弹性力学1
《 弹 性 力 学 》
讲 义
授课方式:讲 授(5学时/周,三年级第一学期)
兰州大学力学系
2005.8
第一章 绪 论
弹性力学——固体力学的重要分支,研究弹性物体在外力和其它外界因素(包括外力、温度、电磁场等)作用下产生的变形和内力,也称为弹性理论。是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科基础,广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。
首先,我们对几个基本概念予以澄清。弹性——外力消失后,物体恢复原状的特性。弹性体——仅仅有弹性性质的一种理想物体。弹性体是变形体的一种,它的特征为:在外力作用下物体变形,当外力不超过某一限度时,除去外力后物体即恢复原状。绝对弹性体是不存在的。物体在外力除去后的残余变形很小时,一般就把它当作弹性体处理。
1.1 弹性力学的发展简史
人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了,比如古代弓箭就是利用物体弹性的例子。当时人们还是不自觉的运用弹性原理,而人们有系统、定量地研究弹性力学,是从17世纪开始的。弹性力学迄今已有三百余年的发展历史。
弹性力学的发展初期主要是通过实践,尤其是通过实验来探索弹性力学的基本规律。英国的Hooke(虎克)和法国的Mariotte(马略特)于1680年分别独立地提出了弹性体的变形和所受外力成正比的定律,后被称为胡克定律。牛顿于1687年确立了力学三定律。
在17世纪末第二个时期开始时,人们主要研究梁的理论。到19世纪20年代法国的Navier(纳维)和Cauchy(柯西)基本上建立了弹性力学的数学理论。柯西在1822~1828年间发表的一系列论文中,明确地提出了应变、应变分量、应力和应力分量的概念,建立了弹性力学的几何方程、运动(平衡)方程、各向同性以及各向异性材料的广义虎克定律,从而奠定了弹性力学的理论基础,打开了弹性力学向纵深发展的突破口。近代弹性力学的发展可以认为是从柯西开始的。柯西所做的工作是近代弹性力学和连续介质力学的一个起点,他的工作使得弹性力学成为一门独立的固体力学分支学科。
[柯西(Cauchy,1789-1857),十九世纪前半世纪的法国数学家、力学家。他在学术上成果相当多,他的研究是多方面的。在代数学上,他有行列式论和群论的创始性的功绩;在理论物理学、光学、弹性理论等方面,也有显著的贡献。柯西是历史上有数的大分析学家之一。幼年时在父亲的教导下学习数学。在拉普拉斯和泊松的鼓励下,柯西出版了《分析教程》、《无穷小计算讲义》、《无穷小计算在几何中的应用》这几部划时代的著作。他给出了分析学一系列基本概念的严格定义。柯西的极限定义至今还在普遍使用,连续、导数、微分、积分、无穷级数的和等概念也建立在较为坚实的基础上。现今所谓的柯西定义或ε-δ方法是半个世纪后经过维尔斯特拉斯的加工才完成的。柯西在1821
年提出ε方法(后来又改成δ),即所谓极限概念的算术化,把整个极限过程用一系列不等式来刻画,使无穷的运算化成一系列不等式的推导。后来维尔斯特拉斯将ε和δ联系起来,完成了ε-δ方法。]
第三个时期是线性各向同性弹性力学大发展的时期。这一时期的主要标志是弹性力学广泛应用于解决工程问题。同时在理论方面建立了许多重要的定理或原理,并提出了许多有效的计算方法。
1855~1858年间法国的圣维南发表了关于柱体扭转和弯曲的论文,可以说是第三个时期的开始。在他的论文中,理论结果和实验结果密切吻合,为弹性力学的正确性提供了有力的证据;1881年德国的赫兹解出了两弹性体局部接触时弹性体内的应力分布;1898年德国的基尔施在计算圆孔附近的应力分布时,发现了应力集中。这些成就解释了过去无法解释的实验现象,在提高机械、结构等零件的设计水平方面起了重要作用,使弹性力学得到工程界的重视。这一时期,弹性力学一般理论有很大发展。一方面建立了各种关于能量的定理(原理)。另一方面发展了许多有效的近似计算、数值计算和其他计算方法,如著名的瑞利——Ritz(里兹)法,为直接求解泛函极值问题开辟了道路,推动了力学、物理、工程中近似计算的蓬勃发展。
从20世纪20年代起,弹性力学在发展经典理论的同时,广泛地探讨了许多复杂的问题,出现了许多边缘分支:各向异性和非均匀体的理论,非线性弹性力学,考虑温度影响的热弹性力学,研究固体同气体和液体相互作用的气动弹性力学、水弹性理论,以及粘弹性理论等。电弹性、磁弹性和微结构弹性理论也开始建立起来。此外,还建立了弹性力学广义变分原理。这些新领域的发展,丰富了弹性力学内容,促进了有关工程技术的发展。
