等差数列等比数列的性质讲解
等差数列的性质
性质1:如果{a n }是等差数列且p+q=r+s⇔a p +aq =ar +as
课本.P.39第5题
已知{a n }是等差数列。
()12a 5=a3+a7是否成立? 2a 5=a1+a9呢?为什么?(3)2a n =an-k +an+k(n
A .4 C .6
解析 a 2+a 8=2a 5,∴a 5=6. 答案 C
2辽宁) 在等差数列{a n }中,已知a 4+a 8=16,则a 2+a 10=( ) . A .12 C .20
B .16 D .24
(2)2a n =an-1+an+1(n ≥2)是否成立?据此你能得出什么结论?
k
0)是否成立?你能得出什么结论?
B .5 D .7
1
已知{
a n }为等差数列,
a 2+a 8=12,则a 5等于( ) .
解析 数列{a n }为等差数列,∴a 2+a 10=a 4+a 8=16. 答案 B
3 等差数列{a n }中,记S n 为前n 项和,若a 1+a 7+a 13是一确定的常数,下列各式①a 21;
②a 7;③S 13;④S 14;⑤S 8-S 5中,也为确定常数的是( ) A .②③⑤ C .②③④
B .①②⑤ D .③④⑤
解析:∵a 1+a 13=2a 7, ∴a 1+a 7+a 13=3a 7, 故a 7为确定的常数;
根据性质,在等差数列中,S 13=13·a 7, ∴S 13为确定的常数, S 8-S 5=a 6+a 7+a 8=3a 7, ∴S 8-S 5为确定的常数。 答案:A
等差数列{a n }中a 3=7,a 5=a2+6则a 6=13
5 (2012·辽宁) 在等差数列{a n }中,已知a 4+a 8=16,则该数列前11项和S 11=( B ) .
A .58 C .143
6.(2012年高考(新课标理))已知
B .88 D .176
{a n }为等比数列, a 4+a 7=2, a 5a 6=-8, 则a 1+a 10=
( )
C .-5
D .-7
A .7
1. 【解析】选D
B .5
a 4+a 7=2, a 5a 6=a 4a 7=-8⇒a 4=4, a 7=-2或a 4=-2, a 7=4
a 4=4, a 7=-2⇒a 1=-8, a 10=1⇔a 1+a 10=-7 a 4=-2, a 7=4⇒a 10=-8, a 1=1⇔a 1+a 10=-7
性质2:数列S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,„也是等差数列.
课本P46数列{a n }为等差数列,S n 是其前n 项和,求证:S 6,S 12-S 6, S 18-S 12也是等差数列。
1. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若
3S 31S
=,则6等于()
10S 63S 12
性质3:已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ,
则有,
a m A 2m-1
= b m B 2m-1
1.
.(2012·广州一模) 已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ,A 7n +45a 且( ) . B n n +3b n
A .2 C .4
B .3 D .5
7n +19A 7n +45a A 2n -114n +387n +19a 解析 由=7
B n n +3b n B 2n -12n +2b n n +1n +1+
12
n =1,2,3,5,11,共有5个. n +1答案 D
性质4:) 若{a n }是等差数列,公差为d ,则a k ,a k +m ,a k +2m ,„(k ,m ∈N *) 是公差为的等差数列.
P39. 数列{a n }是等差数列,取出数列中的所有奇数项,组成的新数列,
这个数列是等差数列吗?如果是,他的首项和公差是多少?
性质5:若2n 为偶数,则S 偶-S 奇=nd S 奇a n
,s 2n =n (a n +a n +1) =
S 偶a n+1
奇
若2n —1为奇数,s 2n -1=(2n -1) a n 则S
-S
偶
=a
中
(中间
n S 奇=项) . S 偶n -1
1. 一个数列共有10项,其偶数项之和是15,奇数项之和是12.5,他的首相与公差分别是(
11
, ) 22
性质6. 求S n 的最值
d d
S n =pn2+qn+r=n 2+(a 1-)n
22
课本:P45例题4
法一:因等差数列前n 项和是关于n 的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性n ∈N 。
法二:(1)“首正”的递减等差数列中,前n 项和的最大值是所有非负项之和
*
⎧a n ≥0即当a 1>0,d
a ≤0⎩n +1
(2) “首负”的递增等差数列中,前n 项和的最小值是所有非正项之和。 即 当a 10, 由⎨或求{a n }中正负分界项
⎧a n ≤0
可得S n 达到最小值时的n 值.
