提升数学效率

提升数学效率

内容摘要：本文就复习计划制定时做到“四面”俱到，课堂教学中以本为本、把知识点的串讲和精选例题、习题的变式训练有机结合起来，课后学会总结反思展开阐述。有序整理，有效复习，注重一个“串”字。通过串知识点，使知识连成片；通过串“典型图形”，使学生的学习效益更高；通过串“试题的关联题”，使分析试卷更有效。精选习题，拓展提高，达到一个“活”字，选取能够一题多变、一图多换、一题多变、多题归一的题目让学生去研究，提高学生探究能力，拓展学生的解题思路，增强学生的解题能力，达到提升数学复习效率的目的。

关键词：提升 效率 活水

“问渠哪得清如许，为有源头活水来。”每每读到朱老夫子的这两句诗，笔者便思考我们中考复习的“源头活水”在哪里，怎样提升数学复习课的效率。建构主义学习理论认为：“知识的学习是一个建构的过程，知识的建构基于学生已有的知识和经验，通过建构把新知识纳入原有的认识结构中，使认知结构发生变革和重组，形成新的认知结构。”根据布鲁纳提出的观点和建构主义学习理论，笔者认为复习课最重要的是帮助学生搭建知识网络，形成知识体系。因此，在课前要认真梳理教过的内容，提取主干知识，根据知识点前后的关系，把一个一个知识点连接起来，形成知识的链接，横成串，竖成链。课中教师应从学生已有的知识和经验出发，运用各种教学策略，帮助学生构建知识网络, 同时，教师要抓住生长点，适当拓展知识、深化知识，让学生觉得有新意，有新的收获。

一、紧扣大纲，“四面”贯穿计划其中

中国有句古话：“凡事预则立，不预则废”，教师不仅要制定总的复习计划，还要对不一样的课型，不同的复习阶段，制定符合学生学情的计划。这样才能实现从知识点到知识面再到知识网络的立体知识结构，才能有利于学生创新和实践能力的提高，有利于中考复习效率提升。笔者认为复习计划制定时，要根据《考试说明》和《教学大纲》，“四面”贯穿计划其中。

1、教学目标指向要全面。

美国教育心理学家奥苏贝尔曾说：“影响学习的最主要原因是学生已经知道了什么，我们应当根据学生原有的知识状况去进行教学”。了解学生、激活学生已有知识的沉淀，便于形成学习平台，抓准基点展开梳理，从而有助于面向全体、查漏补缺。根据义务教育的性质和新的课程标准“不同的学生在数学上得到不同的发展”的理念，笔者认为教学目标制定时必须面向全体学生，使每个学生在原有基础上都得到最大可能的发展，从而实现全体学生素质的提高，同时又必须重视学生的个性差异，因材施教。因此，我们制定复习计划时要了解学生，从大多数学生实际出发，认真落实课程标准的基本要求，把复习课堂教学主要精力放在集体教学上。

2、教学内容要全面。

初中数学三年级四个部分六本书，涉及的定义、概念、定理、法则有许多。笔者认为计划制定时要引导学生把所学过的知识进行系统整理，整合成知识体系，全面复习。如几何可按点→线→面→体；代数可按数→字母→式→方程、不等式→函数的主干把两大部分知识串联起来，增强复习的实效性。同时复习计划制定时要着力于让学生准确理解基本概念，弄清概念之间的联系区别，防止知识相互干扰、混淆的负面影响。

3、练习题题型的选择要全面。

教学时无论是知识的掌握还是能力的训练都要通过习题来体现。笔者认为复习计划制定时要注意练习题题型选择的全面性，既要让学生学会运算传统的题型，又要针对中考命题动向，课标理念择取新颖的题型。题型训练时可对传统题型中的某些题型进行专门训练，训练学生解题效率，结合知识、技能、教学目标检测学生知识掌握程度。新题型是检测学生综合素质的试金石，计划制定时教师可有针对性、有意识地依据复习内容和不同程度学生在适当时间向学生抛出新题型。

4、数学思想方法渗透要全面。

数学思想方法是数学精髓，是数学基本知识的重要组成部分。考查数学思想方法是考查学生能力的必由之路，中考数学试题也越来越重视突出数学思想和方法的考查。在数学复习计划制定中有意识、有目的、适时地渗透数学思想方法，培养学生有效地利用数学思想方法解决相关问题。笔者认为新教材中增设的“综合应用”、“课题学习”等教学内容会衍生出许多新题型，它是向学生渗透数学

