数学对象认识的符号学考察

作者：肖红郑毓信

科学技术哲学研究 2012年12期

　　 中图分类号：N03 文献标识码：A 文章编号：1674－7062(2012)04－0029－06

　　 美国数学哲学家保罗·贝纳赛拉夫，在“数不能为何物”一文的引言中指出，哲学家们往往会提出这样的问题：数学实体究竟是自成一类的，还是可通过它们而构成？[1]其实，这个问题关涉到人是如何认识数学对象的。即人对数学对象的认识，是处于共时的系统分析还是历时的对象建构中，抑或两者都有。人对数学对象的认识和把握，离不开数学对象的“物质载体”数学符号语言。因此，利用符号学的基本思想，考察人是如何认识数学对象的，似乎能给出一个对数学对象认识的具体的解释与回答。

　　 一、符号学为数学对象认识的考察提供了思想工具

　　 法国哲学家保罗·利科曾说：“语言在哲学中始终占据着荣耀的地位……对语言本身的一种理性知识被很多哲学家看做是解决基本哲学问题的必要准备。”[2]371他强调：“在我们的时代，如果不分析认识的符号学来源，如果不了解科学和艺术中所使用的符号学形式的具体特征，如果最终不了解记号作为社会和个人行为的中介者所起的作用，那么就不可能对哲学问题作严肃、系统的论述。”[2]409

　　 因此，目前一种基于符号学的数学认识论研究已成为国内外数学哲学研究的热点之一。[3-4]数学认识论研究中的符号学考察，从表面看，也是一件很自然的事。因为自从有了数学，数学知识就和符号紧紧连在一起，数学认识具有明显的符号活动特征。符号学也称为指号学，是研究符号和符号过程的理论。当今，学术界公认瑞士语言学家索绪尔和美国哲学家皮尔斯是现代符号学理论的创始人。他们对“什么是符号”都给出了各自不同的具有开创性的基本定义。

　　 (一)索绪尔的符号定义与数学对象认识的“所指－能指”结构

　　 什么是符号？索绪尔认为，“语言符号是一个带有两面的心理实体……我把一个概念和一个声音形象的结合称做一个符号……符号一词，用于指涉整体，而分别用所指和能指替代概念和声音形象”。[5]101－102因此在索绪尔看来，符号是能指和所指的结合。

　　 能指和所指是索绪尔提出的一对重要概念，成为此后的语言学和语言哲学中最基本的概念。我们可以通过索绪尔提出的符号的“任意性原则”进一步理解这对重要概念。索绪尔认为，语言符号的作用在于把现实世界加以明确区分。“若不是通过语词表达，我们的思想只是一团不定形的、模糊不清的浑然之物……在语言出现之前，一切都是模糊不清的。”[5]157然而，语言符号对现实的区分却是任意的，即每种语言都以特有的、“任意的”方式把世界分成不同的概念和范畴。正因为此，符号能指和所指是纯关系的东西。索绪尔符号定义的要义在于，语言符号是一套有自己排列体系的表达思想的系统；符号的能指和所指，即声音和概念，两者是合二为一的。所指是概念，是一种形式关系，是由能指的形式系统确定的。这一观点为以后的结构主义语言学奠定了思想基础。结构主义的主要立论在于：意义出现在结构之中。

　　 索绪尔关于符号的基本定义，为我们提供了一套考察数学对象认识的思想提示词。尽管索绪尔关于符号的基本定义取消了语言和现实的关系问题，而这正是他“遗留给后人很多未解决的疑难”之一。但在这里我们可以这样来理解语言符号和现实的关系。正如陈嘉映指出的：“语言和现实是从整体上相联系的。索绪尔作为一个语言学家，没有详细阐述语言和现实的关系，但他的理论完全能够与语言/现实整体联系的看法相容。……施指(能指)和所指是一套思想的提示词，理解了这套思想，我们原可以把这些词抛在一边。我们不妨说，语词的声音直接指现实的东西，但这现实的东西现在是从它能被指来说的，是在语词层面上具有了意义、在语词层面上处于相互关系之中的现实。”[6]

　　 从这一分析出发，可以得出这样一种对数学对象认识的基本观点：所谓的数学世界和数学语言符号是从整体上相联系的。如果说数学对象是波普尔“世界3”意义上的客观现实的东西，那么这种客观现实的东西是从它能被指来说的，是在数学符号语言层面上具有意义、在数学符号语言层面上处于相互关系之中的客观现实。我们将提出，人与数学对象认识的一种基本认识结构：即把数学对象看成本来就是客观存在的，人可以运用符号来所指，数学对象的意义通过能指所在的具有逻辑演绎性的形式系统所确定。简称为“所指－能指”结构。

