金属的结构和性质 体心立方堆积中八面体空隙与四面体空隙半径计算

08金属的结构和性质

【8.1】半径为R的圆球堆积成正四面体空隙，试作图计算该四面体的边长和高、中心到顶点距离、中心距离地面的高度、中心到两顶点连县的夹角以及中心到球面的最短距离。

解：4个等径圆球作紧密堆积的情形示于图9.1（a）和(b)，图9.1(c)示出堆积所形成的正四面体空隙。该正四面体的顶点即球心位置，边长为圆球半径的2倍。

图9.1

由图和正四面体的立体几何知识可知： 边长AB=2R

12

AM=(AE-EM

2

122

)

高

⎡2⎛1⎫=⎢AB-BE2- DE⎪

⎝3⎭⎢⎣

12

2

⎤⎥⎥⎦

2

1

2

22⎡⎡2⎛1⎛⎫⎤2⎫⎛1⎫⎤2

⎥=⎢AB- AB⎪- AE⎪⎥=⎢(

2R)-R- R⎪ ⎪233⎢⎝⎭⎝⎭⎥⎢⎝⎭⎥⎣⎦⎣⎦

=≈1.633R

3OA=AM=R≈1.225R

42中心到顶点的距离：

1AM=R≈0.408R46中心到底边的高度：

中心到两顶点连线的夹角为：∠AOB

OM=

⎡2

⎡⎤OA+OB-AB-1⎢θ=cos-1⎢⎥=cos⎢⎣2OA

OB⎦⎢⎣

-1

=cos(-1/3)=109.47︒

中心到球面的最短距离=OA-R≈0.225R

2

2

2

2

/2-(

2R)⎤

⎥2⎥

2/2⎥⎦

)

2

)

本题的计算结果很重要。由此结果可知，半径为R的等径圆球最密堆积结构中四面体空 隙所能容纳的小球的最大半径为0.225R。而0.225正是典型的二元离子晶体中正离子的配位 多面体为正四面体时正、负离子半径比的下限。此题的结果也是了解hcp结构中晶胞参数的

基础(见习题9.04)。

【8.2】半径为R的圆球堆积成正八面体空隙，计算中心到顶点的距离。

解：正八面体空隙由6个等径圆球密堆积而成，其顶点即圆球的球心，其棱长即圆球的直径。空隙的实际体积小于八面体体积。图9.2中三图分别示出球的堆积情况及所形成的正八面体空隙。