思想方法的好材料。

二、以本为本，源头出活水。

华罗庚曾介绍过一种“找另一条线索把旧东西重新贯穿起来”的复习方法，这种线索有两种：一种是内在形式，也就是以知识的内在联系为线索；另一种是外在形式，也就是以外在的形式把几部分知识贯穿起来，系统化、条理化。近几年的中考题安排了约80%的基础题，全卷的基础知识的覆盖面较广，许多试题源于课本，在课本中能找到原型，有的是对课本原型进行加工、组合、延伸和拓展。笔者认为教科书是中考题编写的源头，复习教学时我们要紧扣教材，夯实基础，可以把知识串一串，对典型问题、例子进行适当变式，达到举一反三、触类旁通的目的，提高学生的应变能力，从而提升中考的复习效率。

1、串知识点，知识连成片。

数学家华罗庚先生指出“学习有两个过程，一个是从薄到厚, 一个是从厚到薄”,前者是“量”的积累，后者则是“质”的飞跃，教师在复习过程中，不仅应该要求学生对所学的知识、典型的例题进行反思，而且还应该重视对学生巩固所学的知识由“量”到“质”的飞跃这一转化过程。

例如，复习“直线、线段、射线”这一单元内容，笔者以表格的形式以一个基础、两个要点、三种延伸、四个异同点的复习提纲提出，激起学生学习的求知欲，学生思维活跃就会立即想方设法去寻找提纲的答案，问题解决的同时学生对这单元知识结构也就明晰了。又如，在复习实际问题与一元二次方程时，笔者把它分成几种类型。A ：握手问题（签合同、球类联赛、赠礼物等）；B ：增长（下降）率问题；C ：传播问题（分传播源重复传播、传播源不重复传播、传播源消失三类）；D ：面积问题； E：经济生活问题； F：简单的综合题等。复习二次函数的知识点时笔者把知识点以习题的形式出现‘请研究二次函数y=x2-4x+3的图象及其性质，并尽可能多地写出有关结论’, 通过这道题目的学习，学生已经基本上把二次函数的知识点都复习了一下。笔者通过实践认为，这种把知识串联复习的方法使学生的知识更条理化、系统化，能把章节知识由量到质的飞跃，实现厚薄间的转化，确实能提升复习效率，。

2、串“典型图形”， 学生的学习效益更高。

现代学习理论的研究和大量的教学实践表明，人的学习过程是个体经验、知识和能力的构建过程；学生的认知不是一次完成而是在不断反复循环中实现的。

在复习解直角三角形的时，笔者把典型的图形（如下图）串在一起。

借助典型图形把解直角三角形中测量问题，航海问题等贯穿其中，达到知识的有效整合。又如，在复习全等三角形时，笔者把两个全等的基本图形通过平移、翻折、旋转等变换，变成全等图形中典型的图形，再赋予具体的条件去解决问题，提升了复习的效率。因此，教学实践中，教师们在进行复习课教学设计时，所做的大量工作是把教材内容处理成更有利于学生学习的方式，学生的学习效益才会更高。

3、串“试题的关联题”， 分析试卷更有效。

特级教师吴正宪老师曾经打过比喻，知识犹如珍珠，如果不会整理，只是一盘散沙，没有太大的价值，只有穿成美丽的项链，才会价值连城。在复习阶段，反馈之一就是做往年的中考题，教师可以充分利用相关题，把题目作适当的串联，提高分析试卷的有效性。如，根据2008年金华市中考题串联题目，已知：

21 x +1 ○② ③x ④ 5x -3

x -1=0⎨⎩x -y =8

在要求学生能准确的求方程（组）或不等式的解后，对原题作适当的变式。比如：若a 为方程③的解，求 a2-14a-1的值；若a 为不等式④的解，求 y=a2-4a-1的y 取值范围；当x 为何值时，直线y=5x-3总在y=1-3x的下方。笔者认为，这样串题目分析试卷重在引导学生多总结方法，使学生做一题明一路，分析试卷时以题带知识点，重在引导学生根据知识点的联系把它穿成线、连成片，编织成比较系统的知识网络。学生通过对问题的解决勾起对知识的回忆，对原题作简单的变式加深对知识的理解，从而提高复习的效率。

