1-10.无穷小与无穷大

模块基信本 息级一模名块称三 模块名称 级先行知识函 数极与限 穷无小无穷与大 极限通的俗义定 极限四则运的算则法 知内识 1容无穷小和无、大穷的概 念2、无小穷的质并性能用运于极限解 3求无穷、小无与大的关穷 系力目标 时能间配 修订 培分养生的计学能力算2 分5钟 文婷 熊编 撰莉肖 娜审 二对 校玲玲方审 危核青子危子 青二模块名级 称块编模号模 编块号 模块号 教学要求 编、1熟记无小和穷无穷大概的念；2、 熟记无穷小的质性并能运于极限用求 ； 3、解了无解穷小与无大穷的系 基关础块 模1-0 115 1-7-掌握程度

熟

记一、

文编正写路及思点：

思路：本特主要文绍介无了小与无穷大穷的概念无、小的穷性、 无穷小质与穷无大的系，关后为续穷小无的比做较好准。 特点备先用一些：容使学易生错犯误的题来让例生思学，考过讲 通加解深正对的定义确理解。的

二

、授部分

1课无、小穷定义 的定义如：当果x  0x （ x 或  ）时函,数f x 极的为限，那么零函 f数 x  就为称 x  x （或0x   时的无）小量（简称 穷 fx 为无穷 ）小.例 1判别下列、数函否是无穷为量；小 1）（f ( ) x insx ，当 x 0； （2） f x ) (1

， x当 ；x

（）3  xf  x，当 x1 1 （4）；f   x x，1 x  当 .0 解答判别：是否为穷无小唯的一准标就是极限看否为 是0. 备注 ：（1）别是否为判无穷的小唯标准就是一极看限是为 否. （0）02是 特殊的无个小穷，因为它足满无穷的小定.义

（3）

无小是穷限极为的零变.量例如， lim(x  1 )  1它，的极限为不0 因，此不就说当能x 0 ,时

x 0

x

1为无穷小

.

4）一个函数（是为一否个穷无量，与自小变的量变趋化势有 关.时， sn x 就i 2不无穷是小因，为 ilms n ix 1 ，的它极限不为 ，不满足0穷无的小x

例

，如当  x0时 s,ni x无穷为小但，当 



x



定2义. 5（在无穷小的定义中） x， 变的化过还程可以是

 x  0 ,x x x0 , x ， x  .

如，例lim

x  

11 0 ， 则 x  时当， 是穷无. 小x

x

2、无小穷的质

性

选()讲定理 1 lim f x   A充要的件是 f 条x  A  x （常

x记x0

为  fx  A  ），其中  x 是x x 时0的无小穷 .例，如lim

定理 2x

1  xim(l 1 ) 所以，lim 1 x. x 1 x x x  1 x1

有多个限穷小量的无代数和是仍无小.穷

例如，当x 0 时， x,sinx 都 无穷是，小易得 x 推s i nx 也无穷 小。 备是注无：穷个穷无的代数小未和必是无穷. 例 小如 当，n 时 ，

1 2n , 2 , 

, 2 都是 无 穷 小 ， 是但2 n nn

n

n 1 n1 1   2不是无穷，.小 lm i 2  2    2  li mn  n2 n nn  22 n定

理3 有限 个多穷小无积的也无是穷小

.如，当例  0x时 ， x,sinx 都是穷无小易推，得x si x n是也穷小. 无：注穷个无穷无小代的积数未是必穷无小 定理. 4常数与无 小穷的也是无穷小.积

例如，

当x  1时 2( x， 1 )无穷是.小 定理 有界5变与无穷小量积也的无是穷.小 例 ，如当 x 时 ，

是1 无 小 穷 si， nx 是有 界 变量 ，故 x

1 1 lm siinx  0,s ni 是无穷小x x . x x

3、穷大无定的义 穷无也是一个变大量，的它变趋势化与穷无小正相好，反 于对无穷我们有大下如义定 .定：义 如果 x 当 0x （或x  ）时， 函 数f  x 的对值绝f x 无增大，则称函数限f  x 是 x 当x0 （或 x ） 的时穷无. 例大如 ，函数f x  

11其绝 对值f  x   无限增 , 当 x 0 ，时x x

大

，以所当 x 0时， 数 f函 x 备注：

1

是无大穷. x

（）1别判是为否穷无的大一标唯准是就绝看值的对限极否是 为穷大无； 2）（穷无大极是限为无的变量穷； 3（一个）函是数否为一个穷无量，与自大量变的变趋势有化关 （4）当.极限正无为大穷，我时们正无穷大称，极限当负为无穷大 ，我们时之为负称穷无大

1 . 1 ， 我们当 称x 0 ， 是时正无穷大； x0 xx 1 l1m  i ，当 x 0 时， 是无负大.穷x   0 xx

例

，如 lmi 

4、无穷

小与穷大无的系关 定 6理 在自变 量 x同一的变化程过，中 （）如果 1 f x 无穷大，则是

1是无穷小； f x 1是 无大； 穷 f x

2（如） f果 x  , f  x0 是无小穷，则

如例 lim，

1

1  ， x  0 时当， 的是穷大，而无 il x  m0， x0x x0x

当 x  时，0 是无穷x.小 5理解、穷无大时需注意：（1） 有限多个无大量的穷代数不和定是一无大穷. 如例当，x   时 ，x x, 为无穷大均但， 是 x( x) 是无 穷大.不 如，又 当x  ， x时2 , x1均为无 大， 但是 穷 x2 1 x  不是无穷大.（ ）有界2变量无穷大与积不的定一无是大穷.例 如当 ， x  ，时 x 为无穷大，s ni

1 是界变有，但是 x

量

1x sn 不是i穷大. 无

x、三案讲例解

例2 判别.面是否下为无穷或小无大 穷（1 f (） x )

x2 1 , x当 时1 x ；1

1

（）2f ( )x n(l 1), 当 x0 时；

x（

3 f）( x)

 1 (1n),当 n 时 n；

1（4

f  ）x e x， 当 x 0时. 例 3 求.l i

m

1ar tac xn.（无 穷小以有乘量） x 界 x 2

、四力反馈能部分

1在、下列

各题中指出哪些是，穷大？无些是哪穷小？无（1) x

1 ,当x 3; 2x 9

（

） 22  x 1, 当x ;0 4（ tan） ,x当 x

（）3 l xn， x当 0 ;（） y 5

31 ， x  当 ; 22x

3



2

;

2

、求下极列限

1： （1） im arlcco xs x  x

n2 c os （n2） li m n n

3