的所有正整数解。

2、有一队士兵，若三人一组，则余1人；若五人一组，则缺2人；若十一人一组，则余3人。已知这队士兵不超过170人，问这队士兵有几人？

23、判断同余方程x ≡286(mod443) 是否有解?

四、证明题

1、设(a , m ) = 1，d 0是使a d ≡ 1 (mod m ) 成立的最小正整数，则

(ⅰ) d 0∣ϕ(m ) ；

j (ⅱ) 对于任意的i ，j ，0 ≤ i , j ≤ d 0 - 1，i ≠ j ，有a i ≡/a (mod m ) 。

2、证明：设a ，b ，c ，m 是正整数，m > 1，(b , m ) = 1，并且

b a ≡ 1 (mod m ) ，b c ≡ 1 (mod m ) ，

记d = (a , c ) ，则b d ≡ 1 (mod m ) 。

3、设p 是素数，p ∣b n - 1，n ∈N ，则下面的两个结论中至少有一个成立：

(ⅰ) p ∣b d - 1对于n 的某个因数d

(ⅱ) p ≡ 1 ( mod n )。

|n ，p > 2，则(ⅱ) 中的mod n 可以改为mod 2n 。 若2/

初等数论练习题八

一、单项选择题

1、若n > 1，则(n - 1)! ≡ -1 (mod n ) 是n 为素数的（ ）。

A.必要但非充分条件 B.充分但非必要条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件

2、小于545的正整数中，15的倍数的个数是（ ）。

A.34 B.35 C.36 D.37

3、500! 的标准分解式中7的幂指数是（ ）。

A.79 B.80 C.81 D.82

4、以下各组数中，成为模10的简化剩余系的是（ ）。

A.1,9, －3, －1 B.1, －1,7,9 C.5,7,11,13 D. －1,1, －3,3

5、设n 是正整数，下列选项为既约分数的是（ ）。 A. 3n +1n +12n -1n +1 B. C. D. 5n +25n +23n +12n -1

二、填空题

1、σ（120）=______________。

2、7355的个位数字是______________。

3、同余方程3x ≡5(mod14)的解是______________。

4、（17）=______________。 23

5、［-2］＝______________。

6、如果一个正整数具有6个正因数，问这个正整数最小是______________。

7、同余方程x 3+x2-x-1≡0(mod 5)的解是______________。

三、计算题

1、已知563是素数，判定方程x 2 ≡ 429 (mod 563)是否有解。

2、求出模23的所有的二次剩余和二次非剩余。

3、试求出所有正整数n ，使得1n ＋2n ＋3n ＋4n 能被5整除。

四、证明题

1、证明：若质数p >2，则2P -1的质因数一定是2pk +1形。

2、设（m,n ）=1,证明：m

a p +b p

) =1或p 。 3、设（a,b ）=1,a+b≠0,p 为一个奇质数，证明：(a +b , a +b

ϕ(n)+n ϕ(m) ≡1 (mod mn)。

初等数论练习题九

一、单项选择题

1、以下Legendre 符号等于-1的30被-1是( ) 。 3⎫A. ⎛ ⎪ ⎝11⎭4⎫⎛5⎫⎛6⎫B. ⎛ ⎪ C. ⎪ D. ⎪ ⎝11⎭⎝11⎭⎝11⎭