4、一题多变、一图多换--------以题带理，能力得提高

变式教学法，它的核心是利用构造一系列变式的方法，来展示知识发生、发展过程，数学问题的结构和演变过程，解决问题的思维过程，以及创设暴露思维

障碍情境，从而形成一种思维训练的有效模式。它的主要作用在于凝聚学生的注意力，培养学生在相同条件下迁移、发散知识的能力。变式教学能激发学生的学习热情，能使学生尝试到成功的乐趣，达到解题举一反三、触类旁通的效果，能使学生的应变能力得以提高，进而提升复习的效率。笔者在复习课教学中尝试用变式教学的方法提高教学效率。

例如，已知点D 、 E、F 分别是⊿ABC 各边的中点，那么，当⊿ABC 满足什么条件时，⊿DEF 是等腰三角形?

变式1、（1）当⊿ABC 满足什么条件时，⊿DEF 是等边三角形?

（2）当⊿ABC 满足什么条件时，⊿DEF 是直角三角形?

（3）当⊿ABC 满足什么条件时，⊿DEF 是等腰直角三角形?

变式2、已知在四边形ABCD 中点E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 各边的中点，请判断四边形EFGH 的形状? 当满足什么条件时，四边形EFGH 是菱形? 矩形？正方形？

本题的切入点较低，主要是应用三角形中位线定理和等腰三角形的定义，变式1和原题的难度没有差别，重在串知识点。变式2和原题相比难度有所提高，但第一问是书本的练习，把这些题通过变式的形式放在一起，由于结论的要求的不断变化，需要学生不能再机械地模仿，排除非本质特征的干扰，寻求解决问题的新途径。笔者在教学实践中发现，把这些题串在一起，对学生分析问题，解决能力的提高也大有帮助，特别对学生学会用三角形的中位线解决问题会有很大的帮助，

又如：如图，△ABC 的边BC 在直线l 上，AC ⊥BC ，且AC =BC ；△EFP 的边FP 也在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF =FP ．

（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB 与AP 所满足的数量关系和位置关系；

（2）将△EFP 沿直线l 向左平移到图2的位置时，EP 交AC 于点Q ，连结AP ，BQ ．猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；

（3）将△EFP 沿直线l 向左平移到图3的位置时，EP 的延长线交AC 的延长线于点Q ，连结AP ，BQ ．你认为（2）中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．

A E ）

B C （F ） P

图1 l B F 图2 C P l l

图3

该题是2008年河北的中考题，由于三角形EFP 的平移，条件产生了变化，这就需要学生灵活运用所学的知识解决问题，问题解决的同时达到了变化中巩固知识、在运动中寻找规律、在知识纵横联系中提高学生灵活解题的能力。笔者认为复习课例题的选择，应选择重点突出，反映大纲最主要、最基本的内容和要求，最有代表性的典型习题，多给学生思考的时间，让学生在实践中获得灵感，在交流中撞出智慧。对例题进行分析和解答时，要发挥例题以点带面的作用，有意识、有目的地在例题的基础上作系列的变化，挖掘问题的内涵和外延，实现复习知识从量到质的转变。

5、一题多解、多题同解----解题思路的优化，习题的类化

华罗庚先生指出：“取法乎上得其中，取法乎中得其下。”在数学问题解决中，数学教师不能满足于只会做题，还应研究解题的方法；不仅要研究具体的解题方法，还要研究解题的思想方法和策略，这样在数学问题解决中才能得心应手。在具体的教学实践我们有许多一题多解的题目，多让学生尝试一题多解，有利于引导学生沿着不同的途径去思考问题，产生多种解题思路，培养学生发散思维的能力。学生对多种解题方法比较，找出新颖、独特的最佳的解题方案，优化了解题思路，达到质的提高，从而优化复习的过程。

考查同一知识点，可以从不同的角度，采用不同的数学模型，作出多种不同的命题，教师在复习制定中选题时要善于引导学生将习题归类，集中精力解决同类问题中的本质问题，总结出解这一类问题的方法和规律。如:

