高中毕业班第二次高考模拟考试题

广东省揭阳市2008年高中毕业班第二次高考模拟考试题

数学（文科）

本试卷共4页，21小题，满分150分，考试用时l20分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、

座位号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区

域内相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 参考公式：锥体的体积公式V=

1

Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高． 3

如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．

1. “ab>0”是“复数a+bi(a,b∈R)对应的点在第一象限”的. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

2． 已知向量a=(x,1),b=(4,x),且a//b,则x的值为.

A. 0 B. 2 C. 4 或－4 D. 2或－2 3．函数f(x)=lg(-x2+x+6)的定义域为 A．{x|-23或x

Ａ．

2

2

3

4

Ｂ．

2

Ｃ．

2

Ｄ．

2 3

甲　乙8 0 9

5．某篮球学校的甲乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚 3 2 1 1 3 4 8球40个，命中个数的茎叶图如右，则甲乙命中个数的中位数分别为 7 6 5 4 2 0 2 0 0 1 1 3

A.22, 20 B. 24, 18 C. 23, 19 D.23, 20 7 36．已知等比数列{an}的各项均为正数，公比q≠1，设P=

a3+a8

，Q=P与Q2

的大小关系是 A． P>Q B． P

A.10元 B.20元 C.30元 D.

40元 3

8．已知某海滨浴场的海浪高度y（米）

是时间t（0≤t≤24，单位小时）的函数，记为y=f(t)，右表是某日各时的

浪高数据：经长期观察，y=f(t)的曲线可以近似地看成是函数y=Acosωt+k的曲线，为安全起见，浴场规定：当浪高低于１米时才对冲浪爱好者开放，根据以上数据，当天在上午8：00时至晚上20:00时之间可供冲浪爱好者冲浪的时间约为

A. 4小时 B. 5小时 C. 6小时 D. 89. 一个几何体的三视图如右图所示(单位长度: cm), 则此几何体的表面积是 A. (24+cm2 B. (22cm2

C. (28+cm2 D. (26cm2

10．在△ABC中，D为边AB上一点， M为△ABC内一点，且满足

3

3 S

AD=AB，AM=AD+BC，则△AMD与△ABC的面积比，∆AMD为

45S∆ABC9499A. B. C. D.

5162025

1

2

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．本大题分为必做题和选做题两部分. 必做题：第11、12、13题是必做题，每道试题考生都必须做答．

11．设α={-1,,1,2,3}，则使函数f(x)=xα的图象关于原点对称的α值

为 ．

12．下图是一个程序操作流程图：按照这个工序流程图，一件成品最多经过程序，导致废品的产生有 种不同的情形．

13

俯视图

选做题：第14、15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算第一题的得分． 14.如图，BD为 O的直径，AB=AC，AD交BC于E，AE=2，

ED=4．则AB的长为．

15.动点M(3cosθ-4sinθ-1,

129

cosθ+sinθ+2)（θ为参数） 55

的轨迹的普通方程为 ．

三．解答题：本大题共6小题，满分8016．（本小题满分12分）

已知数列{an}满足a1=（１）证明数列{

1an-1an*

，且当n≥２，n∈N时有. =71-2an-11+2an

1

是等差数列； an

（２）求数列{|

1

|}的前n项和Sn． an

17．（本小题满分12分）

已知函数f(x)=x2-2ax+b2, a,b∈R．

(1)若a从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，b从集合{0,1,2}中任取一个元素，求方程

f(x)=0有两个不相等实根的概率；

(2)若a从区间[0,2]中任取一个数，b从区间[0,3]中任取一个数，求方程f(x)=0没有实根的概率．

18．（本小题满分14分）

在△ABC中，已知AB⋅AC=1,AB⋅BC=-2．

(1) 求AB边的长度；

(2)证明tanA=2tanB；

（3）若|AC|=2,求|BC|．

19．（本小题满分14分） A如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，且侧棱垂直于底面，由 B沿棱柱侧面经过棱C C1到点A1