图9.2

由图（c）知，八面体空隙中心到顶点的距离为：

OC=

而八面体空隙中心到球面的最短距离为：

1AC==2R=2

OC-R=-R≈0.414R

此即半径为R0.414 是典型的二元离子晶体中正离子的配位多面体为正八面体时r+/r-的下限值。

【8.3】半径为R的圆球围成正三角形空隙，计算中心到顶点的距离。

解：由图9.3可见，三角形空隙中心到顶点（球心）的距离为：

OA=

2AD=≈1.155R3

图9.3

三角形空隙中心到球面的距离为：

OA-R≈1.155R-R=0.155R

此即半径为R的圆球作紧密堆积形成的三角形空隙所能容纳的小球的最大半径，0.155是“三角形离子配位多面体”中r+/r-的下限值。

【8.4】半径为R的圆球堆积成A3结构，计算简单立方晶胞参数a和c的数值。

解：图9.4示出A3型结构的—个简单六方晶胞。该晶胞中有两个圆球、4个正四面体

空隙和两个正八面体空隙。由图可见，两个正四面体空隙共用一个顶点，正四面体高的两倍即晶胞参数c，而正四面体的棱长即为晶胞参数a或b。根据9.01题的结果，可得：

图9.4

a=b=2R c=⨯2= c/a=≈1.633

【8.5】证明半径为R的圆球所作的体心立方堆积中，八面体空隙只能容纳半径为0.154R的小球，四面体空隙可容纳半径为0.291R的小球。

证明：等径圆球体心立方堆积结构的晶胞示于图9.5（a）和（b）。由图9.5（a）可见，八面体空隙中心分别分布在晶胞的面心和棱心上。因此，每个晶胞中6个八面体空隙

1⎫⎛1

6⨯+12⨯ ⎪

4⎭。而每个晶胞中含2个圆球，所以每个球平均摊到3个八面体空隙。这些⎝2

八面体空隙是沿着一个轴被压扁了的变形八面体，，短轴为a（a是晶胞参数）。

（∙圆球， 八面体空隙中心， 四面体空隙中心）

图9.5

八面体空隙所能容纳的小球的最大半径r0即从空隙中心（沿短轴）到球面的距离，该

a-R

距离为2。体心立方堆积是一种非最密堆积，圆球只在C3轴方向上互相接触，因而

a=

⎫ar=1R-R0⎪R≈0.154R

。代入2⎭，得。

由图9.5（b）可见，四面体空隙中心分布在立方晶胞的面上，每个面有4个四面体中

1⎫⎛

6⨯4⨯ ⎪

2⎝⎭。而每个晶胞有2个球，所以每个球平均心，因此每个晶胞有12个四面体空隙

a

a摊到6个四面体空隙。这些四面体空隙也是变形的，两条长棱皆为，4条短棱皆为。

四面体空隙所能容纳的小球的最大半径rT等于从四面体空隙中心到顶点的距离减去球

⎡⎛a⎫⎛a⎫⎢ ⎪+ ⎪⎣⎝2⎭⎝4⎭的半径R

。而从空隙中心到顶点的距离为⎢

22

⎤=⎥

⎥⎦，所以小球的最大半径

1

2

-R=R-R=0.291R

为

【8.6】计算等径圆球密置单层中平均每个球所摊到的三角形空隙数目及二维堆积密度。

解：图9.6示出等径圆球密置单层的—部分。

图9.6

由图可见，每个球(如A)周围有6个三角形空隙，而每个三角形空隙由3个球围成，所

16⨯=23以每个球平均摊到个三角形空隙。也可按图中画出的平行四边形单位计算。该单

位只包含一个球（截面）和2个三角形空隙，即每个球摊到2个三角形空隙。

设等径圆球的半径为R，则图中平行四边形单位的边长为2R。所以二维堆积系数为：

πR2

(2R)

2

sin60︒

=

2

=0.906

【8.7】指出A1型和A3型等径圆球密置单层的方向是什么？

解：A1型等径团球密堆积中，密置层的方向与C3轴垂直，即与(111)面平行。A3型等径圆球密堆积中，密置层的方向与六重轴垂直，即与(001)面平行。下面将通过两种密堆积型式划分出来的晶胞进一步说明密置层的方向。

A1型密堆积可划分出如图9.7(a)所示的立方面心晶胞。在该晶胞中，由虚线连接的圆球所处的平面即密置层面，该层面垂直于立方晶胞的体对角线即C3轴。每一晶胞有4条体对角线，即在4个方向上都有C3轴的对称性。因此，与这4

个方向垂直的层面都是密置层。

图9.7

A3型密堆积可划分出如图9.7(b)所示的六方晶胞。球A和球B所在的堆积层都是密置

层．这些层面平行于(001)晶面，即垂直于c轴，而c轴平行于六重轴C6。

【8.8】请按下面（a）~（c）总结A1、A2及A3型金属晶体的结构特征。

（a） 原子密置层的堆积方式、重复周期（A2型除外）、原子的配位数及配位情况。 （b） 空隙的种类和大小、空隙中心的位置及平均每个原子摊到的空隙数目。

（c） 原子的堆积系数、所属晶系、晶胞中原子的坐标参数、晶胞参数与原子半径的关系

以及空间点阵型式等。

解：

(a)A1，A2和A3型金属晶体中原子的堆积方式分别为立方最密堆积(ccp)、体心立方密堆积(bcp)相六方最密堆积(hcp)。A1型堆积中密堆积层的重复方式为ABCABCABC„，三层为一重复周期，A3型堆积中密堆积层的重复方式为ABABAB„，两层为一重复周期。Al和A3型堆积中原子的配位数皆为12，而A2型堆积中原子的配位数为8—14，在A1型和A3型堆积中，中心原子与所有配位原子都接触．同层6个，上下两层各3个。所不同的是，A1型堆积中，上下两层配位原子沿C3轴的投影相差60 呈C6轴的对称性，而A3型堆积中，上下两层配位原子沿c轴的投影互相重合。在A2型堆积中，8个近距离(与中心原子

相距为)配位原子处在立方晶胞的顶点上，6个远距离(与中心原子相距为a)配位原子

处在相邻品胞的体心上。

(b)A1型堆积和A3型堆积都有两种空隙，即四面体空隙和八面体空隙。四面体空隙可容纳半径为0.225R的小原子．八面体空隙可容纳半径为0.414R的小原子(R为堆积原子的半径)。在这两种堆积中，每个原子平均摊到两个四面体空隙和1个八面体空隙。差别在于，两种堆积中空隙的分布不同。在A1型堆积中，四面体空隙的中心在立方面心晶胞的体对角

