2011误差理论分析试卷
《误差理论与数据处理》
一、填空题（每空1分，共20分）
1．测量误差按性质分为 _____误差、_____误差和_____误差，相应的处理手段为_____、_____和_____。
答案：系统，粗大，随机，消除或减小，剔除，统计的手段
2．随机误差的统计特性为 ________、________、________和________。 答案：对称性、单峰性、有界性、抵偿性
3. 用测角仪测得某矩形的四个角内角和为360°00′04″，则测量的绝对误差为________，相对误差________。 答案：04″，3.1*10-6
4．在实际测量中通常以被测量的 作为约定真值。
答案：高一等级精度的标准给出值、最佳估计值、参考值 5．测量结果的重复性条件包括：
、
、
。
、
、
、
、
测量人员，测量仪器、测量方法、测量材料、测量环境
6. 一个标称值为5g 的砝码，经高一等标准砝码检定，知其误差为0.1mg ，问该砝码的实际质量是________。 5g-0.1mg
3．置信度是表征测量数据或结果可信赖程度的一个参数，可用_________和_________来表示。 标准差 极限误差
4．指针式仪表的准确度等级是根据_______误差划分的。 引用
5．对某电阻进行无系差等精度重复测量，所得测量列的平均值为100.2Ω, 标准偏差为0.2Ω，测量次数15次，则平均值的标准差为_______Ω，当置信因子K ＝3时，测量结果的置信区间为_______________。
0.2/sqrt(15),3*0.2/sqrt(15)
7．在等精度重复测量中，测量列的最佳可信赖值是_________ 。 平均值
8．替代法的作用是_________，特点是_________。 消除恒定系统误差，不改变测量条件
9. 对某电压做无系统误差等精度独立测量，测量值服从正态分布。已知被测电压的真值U 0 ＝79.83 V ，标准差σ（U ）＝ 0.02V，按99%（置信因子 k = 2.58）可能性估计测量值出现的范围： ___________________________________。 79.830.02 V*2.58 10．R 1 ＝150
，
R 1 ＝
0.75
；R 2 ＝100
，
R 2 ＝
0.4
，
则两电阻并联后总电阻的绝对误差为_________________。
2
R 2∂R 1002
===0. 1622
∂R 1(R 1+R 2) (150+100)
R ∂R 150
===0. 36∂R 2(R 1+R 2) 2(150+100) 2
21
2
R=R1*R2/(R1+R2), R=
∂R ∂R ∆R 1+∆R 2=0. 16*0. 75+0. 36*0. 4=±0. 264 ∂R 1∂R 2
11. 用两种方法测量长度为50mm 的被测件，分别测得50.005mm ；50.003mm 。则
_______________测量精度高。
第二种方法
12. 用某电压表测量电压，电压表的示值为226V ，查该表的检定证书，得知该电压表在220V 附近的误差为5V ，则被测电压的修正值为_______________ ，修正后的测量结果
_______________为。
－5V ，226+(－5V )=221V
14. 检定一只2.5级、量程为100V 的电压表，发现在50V 处误差最大，其值为2V ，而其他刻度处的误差均小于2V ，问这只电压表是否合格_______________。 合格
二、是非题（每小题1分，共10分，对的打√，错的打³）
（ ）1．由于误差是测量结果减去被测量的真值，所以误差是个准确值。 （ ）2．测量不确定度是说明测量分散性的参数。
