如何利用空间向量准确确定二面角的大小
如何利用空间向量准确确定二面角的大小
摘要:使用空间向量,使立体几何问题代数化,演绎难度降低,解题路子更宽阔,用简单的代数运算取代了复杂的几何证明和纷繁复杂的辅助线,解题思路方向明确。特别是对于解决空间二面角问题,不必为如何解(证)和做辅助线问题而煞费苦心. 但是对于两向量所成的角什么时候就是所求二面角,正确理解和准确掌握两向量所成角与所求二面角之间的大小关系,对求二面角有重要的意义,对解决高考中的二面角问题有着重要的指导作用。
关键词:空间直角坐标系、二面角、法向量、二面角的内部、外部、相等、互补。
向量由于融形、数于一体,具有几何形式和代数形式的“双重身份”,拓展了中学数学问题解决的思维空间.
近几年的高考立体几何知识内容的考察一般以“方便建系”及“常规方法”为原则,使得考生能自由选择解法,即常规方法或向量解法,相比较向量法使将立体几何问题代数化,避免了复杂的几何证明和纷繁复杂的辅助线,化复杂为简单,成为解决立体几何问题的重要工具。题干一般以“关系”证明,空间角、距离、截面面积、体积计算为求解目标。从2007年全国各地19套37份试卷和近几年的高考试题来看,空间二面角成为考察的重点和难点。
但是,用空间向量知识解决立体几何中的二面角问题时我们往往会这样一类棘手的问题,两向量所成角的大小是否就是所求二面角的大小,即两向量所成角与所求二面角相等还是互补。
而利用空间向量求二面角一般有以下两种方法 方法一::如图1所示,在二面角l的棱l上确定两个点A、B,内求出与棱l垂直过A、B分别在平面、的两向量n1、n1、n2n2起点或终点一般选取平面内的某一特殊点),则二面角l的大小等于向量n1、n2的夹角,即 n1n2n1n2
arccos coscos.
|n1
||n2||n1||n2|
图1
n2=,二面角l的大小即为n1、显然用此方法中=n1、n
2所成
角的大小。如:
[例 1] (2007年全国卷II理19文20(2))
如图3,在四棱锥SABCD中,底面ABCD为正方形,侧棱SD⊥底面ABCD,E,F分别为AB,SC的中点. (1)证明EF∥平面SAD; (2)设SD2DC,求二面角AEF
D(1)证明如图略
(2坐标系Dxyz.
0,0),则B(11,,,0)C(01,,,0)S不妨设A(1,
11
E10,F01,在EF上取一点22使得MD⊥EF
1
,ED1,-,0 FE(10,,-1),2图)
设MEFE(R)(,0,)
11
又MDMEED(1,,),由MDFE0,得210得,
22
1111
所以MD又,,,EA0,,0且EAEF0,EA⊥EF,
2222
所以向量MD和EA的夹角等于二面角AEFD的平面角. cosMD,EA
MDEAMDEA
.所以二面角AEFD的大小为3
arccos
. 3
再如2006年高考数学江苏卷第19题第(3)问,等。
此方法避免复杂的辅助线,并能直接准确地确定二面角的平面角的大小。
方法二:利用法向量求二面角的大小:
首先引入 “二面角”定义(新课标苏教版必修2):一般地,一条直线和由这条直线出发两个半平面所组成的图形叫做二面角。
00
0,180二面角的大小范围是。 其次在二面角中给出下面定义:
二面角的内部和外部:由二面角的大小知二面角的大小即把半平面绕棱l旋转到与半平面重合时旋转过的最小角度。此时旋转
内
过的区域称为二面角l的内部,未旋转l
过的区域称为二面角l的外部(如图3)。 外
图3 外 构造二面角l的两个半平面、的
法向量n1、n2,由于向量的可任意自由平移性,
我们可以把两法向量平移至相交,并与二面角的平面角放在同一平面内。设二面角l的大小为,向量n1、n2的夹角为。下面分为三种情况来研究两法向量所成角与二面角的大小关系:
情况一,两法向量都由“外”指向“内” (如图4甲)。 我们把两法向量n1、n2平移至相交于点C,并与二面角的平面角放在同一平面OACB内。则四边形OACB中OACOBC900,AOB, 0