线上，到晶胞顶点的距离为。八面体空隙的中心分别处在晶胞的体心和棱心上。在

352112170,0,;0,0,;,,;,,

88338338。而八面A3型堆积中，四面体空隙中心的坐标参数分别为

211213,,;,,3体空隙中心的坐标参数分别为34334。A2型堆积中有变形八面体空隙、变形四面

体空隙和三角形空隙(亦可视为变形三方双锥空隙)。八面体空隙和四面体空隙在空间上是重

复利用的。八面体空隙中心在体心立方晶胞的面心和棱心上。每个原子平均摊到3个八面体空隙，该空隙可容纳的小原子的最大半径为0.154R。四面体空隙中心处在晶胞的面上。每个原子平均摊到6个四面体空隙，该空隙可容纳的小原子的最大半径为0.291R。三角形空隙实际上是上述两种多面体空隙的连接面，算起来，每个原子摊到12个三角形空隙。 （c）

A1 A2 A3 金属的结构形式 原子的堆积系数

所属晶系 晶胞形式

74.05% 立方 面心立方

68.02% 立方 体心立方

74.05% 六方 六方

晶胞中原子 的坐标参数

110,0,0;,,0;

221111,0,;0,,2222

0,0,0;111

,,222

0,0,0;211,,332 a=b=2R

c=

晶胞参数与

原子半径的关系

a=

a=

R

点阵形式 面心立方 体心立方 简单六方

综上所述，A1，A2和A3型结构是金属单质的三种典型结构形式。它们具有共性，也有差异。尽管A2型结构与A1型结构同属立方晶体，但A2型结构是非最密堆积，堆积系数小，且空隙数目多，形状不规则，分布复杂。搞清这些空隙的情况对于实际工作很重要。A1型和A3型结构都是最密堆积结构，它们的配位数、球与空隙的比例以及堆积系数都相同。差别是它们的对称性和周期性不同。A3型结构属六方晶系，可划分出包含两个原子的六方晶胞。其密置层方向与c轴垂直。而A1型结构的对称性比A3型结构的对称性高，它属立方晶系，可划分出包含4个原子的面心立方晶胞，密置层与晶胞体对角线垂直。A1型结构将原子密置层中C6轴所包含的C3轴对称性保留了下来。另外，A3型结构可抽象出简单六方点阵，而A1型结构可抽象出面心立方点阵。

【8.9】画出等径圆球密置双层图及相应的点阵素单位，指明结构基元。

解：等径圆球的密置双层示于图9.9。仔细观察和分子便发现，作周期性重复的最基本的结构单位包括2个圆球，即2个圆球构成一个结构基元。这两个球分布在两个密置层中，如球A和球B。

图9.9

密置双层本身是个三锥结构，但由它抽取出来的点阵却为平面点阵。即密置双层仍为二维点阵结构。图中画出平面点阵的素单位，该单位是平面六方单位，其形状与密置单层的点阵素单位一样，每个单位也只包含1个点阵点，但它代表2个球。

等径圆球密置双层是两个密置层作最密堆积所得到的唯一的一种堆积方式。在密置双层结构中，圆球之间形成两种空隙，即四面体空隙和八面体空隙。前者由3个相邻的A球和1个B球或3个相邻的B球和1个A球构成。后者则由3个相邻的A 球和3个相邻的B球构成。球数:四面体空隙数:八面体空隙数=2:2:1

【8.10】金属铜属于A1型结构，试计算（111）、（110）和（100）等面上铜原子的堆积系数。

解：参照金属铜的面心立方晶胞，画出3个晶面上原子的分布情况如下（图中未示出原子的接触情况）：

（111）面是密置面，面上的所有原子作紧密排列。该面还是的铜原子的堆积系数等于三角形单位中球的总最大截面积除以三角形的面积。三角形单位中包含两个半径为R的球

1⎫⎛1

3⨯+3⨯ ⎪

6⎭，所以该面上原子的堆积系数为： ⎝2

2==0.906

【8.11】 金属铂为A1型结构，立方晶胞参数a=392.3pm，Pt的相对原子质量为195.0，试求金属铂的密度及原子半径。

解：因为金属铂属于A1型结构，所以每个立方晶胞中有4个原子。因而其密度为：

4M4⨯195.0g mol-1

D=3=

aNA(392.3⨯10-10cm)3⨯6.022⨯1023mol-1

-3

5 cm =21.4g

A1型结构中原子在立方晶胞的面对角线方向上互相接触，因此晶胞参数a和原子半径R的

关系为a=，所以：

R=

=

=138.7pm

【8.12】 硅的结构和金刚石相同，Si的共价半径为117pm，求硅的晶胞参数，晶胞体积

和晶胞密度。 解：硅的立方晶胞中有8个硅原子，它们的坐标参数与金刚石立方晶胞中碳原子的坐标参数相同。硅的共价半径和晶胞参数的关系可通过晶胞对角线的长度推导出来。设硅的共价半径为rSi，晶胞参数为a，则根据硅原子的坐标参数可知，体对角线的长度为8rSi。而体对角线

