海水养殖场的设计
海水养殖场的设计
摘要：本文建立海水养殖场场的规划设计模型，依据渔网的总
长, 在海洋中打桩的个数分析求解养殖场面积最大时桩的具体位置，桩的个数较小时，通过理论分析论证，较大时借助lingo 软件模拟最优解。
关键词：最大面积 lingo 软件
一、 问题重述
某海洋渔业公司计划在海边用渔网围建一座海水养殖场。已知海岸线走向如 下图所示的折线：
这里 ∠AOB =α,0
问题1 设渔网的总长L 为常数，在射线OA 与OB 上分别选点A 与B , 使得 AB = L 。在这两点处各打一桩，从A 到B 用渔网连接。试问A 、B 选在何处可使 所围养殖场水面面积S （以下均用S 表示该面积，该问中S 等于∆AOB 的面积） 最大？证明你的结论。
问题2 若另可在海中某点C 处打一桩，使 AC +CB = L ，将AC 与CB 分别 用渔网连接，试问A 、B 、C 如何选址可使S 最大？为什么？ 问题3 若海中另可选两点C 与D ， 这里∠A O C
A C+ C D+ D B= L ，在L A, C , D , B 处各打一桩，依次用渔网连接，试问A , B , C , D 如何选址可使S 最大？为什么？
问题4 若在海中可依次打桩C 1, C 2, ⋅⋅⋅C n ，回答问题3 的推广问题。
问题5 设α = π ，海底水深为该处到最近海岸线距离的r 倍（r 取为0.1），相
32
邻两桩之间的渔网在垂直于海平面的同一平面上。渔网的成本与它的面积成正比，每根桩的成本不低于1000 元，若超过1000 元，其成本与它的高度（从海到海面的垂直距离）的立方成正比。养殖场单位面积的效益当水深不超过4 米时与该处水深的平方根成正比，水深超过4 米时效益与4 米处相同。由于海底面走向，为便于渔网的布置，在养殖场的最深处必须打一桩，相邻两桩之间的距离不超过20 米。
请根据目前市场渔网价格与钢筋混凝土桩的造价回答下列两小问：
（1）假设该公司投资M 万元，请设计桩的根数和选择桩址，使养殖场总的投 资效益最大. （2）该公司投资多少万元建造这样一座养殖场，可使单位资金的投资效益最大？
二、 模型假设
1. 忽略桩的大小，渔网在桩处没有额外损耗；
2. 由于周长一定的凸多边形明显比凹多边形的面积大，在求解最大面积时不考虑凹多边形。
三、 符号说明
L ——渔网总长度
α ——OA 与OB 夹角
A ，B ，C ，D ，C
1
, C 2, ⋅⋅⋅C n
——桩所处的位置
S ——养殖场水面面积
四、 模型的建立与分析
问题一
设OA= a，OB= b，
由余弦定理可得，cos α
2abcos α+L =a +b ≥2ab
2
2
2
=
a +b -L
2ab
222
，
，
当且仅当a=b时取"="， 则ab ≤
L
2
2-2cos α
，
S =
12
absin α≤
L sin α4-4cos α
2
目标函数 max
，
即OA=OB时，所围的海水养殖场面积最大， 此时OA
=OB =
L 2-2cos α
。
问题二
假设A 、B 的位置固定，讨论C 的位置使得S 最大： 由图像可知，S
四边形AOBC
=S ∆AOB +S ∆ABC （α
为锐角时，图形AOBC
可能为三角形，但此处将其看作四边形不影响后续的讨论）。因为A 、B 位置固定，则S
∆AOB
为定值，AB 边长为定值，设为c 。目
S ∆ABC
标函数Max S ，即求Max ，因为BC+CA=L，结合椭圆的
性质，可把C 点看作以A 、B 为焦点的椭圆上一点，则C 为短轴顶点时，存在Max
S ∆ABC L 2
。由短轴的特点可知，C 在AB 的垂
直平分线上，CA=CB=。即
当A 、B 位置固定，CA=CB=时，S 最大。
2L
因为对于任意固定的A 、B ，上述条件均需得到满足，所以
S 最大的一个必要条件是CA=CB=。
2L
设
∠B OC =β
，∠A OC
=γ
，OC=m，假设β
≤γ
，过C 点分别向
OB 边和OA 边引垂线，垂足分别为E 、F: 则BE
S ∆BOC
=
L
2
4
-m sin
22
β
，
，同理可求得S
L
2
2
2
1=21S =2
L
2
4L
2
-m sin β+mcos β）msin β
22
∆AOC
，
。
则
1
-m sin β+mcos β）msin β+42
2
2
4
-m sin γ+mcos γ）msin γ
在OC 长度一定的情况下讨论A 、B 的选址： 假设m 为一定值，表达式两端可同时除以m ，则