（ ）3．标准不确定度是以测量误差来表示的。 （ ）4．误差与不确定度是同一个概念，二种说法。 （ ）5. 半周期法能消除周期性系统误差 （ ）6．A 类评定的不确定度对应于随机误差。 （ ）7．A 类不确定度的评定方法为统计方法。 （ ）8．B 类不确定度的评定方法为非统计方法。
（ ）9．测量不确定度是客观存在，不以人的认识程度而改变。 （ ）10．标准不确定度是以标准偏差来表示的测量不确定度。
（ ）11．数学模型不是唯一的，如果采用不同的测量方法和不同的测量程序，就可能有不同的数学模型。
（ ）12．在标准不确定度A 类评定中，极差法与贝塞尔法计算相比较，得到不确定度的自由度提高了，可靠性也有所提高了。
（ ）13．扩展不确定度U 只需合成标准不确定度Uc 表示。 （ ）14．扩展不确定度U 与Up 含义相同。 （ ）15．方差的正平方根是标准偏差。
（ ）16．极差法是一种简化了的以统计方法为基础，以正态分布为前提的一种评定方法。 （ ）17．测量误差表明被测量值的分散性。
（ ）18．不确定度的评定方法“A ”类“B ”类是与过去的“随机误差”与“系统误差”的分类相对应的。
（ ）19．以标准差表示的不确定度称为扩展不确定度。
（ ）20．A 类不确定度的评定的可靠程度依赖于观察次数n 充分多。
（ ）21．用代数法与未修正测量结果相加，以补偿系统误差的值称为修正值。 （ ）22．实验标准偏差就是测量结果的算术平均值。 （ ）23．以标准差的倍数表示的不确定度称为扩展不确定度。
（ ）24．测量不确定度一般来源于随机性或模糊性，主要原因是条件不充分和事物本身概念不清。
（ ）25. 对多次测量的数据取算术平均值，就可以减小随即误差的影响。
（ ）26. 在间接测量中，只要直接测量的相对误差小，间接测量的误差也就一定小。
³³³³√, √√√√√, √³³√√, √³³³√, √³√³√³ 三、选择题（每题为2分，共20分，每题为1~2项选择）
1．正确的A 类不确定度评定方法是（ ） A ．对观测列进行统计分析方法
B ．测量误差分析法
C ．修正值法 D ．以上方法都不对
2．测量误差是（ ） A ．测量结果减去参考值 C ．测量结果除以约定真值 3．测量误差有以下特征（ A ．是无正负号的参数
）
B ．有正号、负号的量值 D ．是表明被测量值的分散性
）
B ．测量结果减去修正值 D ．测量结果减去被测量的真值
C ．是表明测量结果的偏离真值
4．自由度是表明了标准不确定度的可靠程度的一个量，所以（ A ．越大越可靠 B．越小越可靠 5．A 类不确定度的评定是用（ A ．估计的标准差
C ．越稳定越可靠 D．以上说法均不成立
）表征
C ．随机误差
D ．测量误差
B ．实验标准差
6．测量结果减去（ ）是测量误差 A ．参考值
B ．修正值
C ．被测量的真值
D ．约定值
7．测量不确定度有以下特征（ ） A ．是无正负号的参数
B ．是有正负号的量值
C ．是表明测量结果的偏离真值 D ．是表明被测量值的分散性
8．测量不确定度是一个（ ）概念。 A. 定量 B. 定值 C. 定性 D. 精密度
9．方差是来表示测量的可信度或品质高低的特征量，即描述随机变量的（ ） A. 分散性 B. 离散性 C. 真实性 D. 正确性 10．测量不确定度是表示测量结果的（ ）
A. 误差 B. 分散性 C. 精度 D. 分布区间的半宽
11．某次测量中，测量次数为7，求实验标准差时用贝塞尔公式计算，自由度为（ ） A. 6 B. 3 C. 5.3 D. 4.5
12．正态分布是重复条件或复现条件下多次测量的（ ）的分布。 A. 矩形 B. t分布 C. 投影 D. 算术平均值 13．不确定度是恒为（ ）
A. 正 B. 负 C. 常数 D. 零 14．下列中哪些是导致不确定度的来源的（ ） A. 被测量的定义不完整；
B. 测量人员不认真； D. 测量效率不高。
C. 测量方法和测量程序的近似和假设。 15．B 类评定是用（ ）表征
