高一数学集合与不等式

高一数学复习教案（一）

集合与不等式

1．理解集合、子集、交集、并集、补集、全集、空集的概念；了解集合之间属于、包含、相等关系的意义；掌握集合的有关术语和饿符号，并会用它们正确表示一些简单的集合；

2．掌握简单的含有绝对值的不等式及一元二次不等式的解法；

3．学会运用数形结合、分类讨论、等价转换的思想方法分析和解决有关集合与不等式的问题，形成良好的思维品质。

二．知识要点：

1．集合的主要题型及解题的基本思想方法

①判断集合与元素之间的关系，集合与集合之间的关系；

②集合的子、交、并、补的运算；

③已知集合之间的关系，求未知系数的值。

基本思想方法：①利用数轴，运用数形结合思想方法解题；②分类讨论思想。

2．不等式的基本题型与方法

（1）含有绝对值的不等式：解题关键是去绝对值符号。

基本方法是：①利用绝对值的几何意义； ②利用绝对值的定义分类讨论。

（2）解一元二次不等式：

①常系数的一元二次不等式；

②含字母系数的一元二次不等式大致分为两类：

（Ⅰ）∆的符号不确定，讨论∆的大小；

（Ⅱ）通过因式分解（或求根公式）得出两根，但根的大小不明确，则讨论根的大小。

（3）一元二次不等式的应用：

①已知一个不等式的解集，求另一个不等式的解集；

②恒成立问题：通常可结合二次函数图象来考虑。

三．基础训练：

1．A B =A ⇔ ；A B =B ⇔ ；

ðU (A B ) = ；ðU (A B ) = ；

2．n 个元素的集合{a 1, a 2, a n }共有 个子集，真子集有 个，非空真子集 个。

, ∈R 3．设ab 22，集合A ={2,4,8b -12b }，B ={8,b +ab +a }，若2∈B 且B ⊆A ，则a = ，b = ．

4．设全集为R ，P ={x |x ≥1}，Q ={x |06．设全集为R ，集合A ={x |-1

(痧 ðU B =U A ) (U B ) =7．设A , B 是全集U 的两个子集，且A ⊆B ，则以下成立的是 （ ） (A ) . 痧U A ⊆U B (B ) . 痧U A U B =U (C ) . A ðU B =φ (D ) . ðU A B =φ

8．不等式1

9．若0

210．当a ≠0时，ax +bx +c

四．例题分析：

例1．已知U =R ，A ={x |x =-t 2, t ∈R }，B ={x |x =3+|t |,t ∈R }，

求：（1）A B ； （2）ðU (A B ) ．

例2．若A ={x ||x +7|>10}，B ={x ||x -5|

例3．若关于x 的不等式x -ax -6a ≤0有解，且对解集中的任意x 1, x 2，总满足2

|x 1-x 2|≤5，求实数a 的范围。

例4．不等式(k +4k -5) x +4(1-k ) x +3

22

五．课堂作业：

1．下列六种关系：①0⊂{0}；②0∈{0}；③0=φ；④φ∈{0}；⑤φ⊂{0}；⑥φ∈{φ}，≠≠

其中正确的有 ．

2．若集合A ={x |ax 2+4x +4=0, x ∈R }中只有一个元素，则A 中实系数a

3．不等式(1-|x |)(1+x ) >0的解集为 （ ）

(A ) . {x |x

4．已知(m 2-4) x 2+(m +2) x +3>0对任意x ∈R 都成立，则实系数m 的取值范围为 ．

5．已知关于x 的二次不等式ax -2ax +a -4>0，

（1）当a =1时，其解集为 ；

（2）若不等式的解集为{x |-1

（3）若不等式的解集为空集，则a 的取值范围 ．

6．已知A ={x |x 2-3x +2≤0}，B ={x |x 2-(a +1) x +a ≤0}，

（1）若A ⊂B ，求a 的取值范围； 22≠

（2）B ⊆A ，求a 的取值范围；

（3）若A B 为单元素集时，求a 的值。

7．若A ={x |x +p x q +≤0}

求p , q 的值。

2，B ={x |x -3R ，A B ={x |30}，且A B =x +1

8．已知集合A ={x |x 2-3x -10≥0}，B ={x |2m -1

29．设f (x ) =x +ax +b ，A ={x |f (x ) =x }={a }，求a , b 的值。

10．解下列关于x 的不等式：

22（1）x +(a +2) x +a +1>0(a ∈R ) ； （2）ax +(ab +ac ) x +abc

3.4基本不等式ab ≤a +b 2

一、三维目标：

1、知识与技能：

理解基本不等式的内容及其证明，能应用基本不等式解决求最值、证明不等式、比较大小、

求取值范围等问题

2、过程与方法：

能够理解并建立不等式的知识链

3、情感、态度与价值观：

通过运用基本不等式解答实际问题，提高用数学手段解答现实生活中的问题的能力和意识

4、本节重点：

应用数形结合的思想，理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程

5、本节难点：

应用基本不等式求最值

二、课程引入：

第24届世界数学家大会在北京召开，会标设计如图：

四个以a ，b 为直角边的直角△ABC ，组成正方形ABCD 则AB =BC =CD =DA =a 2+b 2

1S ABCD =a 2+b 2 S ∆ABE =ab 2

如图可知：S ABCD ≥4S ∆ABE 即a +b ≥2ab

当且仅当小正方形EFGH 面积为0时取等号，即a -b =0, a =b 时取得等号

三、新课讲授：

（一）基本不等式的推证：

1、重要不等式与基本不等式

由引入中提到的重要不等式a +b ≥2ab ，将其中的a , b 用a , 代换， 得到基本不等式ab ≤2222a +b ，当且仅当a =b 时，即a =b 时取得等号。 2