的最短路线长为设这条最短路线与CC1的交 点为D．

（1）求三棱柱ABC－A1B1C1的棱长；

（2）求四棱锥A1－BCC1B1的体积；

A

1

1

D

C

（3）在平面A1BD内是否存在过点D的直线与平面ABC平行？证明你的判断． 20．（本小题满分14分）

设圆Q过点P(0,2), 且在x轴上截得的弦RG的长为4. (１)求圆心Q的轨迹E的方程；

B

(２)过点F(０，１)，作轨迹E的两条互相垂直的弦AB、CD，设AB、CD 的中点分别为M、N，试判断直线MN是否过定点？并说明理由．

21．（本小题满分14分）

已知函数f(x)=

12

x+lnx-1. 2

（1）试证明：∃x0∈(1,2)，使得f(x0)=0

（2）已知不等式f(x)-m≤0,对∀x∈(0,e]（e＝2.718„）恒成立，求实数m的取值范围；

（3）求证：在区间(1,+∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)=

23

x的图象的下方. 3

揭阳市2008年高中毕业班第二次高考模拟考试题

数学(文科)参考答案及评分说明

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数． 一．选择题：BDABC AACAD

解析：

7．如图：当打出电话150分钟时，这两种方式电话费差为线段BD的长度． 根据相似三角形的性质可得

BD50=,∴BD=10,故选A． 20100

8．由表格提供的数据知，函数y=f(t)在〔0，6〕上递减，在〔6，12上递减，在〔18，24〕上递增，故上午在8:00至9:00之间约有1个小时可供冲浪爱好者冲浪，下午在15:00至20:00之间约有5个小时可供冲浪爱好者冲浪，共约有6小时可供冲浪爱好者冲浪.选C.

9．由三视图知该几何体是棱长为２cm的正方体上面叠一底面是直角三角形，高为 ２cm

的三棱柱，如右图示，其表面积S=5⨯2+2⨯1+2⨯

2

t

1

⨯2⨯1+

2

=24+(cm2)，故选A.

3

10．如图，由AM=AD+BC知，DM//BC,∴∠MDA=∠CBA

5

∴

S∆AMDDM⋅AD9

,故选D． ==

S∆ABCBC⋅AB20

1(x+1)2(y-2)2

+=1 二．填空题： 11.{-1,1,3} ；12. 6、3；13. 0 、 ；14. 15.

2

259

解析：

331

-1113111

13.f()=f(2⨯)=f(1)=0，∵()2

222222

2

-

12

-12

-12

12

12

11

1312

∴f(2)=f(2⋅2)=f(2)∵2>1 ∴f[()]＝f(22)＝log222=

22

14.由∠ABC=∠C,∠C=∠D⇒∠ABC=∠D且∠BAE=∠DAB

⇒∆

ABE∽∆ADB⇒AB2=AE⋅AD⇒AB=15. 设动点M的坐标为(x,y)，则x=3cosθ-4sinθ-1，x+1=3cosθ-1295

cosθ+sinθ+2⇒(y-2)=4cosθ+3sinθ-------② 553

25(y-2)2(x+1)2(y-2)2222

=25，即+=1 ①+②得(x+1)+

9259y=

三．解答题：

16.（１）证法１：当n≥２时,由

an-1an11

=得-------------------------2=

1-2an-11+2an

-2+2an-1an

分

1111

-2=+2 即 -=-4 an-1ananan-1

∴数列{

11

是以=7为首项，－４为公差的等差数列ana1

an-1an

得an-1+2an-1an=an-2anan-1 =

1-2an-11+2an

11

〕 -=-4，下同证法１．

anan-1

-----------------------------------------6分

〔证法2：当n≥２时，由

即an-1-an=-4an-1an，两边除以anan-1得

（２）由（１）知

1

=7-(n-1)⋅4=-4n+11-------------------------------------7an

分 ∴|

⎧-4n+11,(n≤2)1

|=|-4n+11|=⎨(n∈N*)--------------------9分 an⎩4n-11.(n>2)

n(7+11-4n)

=n(9-2n)----------10分

2

∴当n≤2时， Sn＝7+3+ +(11-4n)=

当n>2时，Sn＝

7+3+1+5+ +(4n-11)=10+

∴Sn＝⎨

(n-2)(1+4n-11)

=2n2-9n+20-----11分

2

⎧n(9-2n),(n≤2)

2

⎩2n-9n+20.(n>2)

(n∈N*)--------------------------------------------12分

17．解：(1) ∵a取集合{0,1,2,3}中任一个元素，b取集合{0,1,2}中任一个元素 的取值的情a,b

(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2)， 其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值． ∴

设“方程f(x)=0有两个不相等的实根”为事件A

当a≥0,b≥0时，方程f(x)=0有两个不相等实根的充要条件为a>b． 当a>b时，a,b取值的情况有(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2),

即A包含的基本事件数为6,--------------------------------------------------------------------------4分 ∴方程f(x)=0有两个不相等实根的概率P(A)=

况

有

即基本事件总数为12 -------------------------------------------------2分

61

=-------------------------------------6分 122

(2)∵a从区间[0,2]中任取一个数，b从区间[0,3]中任取一个数， 则试验的全部结果构成区域Ω={(a，b)|0≤a≤2，0≤b≤3}, 这是一个矩形区域，其面积SΩ=2⨯3=6----------------------8分 设“方程f(x)=0没有实根”为事件B,则事件B所构成的区域为

