直线的方程知识点总结
直线的方程知识点总结
一、直线的方程
1、倾斜角:范围0≤α<180,
若l //x 轴或与x 轴重合时,α=00。若l ⊥x 轴时,α=900。
2、直线的斜率:
(1)定义: k =tan α(α≠90°);倾斜角为90°的直线没有斜率; (2)斜率公式:经过两点P 1(x 1, y 1) 、P 2(x 2, y 2) 的直线的斜率为k
=
y 1-y 2
(x ≠x 2);
x 1-x 21
当x 1=x 2时,α=900,k 不存在。α为锐角时,k>0; (3)应用:证明三点共线:
α为钝角时,k
k AB =k BC 。
3、直线方程的几种形式
几种特殊位置的直线 ①x 轴:y=0
②y 轴:x=0
③平行于x 轴:y=b
④平行于y 轴:x=a ⑤过原点:y=kx或x=0
提醒:直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0。
x y ⎧
若a =b ≠0, 则设为+=1⎪
a b 注意:“截距相等”=⎨
⎪⎩若a =b =0, 则必过原点,可设为y =kx 或x=0
两个重要结论:①平面内任何一条直线的方程都是关于x 、y 的二元一次方程。
②任何一个关于x 、y 的二元一次方程都表示一条直线。
4. 设直线方程的一些常用技巧:
(1)知直线纵截距b ,常设其方程为y =kx +b ;
(2)知直线过点(x 0, y 0) ,当斜率k 存在时,常设其方程为y -y 0存在时,则其方程为x =x 0;
=k (x -x 0) ,当斜率k 不
二、直线的位置关系
1、
(说明:当直线平行于坐标轴时,要单独考虑) 2、(1)已知直线y =kx +b
与之平行的直线方程设为y =kx +b 1(b 1∈R , b 1≠b ) 与之垂直的直线方程设为y =-
1
x +b 2 k
(2)已知直线Ax +By +C =0
(A +B
2
2
≠0
)
与之平行的直线方程设为Ax +By +D =0(D ≠C ) 与之垂直的直线方程设为Bx -Ay +D =0
3、距离公式:
(1)两点间距离:
22
P P =(x -x ) +(y -y ) 121212
(2)点P (x 0, y 0) 到直线Ax +By +C =
0的距离d
=
;
(3)两平行线l 1:Ax +By +C 1=0, l 2:Ax +By +C 24、关于点对称和关于某直线对称:
=
0间的距离为d 。
点关于特殊直线的对称
1) 点(x 0, y 0)关于x 轴对称的点为(x 0, -y 0); 2) 点(x 0, y 0)关于y 轴对称的点为(-x 0, y 0); 3) 点(x 0, y 0)关于原点对称的点为(-x 0, -y 0); 4) 点(x 0, y 0)关于y =x 对称的点为(y 0, x 0); 5) 点(x 0, y 0)关于y =-x 对称的点为(-y 0, -x 0)。 三、中心对称 (中点坐标公式的应用)
中点坐标公式:已知两点A (x 1, y 1), B (x 2, y 2),其中点坐标为
⎛x 1+x 2y 1+y 2⎫
, ⎪2⎭⎝2
1. 点点对称:点(x 0, y 0)关于(a , b )对称的点为(2a -x 0, 2b -y 0);
2. 线点对称: (转化为点点对称) 在待求直线上任取一点(x , y ),它关于点(a , b )对称点(2a -x , 2b -y )在已知直线上,代入已知直线化简即得所求直线方程。
四、轴对称
1、点线对称:由轴对称定义知,对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”. 利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组,就可求出对顶点的坐标. 一般情形如下:
设点P (x 0,y 0)关于直线Ax +By +C =0的对称点为P ′(x ′,y ′),则有
y '-y 0⎛A ⎫
∙ -⎪=-1 x -x 0⎝B ⎭A ∙
y '+y 0x 1+x 2
+B ∙+C =0 22
可求出x ′、y ′.
特殊地,点P (x 0,y 0)关于直线x =a 的对称点为P ′(2a -x 0,y 0);点P (x 0,y 0)关于直线y =b 的对称点为P ′(x 0,2b -y 0).
2. 线线对称(转化为点线对称) 设l 1关于l 对称直线为l 2
(1)若l 1与l 平行,则l 2与l 也平行,且l 1,l 2到l 的距离相等,利用平行线间距离公式求得。
(2)若l 1与l 相交,先求出l 1, l 交点P ,再在上任取一点Q (异于交点),利用点线对称求出对称点Q' ,则Q' 在l 2上,由P 、Q' 求出b 的方程。