　　 (二)皮尔斯的符号定义与数学对象认识的“手段－对象”结构

　　 皮尔斯对“什么是符号”给出了另一种开创性的定义：“指号或表象是这么一种东西，对某个人来说，它在某个方面或以某种身份代表某个东西。它对某人讲话，在那个人心中创造出一个相当的指号，也许是一个更加展开的指号。我把它创造的这个指号叫做第一个指号的解释者。这个指号代表某种东西，即它的对象。它代表那个对象，但不是在所有方面，而只是与某个观念有关的方面，我常常称这个观念为图像的范围(ground)。”[7]

　　 后人把皮尔斯的符号定义称之为“符号三元组合或符号三分法”。用图1表示如下：

　　

　　 图1 皮尔斯符号三分法

　　 因此皮尔斯符号学的符号是由符号表象(Sign)、对象(Object)和解释者(Interpretant)“三个一组”构成。

　　 由于皮尔斯在关于符号学的文稿中，生造了不少新词，这对人们理解他的思想增加了难度。但我们从他关于“符号”的定义中得到的符号模式完全不同于索绪尔语言符号学的符号模式。索绪尔的符号模式是：符号由能指与所指构成；皮尔斯的符号模式是：符号由符号表象、对象和解释者构成。在皮尔斯的符号模式中，对象是符号表象的所指，但所指还不是符号表象的意义，符号表象的意义还要经过人的解释。符号表象代表的对象经解释后，还可以再解释。也就是说，符号活动过程(符号产生的过程)永无止境，人的认识永无止境。如果索绪尔符号模式的思想为结构主义语言学奠定了理论基础，那么“近年来在认知主义语言学的产生和发展上，皮尔斯的符号学起了突出作用。它的‘符号活动是认知的过程’以及符号的‘解释项(解释者)’理论就是认知语言学的重要理论基础”。[8]5认知主义的主要立论是：意义存在于人类对世界的解释中。

　　 根据皮尔斯的符号定义，我们认为符号的意义来自两个方面的结合。一是通过“某个观念”所代表的“那个对象”，二是它创造的符号的“解释者”。因此，可以说皮尔斯关于符号的基本定义，同样为我们提供了一套认识数学对象的思想提示词。即存在这样一种关于数学对象认识的基本观点：数学作为人的符号活动过程，数学对象是由数学符号表达的，它是认知手段与认知对象的结合物，其意义来自手段与对象相统一的“解释”。所以，我们提出，人对数学对象的认识还有另一种基本的认识结构：数学对象是作为人的认识手段的对象化而存在。即手段经人的构作、概括而生成对象，对象因有可验证的手段而具有存在的意义；手段与对象是统一互补的。简称为“手段－对象”结构。

　　 二 对数学对象认识的解释需要两种结构的互补

　　 由于“所指－能指”结构同数学对象在符号层面所表现出的形式演绎性特征密切相关，所以它较为人们所接受。原苏联数学家亚历山大洛夫曾指出：“算术的对象正是具有一定关系和规律的数的系统。单个的抽象数本身不具有那种包含很多内容的性质，关于它，一般地没有多少可说的。如果我们问，数6的性质，那么可以指出6＝5＋1，6＝3*2以及6是30的因子等等。但是这里数6处处与其他数关联着，因此，这个数的性质正是在它同其他数的关系之中。尤其明显的是，任一种算术运算都确定数之间的一种联系，或者换个说法，确定数之间的一种关系。”[9]这种观点强调，数学作为一种形式符号系统，其成分可以由它们在系统中的相互关系界定。

　　 由“所指－能指”结构，数学对象在一个形式系统中获得了客观确定性，但是，这只是使我们在“静态结构”上把握了数学对象。这种观点却不能生动地描写和解释数学对象的生成性。

　　 美国数学家R.柯朗曾指出：“就科学观察的目的来说，对一个对象的认识，完全表现在它与认识者(或仪器)的所有可能关系之中。”[10]4这种情况在数学认识中更为突出。“世世代代以来，数学家一直把他们研究的对象，例如数、点等等，看成实实在在的自在之物。但是，准确地描述这些实体的种种努力总是被这些实体自身给否定了。”从而人们逐渐明白，在数学中“所有适合它们的论断都不涉及这些实体的现实，而只说明数学上‘不加定义的对象’之间的相互关系以及它们所遵循的运算法则。至于点、线、数，实际上是什么，这不可能也不需要在数学科学中加以讨论。可验证的事实只是结构和关系：两点决定一直线，一些数按照某些规则组成其他一些数，等等”。[10]5