A. 随机误差 B. 置信概率 C. 估计的标准差 D. 实验标准差 16．输入量相关时不确定度的合成中，相关系数的求法有（ ）
A. 统计法 B. 物理（实验）判断法 C. 公式法 D. 估计法 17．扩展不确定度u 由（ ）不确定度乘以包含因子K 得到。 A. 仪器 B. 相对 C. 合成 D. 合成标准
18．B 类不确定度的评定方法中，已知置信区间半宽a 和对应于置信水准包含因子K ，则B 类标准不确定度u （x ）为( )。 A. a²k B. k/a C. a/k D. a+k
19． 使用最小二乘法时，偏差的平方和最小意味着你和只限于整个实验数据的（ ） A 不相关B 偏离度大C 偏离度小D 以上3个都不对
20． 下面那个参数可以反映测试系统的随机误差的大小（ ） A 灵敏度B 重复性C 滞后量D 线性度
A,D,(BC),A,B, C,（BD ）,A,A,B , A,D,C,B,C, C,D,C，C ，B
四、问答题：（共35分）
1． 何谓量的真值？它有那些特点？实际测量中如何确定？
即测量量的真实值，理论上是不可获得的，有时存在于物理或数学原理中，在实际测量中常用实际值代替，可以是上级计量部门给的标准数据，或多次测量的最佳估计值，或根据理论得出的参考值。
2. 比较真误差与残余误差的概念
真误差指实测值与真实值之差，通常真实值不可得，所以真误差也很难得到；
残余误差表示实测值与实际值之差，实际测量时实际值通常用最佳估计值、检定值、参考值代替。实际计算中，常用残余误差计算标准差、极限误差等统计参数。
3. 单次测量标准差、算术平均值标准差的物理意义是什么？它们之间的关系如何？ 单次测量标准差指测量列的标准差，描述的是测量列各测量点偏离测量列平均值的程度，计算可以通过贝塞尔公式得到，公式略；算术平均值标准差指不考虑系统误差的情况下测量列的平均值偏离真实值的程度；它们之间的关系可以用公式获得，公式略。
4. 叙述置信概率、显著性水平和置信区间的含义及相互之间的关系。
5. 误差传播系数的定义？如何获得？
通常间接测量或组合测量时，各测量组成部分均对最后测量结果有影响，该影响的程度用误
差传播系数来描述。
通常先写出总测量结果和各分测量之间的函数关系，求总测量量对分量的偏微分，即是该分量的误差传播系数。
6．测量不确定度的评定是否可以称为误差分析？其步骤如何？
不可以，所有的不确定度分量都用标准差表征，由随机误差或系统误差引起, 误差是不确定度的基础。区别：误差以真值或约定真值为中心，不确定度以被测量的估计值为中心，误差一般难以定值，不确定度可以定量评定不确定度分两类，简单明了。 测量不确定度的评定方法有两类：A 类评定和B 类评定 A 类评定：通过对一系列观测数据的统计分析来评定 B 类评定：基于经验或其他信息所认定的概率分布来评定
7．什么叫标准不确定度？什么叫扩展不确定度？他们分别用什么符号来表示？
8． 微小误差的定义和意义？
测量过程包含有多种误差时，某个误差对测量结果总误差的影响可以忽略不计的误差，称为微小误差计算总误差或进行误差分配时，若发现有微小误差，可不考虑该项误差对总误差的影响。 选择高一级精度的标准器具时，其误差一般应为被检器具允许误差的1/10～3/10。
9．最小二乘法的原理是什么，可以解决哪些实际问题？其在解决组合测量中如何应用？
最小二乘法的原理是测量的最可信赖值是使各测量点残差平方和最小。
利用最小二乘法原理可以解决测量参数最可信赖值估计，组合测量或间接测量的数据处理、用实验方法获得经验公式、回归分析数据处理等问题。
解决组合测量问题的主要过程通常为根据测量原理和测量数据列出残差方程——根据最小二乘原理将残差方程转化为正规方程——解正规方程获得待估计参数——对结果进行精度估计，如何是非线性问题，首先将非线性问题线性化，再列出残差方程。