2
f (β)=
2S m
2
=（h -sin β+cos β）sin β+（h -sin （α-β）+cos （α-β））sin （α-β）
22
其中h =
L
22
4m
。函数关于x =α对称，又可知∀h >0, 函数图像的性质
2
不变，所以可令h=1以简化运算，则当β与γ都是锐角时， ，求导令f '(β)=2cos 2β-2cos （f (β)=sin 2β+sin2（α-β）2α-β）=0极值点β
=
，求得
α
2
，β或者γ不是锐角时可类似地得到：
=
S 最大的另一个必要条件是β
L 2
α
2
。
=γ
由问题一可推知，AC=为定值，∠A OC OA=OC时，S
∆AOC
即为定角，则当
2
∆BOC
α
取得最大值；同理可知，当OB=OC时，S 取
得最大值。所以，当C 处于∠AOB 的角平分线上，且满足OA=OB=OC=
L 4sin
α
4
时，S=S
∆AOC
+S
∆BOC
达到最大。
问题三
假设A 、B 的位置固定，则AB 长度为定值，同问题二中分析可
知，当S
S ABDC =
p =
C 2=
ABDC
最大时，S 取得最大值。由海伦公式的推广，
，
(p -AC)(p-CD)(p-B D)(p-AB )
AB +L 2
为一定值，又
3
3
(3p -L ) ⎛p -AC +p -CD +p -DB ⎫
(p -AC )(p -CD )(p -DB ) ≤ ⎪=
33⎝⎭
，
当且仅当AC=CD=DB时取得等号，则
S 取得最大值的一个必要条件是AC
建立目标函数Ma
S =
12
absin α+
(p-L 3
3
=CD =DB =
L 3
。
) (p -AB )
L +AB 2
，其中
A B =a +b -2a b c o αs , p =
2
2，
⎧a >0
s.t. ⎪⎨b >0
⎪22
⎩a +b -2abcos α
α
3
可用lingo 软件求解，且由之前分析可知，当∠AOC=∠COD=∠BOD=且OA=OB=OC=OD=
L 6sin
α
6
是较优的方案
问题四
设OA ，OC ，OC ，⋅⋅⋅OC ，OB 的长为y ，i=1,2,…n+1,n+2;
1
2
n
i
设AC ，C C ，C
1
1
21
1
2
C 3，⋅⋅⋅，C n-1C n ，C n B
的长为x ，i=1,2,…n+1;
i
设∠AOC ，∠C OC ，⋅⋅⋅∠C
2
n-1
OC n ，∠C n OB 分别为β ，i=1,2,…n+1;
i
目标函数Max
S =
1
n +1
i
i +1
y y ∑2
i =1
sin βi
⎧n +1
⎪∑x i =L ⎪i =1⎪n +1
⎪∑βi =α⎪i =1⎪
⎨x i >0⎪
y >0s.t. ⎪i 22
2⎪x =y +y -2y i y i +1cos βi
i i +1
⎪i ⎪⎪⎩
可用lingo 软件求解 由前分析可知，∠AOC
OA=OC1=OC2=⋅⋅⋅=OCn =OB=
=C1OC 2=⋅⋅⋅=∠C n-1OC n =∠C n OB=1
L
α
n+1
，且
2(n+1)sin
α2(n+1)
是较优的方案
问题五
分析桩的根数为1的情况：
因为养殖场的最深处必须打一桩，则此桩在∠AOB 的角平分线上 设渔网的成本与它的面积的比例系数为k1；桩的成本与高度平方的比例系数为k2；养殖场单位面积的效益当水深不超过4米时与该处水深的平方根的比例系数为k3。 设桩在C 点, ∠CAO =θ ,02L
sin L
23
π
由对称性，仅需考虑三角形AOC
sin θ2
L
，C 到海岸的距离为；
当
sin θ2
sin θ2
L ≤4时，三角形AOC 处效益为
w1=⎰
L
(
sin L+
L 2
sin θ-
h -
h tan θ
) k
=(
-
25
(
1+
1tan θ
))k θ) 2
5
桩的成本w2为1000或k (rsin θ
2
2
L)
3
AC 段渔网的成本w3=k r
1
sin θ4
L
2
则总净收益W=2w1-w2-w3；可用lingo 软件求解较优解
当sin θL >4时，注意水深超过4 米时效益与4 米处相同，同样分
2
析，也可求得最优方案。
五、 模型的评价
1. 当桩的个数较小时，可以通过理论分析论证，直接确定最优方案，求得最大面积；
2. 当桩的个数较大时，需要借助lingo 软件，帮助求出较优方案； 3. 对于收益问题，仅能处理分析一些简单情况。