　　 按本文的术语，我们把柯朗的话可理解为，人们对数学对象的认识，不是表现在“所指－能指”结构的形式指称上，而是体现在通过我们对“不加定义的对象”②的构作的描述上。因此，这里涉及将数学对象置于个别与一般之间的关系来认识，而不是在一个形式符号系统中来认识。这种看法正是体现了人对数学对象认识的“手段－对象”结构的观点。从数学知识产生发展的角度看，“手段－对象”结构具有较强的解释力，但是，这仅是从符号形成的动态过程中强调了对数学对象的描述，其局限性在于，不能在符号的指称上给数学对象以客观严谨性的说明。

　　 “所指－能指”结构与“手段－对象”结构从两个不同的方面解释了人对数学对象的认识。它们都有各自的合理性和局限性。只有二者的互补才能给出一个对数学对象认识的全面解释。其实，就符号学来说，索绪尔和皮尔斯的符号学作为两大符号学理论系统，是从两个不同的角度来研究符号和语言的。二者的关系不是排斥的，是互补的。[8]5索绪尔的符号学突出了符号的静态结构方面，而皮尔斯的符号学强调了符号形成的动态过程。德国学者迈克尔·奥堤指出，在数学认识中，“符号同时具有描述性使用和指称性使用的性质”，“认知的实质在于符号能在认知过程与认知结果之间建立起的互补关系”。[11]因此，我们也认为，“所指－能指”结构与“手段－对象”结构的互补才能从整体上描述对数学对象的认识。需要指出的是，互补的描述方式是丹麦物理学家、哲学家尼尔斯·玻尔在考虑光的本性问题和物质的本性问题时，为我们贡献的一个重要的“描述方式”。他认为“互补描述方式”在认识论中具有普遍的意义。[12]

　　 三 两种结构中“手段－对象”结构占主导地位

　　 人对数学对象的认识需要两种结构的互补，但从人对数学对象认识的发展的角度看，这个“互补”不是在同一层次上的。我们只有从发展的角度对待“互补”，才可能对数学对象的认识给予全面而有力的解释。因此，还需要进一步讨论两种结构的关系。或者说，哪一种结构更根本，在人与数学对象认识中占主导的地位。

　　 人对数学对象认识的两种结构中，“手段－对象”结构占主导地位。因为“手段－对象”结构充分体现了一种主体参与的认识方式。正是认识主体与认识对象的交互作用，才不仅使得新的数学认识(知识)得以产生，而且使得数学认识处于连续不断的发展之中。具体说来如下：

　　 第一，“手段－对象”结构在新的数学知识产生上发挥了主导作用。基于“所指－能指”结构，人们将依赖于逻辑演绎的方法“发现”数学知识，而基于“手段－对象”结构则可靠直觉构作“发明”数学知识。后者在新的数学知识产生上发挥着主导作用。数学公理方法是逻辑演绎方法的一种特殊典型。R.柯朗明确指出，“对于数学学科来说，公理方法是剖析各种事实之间的相互联系以及展示这结构的基本逻辑梗概的最自然的方法。有时候，形式结构之如此集中，比概念的直观意义更易于推广和应用，而这些推广和应用在一些比较直观的方法中往往是被忽视的。但是，凡是重要的发现或者具有实质性内容的见解，很少是由单纯的公理程序得到的。在直觉指引下的构造性思想是数学动力的真正源泉。虽然公理化是理想的形式，但是，相信公理体系构成了数学的精髓，这是一个危险的错误。数学家的构造性直觉，给数学带来一个非演绎且非理性的要素，可以拿它同音乐与艺术相比拟。”[10]226

　　 而怀特海也曾指出，数学中的新知识是通过对“度量”活动的抽象概括而产生的。这正体现了“手段－对象”结构的特点。因为怀特海说，在数学认识活动中，人们“从毕达哥拉斯那里所得到的实际见解就是事先度量，然后用数字决定的量来表示质”。“当我们通过数计、度量、几何关系和秩序形态等把数学观念和自然界的事实联系起来，理性的思维便离开了那种牵涉一定的种和属的不完整抽象境界，而进入完整的数学抽象境域了。”[13]也就是说，毕达哥拉斯学派对数学的认识是“事先度量”，然后用数字决定的量来“表示”质。怀特海认为，这正是数学研究的主要传统。他称赞毕达哥拉斯学派的做法，认为在数学中运用逻辑分类学是次要的。按本文的术语，数学中这种运用“逻辑学”的分类来认识“种”与“属”的特性正是“所指－能指”认识结构的一种表现。按这种方法研究数学，我们得不到多少新东西。由此可以说，在新的数学知识产生发展上，基于“手段－对象”结构的认识方式比基于“所指－能指”结构的认识方式更能发挥主导作用。