⎩a n +1≥0
法三:直接利用二次函数的对称性:由于等差数列前n 项和的图像是过原点的二次函数,故
n 取离二次函数对称轴最近的整数时,S n 取最大值(或最小值)。若S p = S q则其对称轴为
n =
p +q
2
例1. ►设等差数列{a n }满足a 3=5,a 10=-9. (1)求{a n }的通项公式;
(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的序号n 的值. 解 (1)由a n =a 1+(n -1) d 及a 3=5,a 10=-9得 ⎧a 1+2d =5,⎧a 1=9,⎨可解得⎨ ⎩a 1+9d =-9,⎩d =-2. 数列{a n }的通项公式为a n =11-2n .
(2)由(1)知,S n =na 1+
n (n -1)2
d =10n -n . 2
因为S n =-(n -5) 2+25,所以当n =5时,S n 取得最大值.
例2. 已知等差数列{a n }中,a 5|=|a9|,公差d.>0,则使得前n 项和S n 取得最小值时的正整数n 的值是(6和7) a 5和a 9是互为相反数。
例3. 已知等差数列{a n }中,S n 是他的前n 项和,若S 16>0,S 17
性质8
⎧s n ⎫若{a n }⎨⎬也是等差数列。
⎩n ⎭
点列(,1a 1),(2,a 2),。。。(n ,a n )共线。点列(,1s 1),(2,s 2),。。。(n ,s n )共线。
性质九。当S n =S m 时,S m+n=0
14.等差数列 {a n }的前项n 和为 S n ,满足 S 35=S 3992, a =(1, a n ), b =(2014,a2014) ,则
a ⋅b 的值为A
A. 2014 B. -2014 C. 1 D. 0
等比数列的性质
大纲:2.等差数列、等比数列
(1) 理解等差数列、等比数列的概念.
(2) 掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和公式.
(3) 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系,并能用等差数列、等比数列的关知识解决相应的问题.
(4) 了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系. 1. 若{a n }为等比数列,则a n
=a m q n -m (m , n ∈N *).
1.已知等比数列{a n }的公比为q ,记b n =a m (n -1) +1+a m (n -1) +2+„+a m (n -1) +m ,c n = a m (n -1) +1·a m (n -1) +2·„·a m (n -1) +m (m ,n ∈N *) ,则以下结论一定正确的是( ) A .数列{b n }为等差数列,公差为q m B .数列{b n }为等比数列,公比为q 2m C .数列{c n }为等比数列,公比为qm 2 D .数列{c n }为等比数列,公比为qm n
答案 C
解析 ∵b n =a m (n -1) (q +q 2+„+q m )
b n +1a mn (q +q 2+„+q m )a ∴==q m (常数) . b n a m (n -1)(q +q +„+q )a m (n -1)b n +1-b n 不是常数. 又∵c n =(a m (n -1) ) m q 1
+2+„+m
=(a m (n -1) q
m +1m
) , 2
c n +1a mn m ∴=() =(q m ) m =qm 2(常数) . c n a m (n -1)c n +1-c n 不是常数. ∴选C.
2. 若{a n }为等比数列,且m +n
=p +q (m , n , p , q ∈N *),则a m a n =a p a q .
1.在正项等比数列{a n }中, a 1和a 19为方程x 2-10x +16=0的两根,则a 8⋅a 10⋅a 12等于( C ) A.16 B.32
C .64 D.256
2.已知等比数列{a n }满足:|a 2-a 3|=10,a 1a 2a 3=125. (1)求数列{a n }的通项公式; 解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ,
33
⎧⎪a 1q =125,
则由已知可得⎨ 2
⎪|a 1q -a 1q |=10,⎩
5⎧⎧⎪a 1=3⎪a 1=-5,
解得⎨或⎨
⎪q =-1. ⎩⎪⎩q =3
5n -1n -1
故a n ·3或a n =-5·(-1) .
3
3. 若{a n }为等比数列,则{ka n }仍为等比数列,其中k 是非零常数. ..