M={(a，b)|0≤a≤2，0≤b≤3，a

1

即图中阴影部分的梯形，其面积SM=6-⨯2⨯2=4------------10分

2

由几何概型的概率计算公式可得方程f(x)=0没有实根的概率P(B)=分

SM==.------12SΩ63

2

18. 解：（1）∵BC=AC-AB∴AB⋅BC=AB(AC-AB)=AB⋅AC-|AB|=-2

2

∵AB⋅AC=1 ∴|AB|=3, |AB|=AB

分

(2) 由AB⋅AC=1,AB⋅BC=-2 得|AB|⋅|AC|cosA=1----①

|AB|⋅|BC|cos(π-B)=-2 即|AB|⋅|BC|cosB=2----②-------------7分

|AC|cosA1|AC|sinBA

⋅=由①②得 =, 由正弦定理得|BC|cosB2|BC|sinAsinBcosAtanB1

⋅== ∴

sinAcosBtanA2

∴tanA=2tanB-----------------------------------------------10分

B

C

1=(3) ∵|AC|=2，由（2）中①得cosA= =

|AB|⋅|AC|

2 2 2 由余弦定理得|BC|=|AB|+|AC|-2|AB|⋅|AC|cosA=3+4-=5

6

∴|BC|分

19.解：(1)如图，将侧面BB1C1C绕棱CC1旋转120°使其与侧面AA1C1C在同一平面上，点B运动到点B2的位置，连结A1B2，则A1B2就是由点B沿棱柱侧面经过棱CC1到点A1的最短路线。----3分

设棱柱的棱长为a，则B2C=AC=AA1＝a, ∵CD∥AA1 ∴D为CC1的中点，

222

在Rt△A1AB2中，由勾股定理得A1A+AB2=A1B2，

即a+4a= 解得a=2，----5分

A

222

(2)∵△ABC是正三角形 ∴S∆ABC=∵VA1-ABC

2

2=∴VABC-A112=VABC-A1B1C1 ∴VA1-BCCB1=VABC-A1B1C1=----------------------9分 332

(3)设A1B与AB1的交点为O,连结BB2,OD，则OD//BB2----------------------------------11分

∵BB2⊂平面ABC，OD⊄平面ABC

∴OD//平面ABC，即在平面A1BD内存在过点D的直线与平面ABC平行---------14分

（其他解法请参照给分）

20．解：(1)设圆心Q的坐标为(x,y)，如图过圆心Q作QH⊥x轴于H,

则H为RG的中点，在Rt∆RHQ中，QR=QH+RH-------2分 ∵QR=QP,RH=2 ∴x+(y-2)=y+4

即x=4y----------------------------------------------------------6分 (2) 设A(xA,yA),B(xB,yB)，M(xM,yM)，N(xN,yN)

22

2

2

2

2

2

直线AB的方程为y=kx+1则xA2=4yA-------------①xB2=4yB由①－②得xA+xB=

4(yA-yB)

=4k，∴xM=2k，

xA-xB

2

∵点M(xM,yM)在直线y=kx+1上， ∴yM=kxM+1=2k+1． ∴点Ｍ的坐标为(2k,2k+1)．---------------------------------------------102

4212, xN=-,yN=-xN+1=2+1 kkkk22

∴点N的坐标为(-,2+1)． ------------------------------------------12kk

同理可得：xC+xD=-

直线MN的斜率为kMN

12yM-yNk2-1，其方程为 ===xM-xNkk+k

k2-

k2-1

y-2k-1=(x-2k)，整理得k(y-3)=(k2-1)x，

k

显然，不论k为何值，点(0,3)均满足方程，

∴直线MN恒过定点(0,3)．----------------------------------14分

11

21．(1)证明：∵f(1)=-1=-0

22

2

∴f(1)⋅f(2)

∴函数f(x)在（1,2）上有零点，即∃x0∈(1,2)，使得f(x0)=0------------4

分

（2）f'(x)=x+

1

--------------------------------------------------5分 x

当x∈(0,e]时，f'(x)>0

∴函数f(x)在(0,e]上为增函数--------------------------------------7分 ∴f(x)max=f(e)=

12e 2

不等式f(x)-m≤0,对∀x∈(0,e]恒成立等价于m≥f(x)max ，x∈(0,e] ∴m≥

12

e-----------------------------------------------------------9分 2

122

x+lnx-1-x3------------------------10分 23

（3）证明：令F(x)=f(x)-g(x)=

1x2+1-2x3(1-x)(1+x+x2)2

=则F'(x)=x+-2x=-------------------12分

xxx

∵当x>1时F'(x)

12

-1-

即在(1,+∞)上，f(x)

∴在区间(1,+∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)=

23

x的图象的下方-------14分 3