n1,n2ACB,ACBAOB180。 此时1800,coscos
n1n2
。 |n1||n2|情况二,两法向量都由“内”指向“外” 图4甲
(如图4乙)。
同上在四边形OACB中OACOBC900,AOB, n1,n2ACB,ACBAOB1800。
此时也有1800, nn
coscos12。
|n1||n2|
情况三:两法向量一个由“内”指向“外”,一个 由“外”指向“内” (如图4丙、丁)。
而此时在四边形图4丙
OACB中
OACOBC900,AOB,n1,n2,
ACBAOB1800而1800ACB。
图4乙
图4丁
所以此时有,coscos
n1n2
。
|n1||n2|
由上面我们可以得到两法向量n1、n2所成角与二面角l的平面角的大小之间的这样一个规律:“同向”(两法向量都由“外”指向“内”或由“内”指向“外”)互补,“异向”(两法向量一个由“内”指向“外”,一个 由“外”指向“内”)相等。
即同向时二面角l的平面角arccos(面角l的平面角arccos(
n1n2
)。
|n1||n2|
n1n2
),异向时二
|n1||n2|
这就解决了我们利用法向量求二面角的大小时的尴尬。如“显然该二面角为钝角(锐角)”等一些不严密的逻辑推理。如:
[例 2](2007年安徽卷理17(Ⅲ))
如图5,在六面体ABCDA1B1C1D1中,四边形ABCD是边长为2的正方形,四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形,DD1平面A1B1C1D1,DD1平面ABCD, DD12. (Ⅰ)(Ⅱ)略
(Ⅲ)求二面角ABB1C的大小(用反三角函数值表示). (Ⅲ)解(法向量解法):
以D为原点,以DA、DC、DD1
为
x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz(如图5)
则有A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0) A1(1,0,2),B1 (1,1,2),C1(0,1,2), D1(0,0,2)AA1(1,0,2),BB1(1,1,2), CC1(0,1,2) 设n1(x1,y1,z1)为平面A1ABB1 则
n1AA1x12z10
n1BB1x1y12z10
于是y10,取z1=1,则x12,n1(2,0,1)。
设设n2(x2,y2,为z)平面
B1BCC1 的法向量,则
n2BB1x2y22z20n2CC1y22z20于是x20,取z2=1,则y22,n2(0,2,1)。
设二面角ABB1C的平面角为, 两法向量n1、(都由 “内”指向“外” ),如上图5,n2“同向”
n2与所求二面角的平面角互补(这所以两法向量n1、n2所成角n1、样解决了“显然该二面角为钝角的不严密的逻辑推理问题)。
n1n211
)arccosarccos。
5|n1||n2|5
1
所以二面角ABB1C的大小为arccos
5
则arccos(
再如2007年高考数学江苏卷第18题第(3)问,等。
用空间向量法解决空间二面角避免了复杂的几何证明和纷繁复杂的辅助线,但它对计算的准确提出了更高的要求,可谓“一招不慎,满盘皆输”。
类似的考题在近几年的高考及全国各省市的模拟试题均可找到.
所以用向量法求空间二面角角,要准确确定向量的坐标,选取适当的空间直角坐标系,使所得点的坐标方便于计算和证明,选空间几何体的上面合适的点作原点,合适的直线和方向作坐标轴,其次要灵活运用平面几何的知识、直线与平面的知识准确找出点的坐标。利用上述知识准确确定二面角与空间两向量所成角之间的大小关系。
参考资料:
1.《2007年普通高等学校招生全国统一考试数学科考试大纲》2.《2006、2007年全国统一考试江苏卷数学试题》 3.《2007年全国卷II数学试题(理科)》 4.《2007年全国统一考试安徽卷数学试题(理科)》 5.《普通高级中学实验教科书数学必修2(苏教版)》