22特别注意，重要不等式a +b ≥2ab 的适用范围是全体实数， 而基本不等式ab ≤a +b 的使用需要a >0, b >0 2

2、基本不等式的几种表述方式

平均数角度：两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数（均值不等式定理）

数列角度：两正数的等差中项不小于它们的等比中项

探究：基本不等式的几何表示：半径不小于半弦长

3、分析法推证基本不等式

要证ab ≤

（3）。 a +b ，只需证明a +b ≥2ab （2）。要证明（2）只需证明a +b -2ab ≥02

要证明（3）只需证明(a -b ) 2≥0（4）。（4）式显然成立，故得证。

（二）基本不等式的应用与提高：

1、你是设计师！

（1）春天到了，学校决定用篱笆围一个面积为100平米的花圃种花。有以下两种方案：

圆形花圃：造价12元/米 矩形花圃：造价10元/米

你觉得哪个方案更省钱呢？

分析及解答：因为初中学习过平面几何，同学们大都知道，同样长度的篱笆围圆形会比围矩形得到的面积大，由此可知，同样的面积肯定是为圆形用的材料省。但是本题涉及造价问题，两种篱笆的花费不同。圆形篱笆虽然需要的材料少，但是每米的花费高，所以到底应该用哪个方案需要动手算一下才能知道。在这里让学生分成两派，可以自己选择一个认为比较省钱的方案去计算。 圆形花圃：S 圆=πr =100, r =210, C =2πr =20, 花费约为432元

矩形花圃：设两边为x ，y ，C =2(x +y ) ≥4xy =40，故当x=y时花费最少为400元

（2）现在只有36米的篱笆可用，怎么样设计才能使得矩形花圃的面积最大？ 解：C =2(x +y ) =36, x +y =18 x +y ≥2xy ∴18≥2xy , ∴S =xy ≤81

当且仅当x =y 时，面积有最大值为81m 2

（3）有人出了个主意，让花圃的一面靠墙，利用墙壁作为花圃的一边，可以省一部分材料。那么发挥你的聪明才智，用这36米的篱笆，怎么样设计才能围出面积最大的花圃？ 分析：已知x +2y 为定值，求S =xy 的最大值的问题

2 解：x +2y =36≥2x ⋅2y ∴xy ≤162∴当且仅当x =2y 时，S 有最大值为162m

2、看谁算得快！

(1) 若x +y =4, 则x ⋅y 有最___值为___(2) 若x ⋅y =4, 则x +y 有最___值为___ (3) 若2x +y =8, 则x ⋅y 有最___值为___,此时x =__y =__

(4) 若x ⋅y =6则2x +3y 有最___值为___此时x =__y =__

4(5) 已知a >0, 则a +有最___值为___此时a =__ a 4 (6) 已知a >0, 则-a -有最___值为___此时a =__a 4

(7) 已知a

3、大家来挑错！ 444 解： y =x +≥2x ⋅=4∴函数值域为[4，+∞) (1) 求函数y =x +x 的值域x x

分析：结合上一系列题目中的（5）-（7）题可知，本题的解答忽略了对基本不等式使用时必须是正数这一点注意事项。

4(2) 已知a >3, 求a +的最小值 a -3

a >3, ∴a -3>0, ∴a +4≥2a ⋅4, 当a =4, 即a =4时, a +4取得最小值为解： 8a -3a -3a -3a -3导致所得结果并不是最小的值。

提醒同学注意：在使用基本不等式求最值为题时，式中的积或和必须是定值。

4π(3) 求函数y =sin α+其中α∈（0]的最小值 sin α2

解：y =sin α+4≥2sin α⋅4=4∴函数的最小值为4。sin αsin α

本题的解答没有注意sin α本身的限制，使得基本不等式的等号无法取得。

提醒同学注意：最值是否存在要考虑基本不等式中的等号是否能取得，在什么情况下取得。

（三）小结：

1、使用重要不等式和基本不等式需要注意适用条件，基本不等式需要正数，重要不等式可用于全体实数。

2、积定和最小、和定积最大。

3、使用基本不等式解决最值问题需要注意“一正，二定，三相等”

四、作业：

1、书后练习题。

2、请你给出大家来挑错环节里三道题目的正确解答。

五、课后反思：

1、多媒体的运用。

在引入部分，关于数学家大会的图标，如果可以进一步利用多媒体做出可以变形的效果，让学生更加直观的观察到变换过程的话，教学效果会更好。

已知S =xy 的最大值的问题2、 x +2y 为定值，求

应该引导学生多种思路考虑问题 1比如S =xy =x ⋅2y 这样的拼凑出定值条件的思路是学生应该掌握的。 2

3、因为本节是新课讲授，学生新接触一个知识，还没有能够很好的融会贯通。因此上在这个阶段不应该做过难的题目。一些简单的，同时可以起到巩固新知识的小题目往往可以起到更好的效果。本课中设计了一些基本可以口答的小题，让学生在很短的时间中完成。这不仅可以强化学生会本节主要内容的理解和运用，而且也对快速反应和解答题目进行了强化，提高学生解题效率。

4、让学生学会检查和挑错其实是很重要的。本课中的大家来挑错环节不仅可以强化学生对本节重点内容的理解，而且再遇到相似题型的时候可以避免犯类似的错误，提高教学效率。同时也培养了学生质疑精神，寻求科学真理的热情。