　　 第二，“手段－对象”结构体现了一种主体参与的认识方式，不仅在新的认识(知识)产生中发挥着主导作用，而且由于认识主体与认识对象的交互作用，使得认识处于连续不断的发展之中。“所指－能指”认识结构可以说是一种“旁观者的认识方式”。因为它把数学对象看成是客观存在的，人只是运用符号来所指，数学对象的意义通过能指所在的具有逻辑演绎性的形式系统所确定。“数学对象是什么”的问题在“所指－能指”结构中有意义，而“它是如何成为一个数学对象”的问题在“手段－对象”结构中有意义。按照发生学的立场，我们认为，就对一个数学对象的认识而言，我们首先关注的并不是“它是什么？”而是“它是如何成为一个对象的”，即“在什么环境中，产生了这种意义”。因此，从这一立场上讲，“所指－能指”结构首先要以“手段－对象”结构为基础才有意义。在“所指－能指”结构的基础上通过“手段－对象”结构的结合，数学认识才能处于连续不断的发展之中。否则数学就会是一个不涉及起因和目的的一种自我封闭的、一环接一环的形式结构系统。

　　 总的来说，在数学的产生与发展过程中，人与数学对象认识关系的两种结构具有互补关系，但“手段－对象”结构在其中占主导地位。由此，人对数学对象的认识会呈现出两种结构交替出现，螺旋发展的态势。

　　 四 数学对象认识发展的具体表现

　　 根据前面的讨论，本文试着给出人(作为历史发展中的人)对数学对象认识发展的具体表现。即人对数学对象的认识表现为两个层次、三个发展阶段的螺旋式发展中。

　　 一、两个层次：一是“手段－对象”认识结构，即人与数学的认识关系，是认识手段与认识对象相统一的关系，数学对象是作为人的认识手段的对象化而存在，手段经人的构作、概括而生成对象，对象因有可验证的手段而具有存在的意义，认识手段与认识对象是统一的。二是“所指－能指”认识结构，意即把数学对象看成是客观实在的，人可以运用符号来所指，数学对象的意义通过能指所在的具有逻辑演绎性的形式系统所确定。这两个层次不是平等并列的、互相排斥的，而是后者以前者为基础。

　　 二、三个发展阶段：在对数学对象的认识发展中，这两种关系表现为三个阶段：第一阶段是不包括“所指－能指”结构在内的“手段－对象”结构阶段。即是说，这一阶段的“手段－对象”结构比较朴素，缺乏(不是说完全没有)“所指－能指”结构中数学对象认识的客观严谨性，我们把它称为“前所指能指的手段对象”结构阶段。人们对数学对象的早期认识阶段，属于这个阶段。第二阶段是“所指－能指”结构阶段。这是数学对象获得严谨性的主要阶段。经历这一阶段也是数学被树立为科学知识典范的必要条件。但人对数学的认识不会停留在这一阶段，否则数学只能是一个不涉及起因和目的的一种自封的、一环接一环的真理系统，而哥德尔已经证明了这样的完备系统是不存在的。因此，还有第三个阶段，这个阶段是经过了“所指－能指”式思想的洗礼，包含“能指－所指”在内而又超越了“能指－所指”的“手段－对象”阶段。这一阶段称为“后所指能指的手段对象”阶段。人对数学对象认识的深化和发展过程就是上述三个阶段不断循环发展的过程。

　　 为便于理解上述观点，不妨以人们对无理数的认识给予说明。

　　 第一，无理数认识的“前所指能指的手段－对象”阶段。

　　 如今我们都知道无理数是不可公度的数，即不能表示为两个整数之比。在数学历史上，古希腊的毕达哥拉斯学派最早发现无理数。该学派坚信“万物皆数”，认为数不能离开感觉的对象而独立存在(这里的数是指整数)。比如他们用一些点表示数，把数与几何等同起来。当初他们认为任意两条线段a、b都是“可共度的”，意即这两条线段一定有公共的度量单位t。这就是说，对于任意两条线段a、b，总能找到第三条线段t，使得a、b的长度都是t的长度的整数倍。例如，a是t的m倍，b是t的n倍(m，n都为整数)。那时毕达哥拉斯学派的成员直观地设想，只要把t的长度取得足够小，这件事是一定能够办到的。但是，之后他们发现存在两条不能公度的线段的情况。比如，等腰直角三角形斜边与一直角边或正方形对角线与其一边不可公度。(他们曾给出了证明，此处略)。也就是说，如果认为每一线段都对应着借助于单位长度而给出的一个数，则存在着无理数。