1.2 弹性力学的内容与任务
弹性力学是固体力学学科的理论基础。是学习有限单元法、复合材料力学、断裂力学和疲劳等的基础课程。弹性力学的学习对于培养学生的专业基础,思维方法和独立工作能力有着重要意义。
弹性力学作为一门基础技术学科,是近代工程技术的必要基础之一。在现代工程结构分析,特别是航空、航天、机械、土建和水利工程等大型结构的设计中,广泛应用着弹性力学的基本公式和结论。
对于工科力学专业说来,弹性力学的任务与我们熟悉的材料力学、结构力学一样,是分析各种结构物或其构件在弹性阶段的应力和位移,较核它们是否具有所需的强度、
刚度和稳定性,并寻求或改进它们的计算方法。然而,这三门学科在研究对象上有所分工,其研究方法亦不同。
材料力学——主要研究对象:长度远大于高度和宽度的杆状构件。研究的内容:构件在拉压、剪切、弯曲、扭转作用下的应力和位移。
结构力学——主要研究对象:杆状构件所组成的结构,即杆件系统,例如桁架、钢架等等。研究的主要内容:与材料力学类似,即杆件系统在外力作用下的应力和位移。
弹性力学——主要研究对象:非杆状的结构,例如板、壳,以及挡土墙、堤坝、地基等,甚至更复杂形状的实体结构。研究主要内容:这些结构在外界因素作用下(包括外力、温度、电磁场等)的应力和位移。对杆状构件进一步较为精确的分析等。
1.3 弹性力学的一般研究方法
弹性力学虽是一门古老的学科,但现代科学技术的发展给它仍然提出越来越多的理论问题和工程应用问题,至今仍然在工程领域发挥重要作用。
虽然在材料力学和弹性力学都研究杆状构件,然而研究的方法却不完全相同。在材料力学里研究杆状构件,除了从静力学、几何学、物理学三方面进行分析外,大都采用了一些关于构件的形变状态或应力分布的假定,这就有助于大大简化数学推演,但是所的解答有时只是近似的。在弹性力学研究杆状构件,一般不必引用材料力学中所作的那些假定,因而得出的结果就比较精确,可以用于校核材料力学里得出的近似解答。例如,在材料力学中研究直梁在横向载荷作用下的弯曲,引用了平面截面的假定,得出的结果是:横截面上的正应力按直线分布。而在弹性力学中,对于该问题就无需引用平面截面的假定。相反地可以采用弹性力学的分析结果来校核这个假设是否正确,并且由此判明:如果梁的高度并不远小于梁的跨度,二者同等大小,则梁横截面上正应力并不按直线分布,而是按照曲线变化的。又例如,在材料力学中计算有孔的拉伸构件,通常假定拉应力在净截面上均匀分布。而弹性力学的计算结果表明,净截面上的拉应力并不是均匀分布,而在孔的附近发生应力集中。
一般,弹性力学的研究方法主要有数学方法和实验方法,以及二者结合的方法。而弹性力学可以分为数学弹性力学和实用弹性力学两部分。在数学弹性力学中,只用精确的数学推演而不引用关于形变状态或应力分布的假设。本书主要讨论弹性力学数学方法,就是应用数学分析工具建立弹性力学的基本方程和基础理论,并且根据边界条件求解弹性体的应力场和位移场。在实用弹性力学中,和在材料力学里一样,也引用一些关于形
变状态或应力分布的假设来简化数学推演,得出具有一定近似性的解答。这样,按照分析的方法和解答的精度来说,实用弹性力学接近于材料力学,但其研究问题比较复杂,同时还要用到数学弹性力学的结果或研究方法。《弹性力学》下册的内容就属于该范畴。
弹性力学的基本方程,在数学上,是偏微分方程的边值问题,求解的方法有解析法和近似解法。解析法,即直接求解偏微分方程边值问题,这在数学上难度极大,因此仅适用于个别特殊边界条件问题。
弹性力学的另一解法为数值解法,是采用计算机处理的近似解法。近年来,随着现代科学技术的发展,特别是计算机技术的迅速发展和广泛应用,使得有限元方法首先在弹性力学应用领域发展起来。以有限元方法为代表的计算力学的发展,迅速改变了弹性力学理论在工程应用领域的处境。以计算机的强大计算能力为后盾开发的有限元程序,可以求解数十万自由度的线性代数方程组,目前已经成为工程技术人员手中强大的结构分析工具。在此基础之上,CAD, CAE等技术的应用使得计算机不仅成为数值分析的工具,而且成为设计分析的工具。有限元方法的发展是以弹性力学的基本理论为基础得到发展的,而且弹性力学的各种变分原理,都给有限元方法提供了理论基础。有限元方法将计算数学与工程分析相结合,极大地扩展和延伸了弹性力学理论与方法,取得了当代力学理论应用的高度成就。
弹性力学作为一门基础理论学科,它的研究方法被应用于其他学科。近年来,科技界将弹性力学的研究方法用于生物力学和地质力学等边缘学科的研究中。
1.4 弹性力学中的基本假设