4. 若{a n }为等比数列,则当(a n )恒有意义时(a n )仍为等比数列,其中k 是任意常数.
k
{
k
}
⎧a n ⎫k k 5. 若{a n }、{b n }为等比数列,则{, {k ⋅a n }, {a n }, {k ⋅a n ⋅b n }、⎨⎬仍为等比数列.
a n ⎩b n ⎭
6. 若{a n }为等比数列,则序号成等差的项也成等比数列,即:若{a n }为等比数列,{b n }为
正整数等差数列,则
{a }为等比数列.
b n
7. T n 为正项数列{a n }的前n 项积,则{a n }为等比数列⇔
}为等比数列.
n
8. 若S k 为等比数列{a n }的前n 项和,且S k ≠0,则{a n }依次k 项和仍为等比数列,
即S k , S 2k -S k , S 3k -S 2k . „仍为等比数列.
9. 数列{a n }为等比数列, 每隔k(k∈N ) 项取出一项(a m , a m +k , a m +2k , a m +3k , ⋅⋅⋅) 仍为等比数列 10. 如果{a n }是各项均为正数的等比数列, 则数列{loga a n }是等差数列 11. ①当q >1时, ②当0
*
a 1>0,则{a n }为递减数列1>0,则{a n }为递增数列
{a {a 1
③当q=1时, 该数列为常数列(此时数列也为等差数列); ④当q
12. 在等比数列{a n }中, 当项数为2n (n∈N ) 时,
*
S 奇1=,. S 偶q
13. 若{a n }是公比为q 的等比数列, 则S n +m =S n +q n ⋅S m 14. 等比数列的定义及通项公式及求和公式:
a n =a 1q n -1
q=1时,S n =na 1
q ≠1,S n =
a 11-q n 1-q
(
):
1(2013年高考广东卷(文))设数列{a n }是首项为1,公比为-2的等比数列,则a 1+|a 2|+a 3+|a 4|=________. 答案 15
解析 a 1=1,a 2=-2,a 3=4,a 4=-8. 所以a 1+|a 2|+a 3+|a 4|=15. 2.(2013年高考江西卷(理))等比数列x,3x+3,6x+6,..的第四项等于 A.-24 B.0 C.12 D.24 【答案】A
3.等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 3=a 2+10a 1,a 5=9,则a 1等于( ) 1111 B .- C. D .- 3399答案 C
解析 设等比数列{a n }的公比为q ,由S 3=a 2+10a 1得a 1+a 2+a 3=a 2+10a 1,即a 3=9a 1,1q 2=9,又a 5=a 1q 4=9,所以a 1=9
4 .(2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理))已知数列{a n }满足
4
, 则{a n }的前10项和等于 3
1
(A)-6(1-3-10) (B)(1-3-10) (C)3(1-3-10) (D)3(1+3-10)
93a n +1+a n =0, a 2=-
【答案】C
5.(2013年高考四川卷(理))在等差数列{a n }中, a 2-a 1=8, 且a 4为a 2和a 3的等比中项, 求数列{a n }的首项、公差及前n 项和.
【答案】解:设该数列公差为d , 前n 项和为s n . 由已知, 可得
2a 1+2d =8, (a 1+3d )=(a 1+d )(a 1+8d ).
所以a 1+d =4, d (d -3a 1)=0,
解得a 1=4, d =0, 或a 1=1, d =3, 即数列{a n }的首相为4, 公差为0, 或首相为1, 公差为3.
2
3n 2-n 所以数列的前n 项和s n =4n 或s n =
2
1
6.在正项等比数列{a n }中,a 5=,a 6+a 7=3. 则满足a 1+a 2+„+a n >a 1a 2„a n 的最大正整数
2n 的值为________. 答案 12
1
解析 由已知条件a 5a 6+a 7=3
211
即+q 2=3,整理得q 2+q -6=0 22解得q =2,或q =-3(舍去) 1---
a n =a 5q n 5=×2n 5=2n 6
21
a 1+a 2+„+a n n -1)
32a 1a 2„a n =222„2
-5-4-3
n -6
n 2-11n =22
n
n 2-11n +10
由a 1+a 2+„+a n >a 1a 2„a n 可知2>21
2n ≤12.
7.(2013年高考北京卷(理))若等比数列{a n }满足a 2+a 4=20,a 3+a 5=40,则公比q =_______;前n 项和S n =___________. 【答案】2, 2
n +1
-2
8.已知等比数列{a n }是递增数列,S n 是{a n }的前n 项和.若a 1,a 3是方程x 2-5x +4=0的两个根,则S 6=________. 答案 63
解析 ∵a 1,a 3是方程x 2-5x +4=0的两根,且q >1, ∴a 1=1,a 3=4,则公比q =2, 1×(1-26)
因此S 6=63.
1-2