　　 我们可以这样解释，无理数的发现是因为毕达哥拉斯学派在数学认识中，事先运用度量的手段，然后用数试图表达所认识对象的一个结果。这种认识方式为“手段－对象”式。这正是人们认识无理数的第一阶段：“前所指能指的手段－对象”阶段，因为他们对这个对象的认识还比较模糊，不敢确信，还感到惊奇不安。对不可公度的量如，希腊人称做(意即“不能表达”)。所以，他们要么不承认它的存在，对此置之不顾，要么承认它的客观存在，且在一个逻辑演绎体系之中使它获得确定的意义。

　　 第二，无理数认识的“所指－能指”阶段。

　　 古希腊时代最大的数学家欧多克斯运用比例的理论，将可公度数(有理数)与不可公度数(无理数)统一在一起，为无理数提供了逻辑依据。他的做法的核心点是“定义量之比并定义比列(即两个比相等的关系)，把可公度比与不可公度比都包括在内”[14]56。欧多克斯的工作成果在《几何原本》第5篇中得到清楚的阐释。《几何原本》按其故有的演绎模式在第5篇中首先以定义开头，其中定义5是这样的：“定义5：四个量形成第一个量与第二个量之比以及第三个量与第四个量之比。我们说这两个比是相同的，如果取第一、第三两个量的任何相同的倍数，取第二、第四两个量的任何相同的(另一个)倍数后，从头两个量的倍数之间的小于、等于或大于的关系，便有后两个量的倍数之间的相应关系。”[14]79

　　 用我们现代的数的语言来说，无理数是存在的，其意义在这一关系式之中。欧多克斯对无理数的认识方式正是本文所称的“所指－能指”式。这一认识阶段处于对无理数认识的第二阶段，即“所指－能指”阶段。

　　 第三，无理数认识的“后所指能指的手段－对象”阶段。

　　 希腊人运用比例理论能够把客观存在的无理数严格地、确定地表达出来，但人们在认识上对此还并不满意。因为，我们已经掌握了有理数并知道怎样计算它们，而对无理数尽管知道它是不可公度的量，但对无理数，我们是否也能够定义它们的和与积呢？比如对这样的计算有没有意义等问题，长期以来没有得到解决。一直到一百多年前，才由戴德金、康托尔等人在研究实数的完备性时给出了回答。这些回答的基本思想是这样的，我们可以把实数(包括无理数在内)当做对有理数进行某种方式的运作而确定的对象。也就是说有理数按照某些确定的规则构成实数。这是一种“手段－对象”式的认识结构。

　　 比如，波尔查诺用一组长度趋于零且以有理数为端点的有理数区间套来确定一个实数。如果该数不是有理数，那么就是无理数。具体的，如无理数就是由有理数区间套所确定。这样，无理数的数学性质就可表示为有理数区间套的性质。而戴德金把全体有理数集进行分割，用“戴德金分割”的方法定义了无理数；康托尔则用有理数的基本序列来定义无理数。

　　 总之，以上这些定义的共同点都是把无理数看做对有理数进行某种方式的运作后的结果，即当做一种认识手段的对象。这种认识方式是“手段－对象”式。但在这一认识阶段，数学家同时也建立了严谨的实数连续统理论，将有理数与无理数统一在一起。所以，这就是人们对无理数认识的第三阶段：“后所指能指的手段对象”阶段。

　　 最后需要说明的是，本文借助符号学的基本思想，主要从认识方式上考察了人对数学对象的认识。对数学对象的实在性问题，本文不作研究。

　　 ［收稿日期］2012－04－20

　　 注释：

　　 ①北京大学哲学系教授张世英在《哲学导论》中将人与世界的关系问题区分为两种在世结构：“人－世界”和“主体－客体”。他所谓的“结构”是指人与世界相结合的关系和方式。本文作者受其启发，将人与数学对象相认识的关系和方式，称之为认识结构。

　　 ②不加定义的对象是相对的，比如自然数相对于有理数是不加定义的对象，而有理数相对于实数是不加定义的。

作者介绍：肖红(1970－ )，男，四川自贡人，西南大学数学与统计学院副教授，南京大学哲学系博士研究生，研究方向为数学哲学、数学教育（重庆 400715）；郑毓信(1944－ )，男，浙江镇海人，南京大学哲学系教授、博士生导师，研究方向为数学哲学等（南京 210093）。