基本假设是弹性力学讨论问题的基础。超出基本假设的问题将由固体力学的其他分支来讨论,如非线性弹性力学,塑性力学,复合材料力学等。在今后的讨论中,如果没有特别的提示,均采用以下的弹性力学基本假设。
1)连续性假设。假设所研究的整个弹性体内部完全由组成物体的介质充满,各个质点之间不存在任何空隙。这就是说,物体的介质粒子连续地充满物体所占的空间,而且变形后仍然保持这种连续性。根据这一假设,物体的所有物理量,例如位移、应变和应力等均成为物体所占空间的连续函数。[由于固体材料都是由微粒组成的,微观上这个假设不可能成立。但对于工程材料,微粒尺寸和微粒之间的距离远小于物体的几何尺寸,采用这一假设并不会引起明显的误差。]
在连续性假设之下,微分、积分、微分方程、微分几何、积分方程、变分方法等数学工具都成为了研究弹性力学的有力手段。而且像集中力、线和面上的不连续现象等特殊问题,也可利用连续量的极限过程这一数学手段进行处理。我们还作一个约定:如无特别说明,本书中所出现的函数都是连续的、且有它所需的各阶连续微商。以Newton定律和连续性假设为基础可以建立连续介质力学,其范围很广,包括固体力学和流体力学中的许多学科,弹性力学仅是其中的一个分支。
2)完全弹性假设。对应一定的温度,如果应力和应变之间存在一一对应关系,而且这个关系和时间无关,也和变形历史无关,称为完全弹性材料。完全弹性可分为线性和非线性弹性,这里弹性力学研究限于线性的应力与应变关系,这就是说,假定物体完全服从虎克定律——应变与引起该应变的那个应力分量成正比例。反映这种比例关系的常数,即弹性常数其不随应力分量或应变的大小和符号而变。具体地,当应力分量增大或减小若干倍时,应变也随之增大或减小到同一倍数;当应力分量反其符号时,应变也反其符号,且两者仍然保持其同样的比例关系。
3)均匀性假设。假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的。因此物体各个部分的物理性质都是相同的,不随坐标位置的变化而改变。因此,物体的弹性性质处处都是相同的。根据此假设,在处理问题时,可以取出物体的任意一个小部分讨论,然后将分析结果应用于整个物体。
特殊地,如果物体是由两种或者两种以上介质组成的,例如混凝土,只要每一种物质的颗粒远远小于物体的几何形状,并在物体内部均匀分布,从宏观意义上讲,也可视为均匀材料。对于明显的非均匀物体,例如环氧树脂基碳纤维复合材料,不能处理为均匀材料。
4)各向同性假设。假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质,这就是说物体的弹性常数将不随坐标方向的改变而变化。显然,像木材,竹子以及纤维增强材料等,都不属于各向同性材料。这些材料的研究不属于弹性力学的讨论范围,它们是复合材料力学研究的对象。而对于由晶体构成的金属材料(如钢材等),由于单晶体是各向异性的,微观上显然不是各向同性的。但是由于晶体尺寸极小,而且排列是随机的,因此宏观上,材料性能是显示各向同性。 凡符合以上四个假设的物体,成为理想弹性体。
5)小变形假设。假设在外力或者其他外界因素(如温度等)的影响下,物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于高阶小量,即它们远远小于物体的原来尺寸。根据小变形假设,在弹性体的平衡等问题讨论时,可以不考虑因变形所引起的尺寸变化,使用物体
变形前的几何尺寸来替代变形后的尺寸,这将使得问题分析简化。可在基本方程推导中,略去位移、应变和应力分量的高阶小量,使基本方程成为线性偏微分方程组。
6)无初始应力的假设。物体处于自然状态,即在外界因素(如外力或温度变化等)作用之前,物体内部无应力。由此假设,弹性力学求解的应力仅为外力或温度改变而产生的。
1.5 本课程内容安排
本课程《弹性力学-上册》正文由十二章组成,第一章为绪论,介绍弹性力学的概念、基本研究内容等。第二章介绍弹性力学平面问题的基本理论,包括应力分析、应变分析、应力-应变关系,以及平面弹性力学问题的基本微分方程与边界条件等。第三、四、五章分别介绍平面问题的直角坐标、极坐标和复变函数解答。第六章阐述平面热弹性问题的基本概念和解答。这些章节是本课程的核心。第七章则简要介绍平面弹性问题的一种近似解法—差分法,对差分法求解的一般概念与基本步骤。作为本课程内容的另一个重要内容,第八、九章介绍了空间弹性问题的基本理论与解答。第十章是针对直杆结构扭转的问题的论述。第十一章介绍弹性体的能量原理与变分法,并应用于平面问题与扭转问题的求解。最后在第十二章介绍弹性动力学及波动问题初步。