2、100至500的正整数中，能被17整除的个数是( ) 。

A. 23 B. 24 C. 25 D. 26

3、设 3α|500!，但3α+1/，则α=( ) 。 |500！

A. 245 B.246 C.247 D. 248

4、以下数组中，成为模7的完全剩余系的是( ) 。

A. －14，－4，0，5，15，18，19

C. －4，－2，8，13，32，35，135 B. 7，10，14，19，25，32，40 D. －3，3，－4，4，－5，5，0

5、设n 是正整数，则以下各式中一定成立的是( ) 。

A.(n +1,3n ＋1)=1 B. （2n －1,2n ＋1）=1 C. （2n , n ＋1）=1 D. （2n ＋1, n －1）=1

二、填空题

1、25736被50除的余数是________________。

2、同余方程3x ≡5(mod16) 的解是________________。

3、不定方程9x －12y =15的通解是________________。

4、 ⎛323⎫⎪ =________________。 ⎝41⎭

5、实数的小数部分记为{x } ，则 {－}＝________________。

6、为使3n 与4n ＋1 的最大公因数达到最大的可能值，则整数n 应满足条件________。

7、如果一个正整数具有35个正因数，问这个正整数最小是________________。

三、计算题

1、解不定方程9x ＋24y －5z =1000。

2、设A = {x 1, x 2, , x m }是模m 的一个完全系，以{x }表示x 的小数部分，若(a , m ) = 1，求

ax +b ∑m 。 i

i =1m 54

3、设整数n ≥ 2，求：

1≤i ≤n (i , n ) =1∑i 。即在数列1, 2, , n中，与n 互素的整数之和。

ϕ(m )

i =14、设m > 1，(a , m ) = 1，x 1, x 2, ⋯, x ϕ(m ) 是模m 的简化剩余系，求：∑ax i 。 m

其中{x }表示x 的小数部分。

四、证明题

1、证明：设a 是有理数，b 是使ba 为整数的最小正整数，若c 和ca 都是整数，则 b ∣c 。(提示：利用带余数除法解决。)

2、设p 是素数，证明：

(ⅰ) 对于一切整数x ，x p - 1 - 1 ≡ (x - 1) (x - 2) (x - p + 1) (mod p ) ；

(ⅱ) (p - 1)! ≡ - 1 (mod p ) 。

⎛a ⎫n |n ，p 是奇质数，p ∣a -1, 则 3、证明：若2/ p ⎪⎪=1。

⎝⎭

m （）=1。 4、证明：若p=4m+1是一质数，则p

5、设p 是奇质数，p ≡ 1 (mod 4)，则：(±(p -12) ! ) ≡ -1 (mod p ) 。 2

初等数论练习题十

一、单项选择题

1、设p 是大于1的整数，如果所有不大于p 的质数都不能整除p ，则p 一定是（ ）。

A. 素数 B. 合数 C. 奇数 D. 偶数

2、两个质数p ，q ，满足p+q=99，则

A.9413 B. 9413 194p q +的值是（ ）。 q p C. 94139413 D. 99111

3、2010！的标准分解式中，7的最高幂指数为（ ）。

A ．331 B ．332 C ．333 D ．334

4、n 为正整数，若2n +1为质数，则n 是（ ）。

A ．质数 B ．合数 C ．1 D ．2k (k为非负整数)

5、当n ＞2时，欧拉函数ϕ(n ) 一定是（ ）。

A ．奇数 B ．偶数 C ．1 D ．2

二、填空题

1、如果p 是质数，a 是整数，则有（a ，p ）=1或者_______。

2、设p 是奇质数,(a,p)=1,则a 是模p 的平方非剩余的充要条件是_______。 3、1000开始到2010结束的所有整数中13的倍数有_______个。

4、2756839-1的末位数是_______。

5、不定方程ax+by=c有解的充要条件是______。

6、写出模12的一个最小非负简化系，要求每项都是7的倍数，此简化系为_______。

7、已知563是质数，则

三、计算题

1、若3是质数p 的平方剩余，问p 是什么形式的质数？

2、求使12347! 被35k 整除的最大的k 值。

四、证明题

1、证明：设p ≥7是一个质数，则存在唯一的一个正整数x ，使得： ⎛2⎫⎪=_______。 563⎝⎭

x ∈{1,2, , p -1}且120(p-6)! +x ≡0(mod p )。

2、已知9901是素数，试证：9901(17

4950+1) 。

3、证明：若p=10n -1是个质数，则p 55n -1-1。（提示：利用勒让德符号解决。）

4、设p=4n+3是质数，证明当q=2p+1也是质数时，梅森数M p =2p -1不是质数。由此证明：23|（2-1），47|（2-1），503|（2

5、证明：设p 是大于5的质数，则(p -1)! +p +1∈Z 。 p (p +1) 1123251-1）。

（利用Wilson 定理解决，只需证明：p(p+1) | (p-1)!+p+1。）