10. 什么是测量误差？误差有哪几种类型？有什么表示方法？表征测量结果质量的指标有哪些？
答：测量误差＝测量结果－测量真值
误差可分为系统误差、随机误差、粗大误差３种。 表示方法有绝对误差、相对误差、引用误差３种。
表征测量结果质量的指标主要有正确度、精密度、准确度和不确定度。 11. 不确定度术语有哪些？产生测量不确定度的原因是什么？
不确定度术语有标准不确定度、A 类不确定度、B 类不确定度、合成标准不确定度、扩展不确定度和包含因子。从人、机、料、法、环等环节阐述产生原因。
五、应用题（15分）
1. 某1.0级电流表，满度值（标称范围上限）为100，求测量值分别为100，80和20时的
绝对误差和相对误差。
s =1.0，x m =100 μA, x 1=100μA, x 2=80μA, x 3=20μA
∆x m =±x m s %=±100⨯1.0%=±1μA
∆x m 1
⨯100%=±⨯100%=±1%x 1100
r x 1=
∆x m 1r x 2=⨯100%=±⨯100%=±1.25%
x 280∆x m 1r x 3=⨯100%=±⨯100%=±5%
x 320
5
2. 某传感器的精度为2%，满度值为50mV ，零位值为10mV ，求可能出现的最大误差？当传感器使用在满刻度值的一半和1/8，1/3，2/3时，计算可能产生的百分误差，有计算结果说明能得出什么结论。
解：满量程SCOPE=50-10=40(mV)
可能出现的最大误差为：δ=40⨯2%=0. 8(mV ) 当使用1/2，1/8，1/3，2/3量程时，最大相对误差分别为：
γ2/3=
γ1/3
=4%
2140⨯40⨯
32
0. 80. 8==6% γ1/8==16%
1140⨯40⨯
38
0. 8
=3% γ1/2=
0. 8
结论：测量值越接近传感器的满量程，测量误差越小，因此使用仪表时尽可能使用1/3量程以上。
3. 现有0.5级０～300度和１级０～120度温度计２支，要测量100度左右的温度，哪只精度高？为什么？
解：测量100度温度时，两只温度计最大相对误差分别为：
γ1=
300⨯0. 5%120⨯1%
=1. 5% γ2==1. 2%
100100
γ1>γ2
答：０～120度温度计测量100度左右的温度精度更高。解释略
4 圆柱体按公式V ＝πr h 求圆柱体体积，若已知r 约为2cm ， h 约为20cm 。要使体积的相对误差等于1％，试问r 和h 测量时误差应为多少？ 解：1）. 求误差传递系数：
2
∂V
=2πrh =2*3. 14*2*20=251. 2∂r ∂V
=πr 2=3. 14*22=12. 56∂h
∆V V
∆V =V *1%=πr 2h *1%=3. 14*22*20*1% r V =1%==2. 512(cm 3)
误差来源两项，根据等误差分配原则：
∆V 2. 5122. 512
===0. 007(cm ) a i n 251. 2*2*2∂r
∆V 2. 5122. 512
∆h ====0. 14(cm )
a i n 12. 56*2*2∂h ∆r =
5. 某电子测量设备的技术说明书指出：当输入信号的频率在200kHz 时，其相对误差不大于
±2. 5%；环境温度在(20±10) ︒C 范围变化是，温度附加误差不大于±1%∙︒C -1；电源电
压变化±10%时，附加误差不大于±2%；更换晶体管时附加误差不大于±1%，假设在环境温度23︒C 时使用该设备，使用前更换了一个晶体管，电源电压220V ，被测信号为0.5V （200kHz ）的交流信号，量程为1V ，求测量不确定度。
根据不确定度合成公式：μcrel =
∑u
i =1
4
2
(x i )
1） 200kHz 下0.5V 测量点的不确定度（B 类，误差均匀分布）：
u frel =
δf
=
V m ⨯a V ⨯=
1V ⨯2. 5%0. 5V ⨯=2. 88%