（1）k 取何值时对任意实数x ，代数式x 2 +2x-k的值都大于0；

（2）k 取何值时，方程x 2 +2x-k=0没有实数根；

（3）k 为何值时，对任意实数x ，不等式x 2 +2x-k＞0恒成立；

（4）k 为何值时，函数y= x2 +2x-k的图象全部在x 轴的上方。 这四题的解法是一样的，笔者在教学实践中发现，在复习课时把各种形式向

学生展示一下对学习困难的同学和学习中等的同学是大有帮助的。

又如在复习应用题时，可以选下列4个题目作为例题。

（1）甲乙两人同时从相距10000米的两地相对而行，甲骑自行车每分钟行70米，乙骑摩托车每分钟行180米，问经过几分钟，甲乙两人相遇？

（2）从A 地到B 地，汽车需8小时，拖拉机需10小时，两车同时从两地相向而行，几小时可以相遇？

（3）一项工程，甲队单独做需8天，乙队单独做需10天，两队合作需几天完成？

（4）一池水单开甲管需8小时可以注满，单开乙管嘘10小时可以完成，两管同时开放，几小时可以注满？

上述四道应用题，题目表达方式虽不同，有的看似行程问题，有的看似工程问题，但本质基本相同，数量关系、解答方法基本一样。这样的归类训练复习，学生通过分析异同，便能在平时的学习中注意做有心人。笔者在教学实践中发现，引导学生加强解题方法的积累和归纳，研究解题的思想方法和策略，这样就能在数学问题的解决中高屋建瓴，最终达到提升复习效率目的。

三、坚持反思，活水源源不断

反思不仅仅是对学习过程的一般回顾或重复，而是对学习过的知识、方法、过程、策略、思想、感受等的自我反省。反思的目的是为了实现提高和“知新”，这个过程是别人无法代替的。在九年级总复习过程中，笔者认为教师需指导学生养成对典型问题进行反思的习惯。如自己是否很好地理解题意，弄清题设和结论之间的内在联系，较好地找到解决问题的突破口，自己所用的解题方法是否合理简捷，有没有更好的解法，解题过程是否正确无误，表述是否符合逻辑、是否全面，解题所用的方法是否有广泛的应用价值，如果适当改变题目的条件或结论，问题将会出现什么变化，与过去做过的题目之间有没有联系等。当学生领悟了蕴含在问题的内涵，掌握了贯穿在分析问题、解决问题中的数学思维方法，就能达到数学知识和方法的融会贯通，就能提高综合运用数学知识、方法及解决问题的能力。当然，教师也要养成反思的习惯，反思自己复习课的选题、反思自己的教学过程，反思自己评价学生的策略。唯有师生在反思中不断调整思路，才会在坚持中取得不断的进步，复习课的效率才会不断提高。

布鲁纳曾说：“我们教一个科目，不是去建立一个有关该科目的小型图书馆，

而是要学生自行思考，像一名数学家那样去思考数学，像史学家那样去探索历史，投入到获得知识的过程中去。”如果教师在准备一节复习课时能更多地把视点放在通过学生的领悟和教师的讲评来达到知识的回顾、巩固、再学习、再认识的动态过程而绝非仅仅是追求学习结果，多在学习策略、思考方法和探索途径上下功夫，那么，九年级数学复习中常遇到的题海无边与知识有限、题海无序与学生头脑中认知结构的有序这两对矛盾便可获得不同程度的缓解。只有真正地把数学知识化解到学生的思维和能力中，九年级复习才有“跳出题海”的希望，进而达到培养学生能力，提高学生数学素质的目的，而只有如此教师才能为提升数学复习效率注入源源不断的活水。

参考文献：

[1]施良方、崔允漷. 教学理论：课堂教学的原理、策略与研究. 华东师范大学出版社,1999年版, 第二部分

[2]高慎英、刘良华 .有效教学论, 广东教育出版社,2004(5)

[3](美) 希尔伯曼、陆怡如 .积极学习：101种有效教学策略，华东师范大学出版社，2005（10）

[4]崔允漷. 有效教学：理念与策略（上）. 人民教育出版社，2006

[5]吴松年. 有效教学艺术. 教育科学出版社，2008（5）

[6](美国) 莱斯利﹒P ﹒斯特弗 //高文 .教育中的建构主义. 华东师范大学出版社，2002（9）