类，误差均匀分布）：
2） 环境温度引起的不确定度（B
u trel =
δt
=
(23-20) ⨯1%
=1. 73%
3） 电源电压附加误差引起的不确定度（B 类，误差均匀分布）：u srel =
δs
=
2%=1. 15%
4） 更换晶体管附加误差引起的不确定度（B 类，误差均匀分布）：
u trrel =
δtr
3
=
1%3
=0. 58%
4
5） 不确定度合成：μcrel =
∑u
i =1
2
(x i ) =3. 6%
6． 对某量进行12 次测量，测得数据为20.06，20.07，20.06，20.08，20.10，20.12，20.11，20.14，20.18，20.18，20.21，20.19，试用两种方法判断该测量列中是否存在系统误差？
解：可用残余误差观察法，
如右图，存在线性误差
还可以用不同公式计算 标准差比较法 或残余误差校核法
7. 对某一个电阻进行200 次测量，测得结果列表如下：
测得电阻（R/ Ω ）1220 1219 1218 1217 1216 1215 1214 1213 1212 1211 1210 该电阻值出现次数 1 3 8 21 43 54 40 19 9 1 1 ⑴绘出测量结果的统计直方图，由次可得到什么结论？ ⑵求测量结果并写出表达式。 ⑶写出测量误差概率分布密度函数式。
⑴ 由上图可以看出是正态分布。 ⑵求测量结果并写出表达式：
各电阻测量值的权为测量次数，分别为 1 3 8 21 43 54 40 19 9 1 1
求加权平均值
5*1+4*3+3*8+2*21+1*43+0*54+(-1) *40+(-2) *19+(-3) *9+(-4) *1+(-5) *1)
=1215+1+3+8+21+43+54+40+19+9+1+1
12
=1215+=1215. 06Ω
200
求残差并校核，残差和为0，计算正确 求加权算术平均值的标准差：
根据 σ=
∑p υ
i i =1
m
2
i
(m -1) ∑p i
i =1
m
(2-51)
根据 σ=
509. 28
≈0. 50(Ω)
(11-1) *200
结果表达：如果取置信系数t=2，则置信概率P 为0.95 测量结果=
(1215. 06±2*0. 50) Ω=(1215. 06±1. 00) Ω
f (δ) =
-2δ2
概率密度分布：正态公式
1
σ2e
δ2
-22σ
=
10. 5*2e
-
δ2
2*0. 52
=0. 80e
-2δ2
f (δ) =0. 80e
8． 测某一温度值15 次，测得值如下：（单位：℃）
20.53, 20.52, 20.50, 20.52, 20.53, 20.53, 20.50, 20.49, 20.49,20.51, 20.53, 20.52, 20.49, 20.40, 20.50，已知温度计的系统误差为-0.05℃, 除此以外不再含有其它的系统误差，试判断该测量列是否含有粗大误差。要求置信概率P=99.73%，求温度的测量结果。 解： （1）已定系统误差：Δ = −0.05℃ （2）
（3） 因为：
所以：第14 测量值含有粗大误差，应剔除。 （4）
剔除粗大误差后，
（5） p = 99.73% ，
（6） 测量结果：
9. 用一台测量精度为±0.25%的压力变送器与一台模拟显示仪表组成压力测量系统，要求测量精度不低于±1.0%,问应选用哪一精度等级的显示仪表? 误差分配问题：认为两个环节互不相关
10. 电阻的测量值中仅有随机误差，且属于正态分布，电阻的真值 标准差
，试求出现在
之间的置信概率。
，测量值的
按正态分布置信概率公式：
δ
σ=0. 2, δ=±0. 5, t =2. 5
σ
1
P =F (δ) =
σ2π
⎰δe
-
δ
-
δ22σ2
2d δ=
2π
⎰e
t -
t 22
dt =0. 9976