，因而有8rSi=，所以：

a=

晶胞体积为：

Si=117pm=540pm

3

⎫V=a3=117pm⎪=1.58⨯108pm3

⎭

晶体密度为：

D=

8⨯8.29g mol-1

3

金刚石、硅和灰锡等单质的结构属立方金刚石型（A4型），这是一种空旷的结构型式，

原子的空间占有率只有34.01%。

⎫-1023-1

117⨯10cm⎪⨯6.022⨯10mol⎭

-3

=2.37g cm

【8.13】已知金属钛为六方最密堆积结构，钛原子半径为146pm，试计算理想的六方晶胞参数及晶体密度。 解：晶胞参数为：

a=b=2R=2⨯146pm=292pm

c==146pm=477pm

晶体密度为：

D=

=

=4.51g cm-3

2M

abcsin120︒⨯NA

-1

-1

2.70g⋅cm【8.14】 铝为面心立方结构，密度为，试计算它的晶胞参数和原子半径。用

CuKa射线摄取衍射图，33衍射线的衍射角是多少？

解：铝为面心立方结构，因而一个晶胞中有4个原子。由此可得铝的摩尔质量M、晶胞参数a，晶体密度D及Avogadro常数NA之间的关系为：D=4M/aNA，所以，晶胞参数：

3

⎛4M⎫⎛⎫4⨯26.98g mol

a= =⎪ -323-1⎪DN2.70g cm⨯6.022⨯10mol⎝⎭ ⎝A⎭

=

404.9pm

面心立方结构中晶胞参数a与原子半径R的关系为a=

，因此，铝的原子半径为：

13

-1

13

R=

根据Bragg方程得：

=

=143.2pm

sinθ=

λ

2dhkl

将立方晶系面间距dhkl，晶胞参数

a和衍射指标hkl间的关系代入，得：

sinθ=

=

154.2pm⨯(3+3+3

2

2

1

22

)

2⨯404.9pm

=0.9894

θ=81.7︒

【8.15】 金属纳为体心立方结构，a=429pm，计算：

（a） Na的原子半径； （b） 金属钠的理论密度； （d） （110）的间距。 解：

（a） 金属钠为体心立方结构，原子在晶胞体对角线方向上互相接触，由此推得原子半径r

和晶胞参数a的关系为：

代入数据得：

r=

（b） 每个晶胞中含两个钠原子，因此，金属钠的理论密度为：

r=

429pm=185.8pm

2M2⨯22.99g mol-1

D=3=

aNA(429⨯10-10cm)3⨯6.022⨯1023mol-1

-3

d(110)

（c）

=0.967g cm

a===303.4pm

2221/2(

1+1+0)

【8.16】 金属钽为体心立方结构，a=330pm，试求： （a） Ta的原子半径；

（b） 金属钽的理论密度（Ta的相对原子质量为181）；

（c） （110）面的间距

（d） 若用λ=154pm的X射线，衍射指标为220的衍射角θ的数值是多少？ 解：

（a） 钽原子的半径为：

r=

（b） 金属钽的理论密度为：

=330pm=143pm4

2M2⨯181g mol-1D=3=

aNA(330⨯10-10cm)3⨯6.022⨯1023mol-1

7 cm =16.g

（c）（110）点阵面的间距为：

（d）根据Braggd(

110)=

-3

=

=233pm

sinθ220=

λ

2d(220)

=

λ

2⨯d(110)

2

=

λ

d(

110)

=

=0.6598

【8.17】金属镁属A3型结构，镁的原子半径为160pm。

（a） 指出镁晶体所属的空间点阵型式及微观特征对称元素； （b） 写出晶胞中原子的分数坐标；

（c） 若原子符合硬球堆积规律，计算金属美的摩尔体积；

（d） 求d002值。 解：

（a）镁晶体的空间点阵型式为简单六方。两个镁原子为一结构基元，或者说一个六方晶胞即为一结构基元。这与铜、钠、钽等金属晶体中一个原子即为一结构基元的情况不同。这要从结构基元和点阵的定义来理解。结构基元是晶体结构中作周期性重复的最基本的单位，它必须满足三个条件，即每个结构基元的化学组成相同、空间结构相同，若忽略晶体的表面效

应，它们的周围环境也相同。若以每个镁原子作为结构基元抽出一个点，这些点不满足点阵的定义，即不能按连接任意2个镁原子的矢量进行平移而使整个结构复原。 镁晶体的微观特征对称元素为63和。 （b）晶胞中原子的分数坐标为：

2110,0,0;,,

332。

（c）一个晶胞的体积为abcsin120︒，而1mol晶体相当于NA/2个晶胞，故镁晶体的摩尔

体积为：

NANabcsin120︒=A

⨯2R⨯2R⨯2

2

=AR3

=6.022⨯10mol⨯(160⨯10

23

-1

-10

cm)

3

mol =13.95cm

3-1

4

πR3NA

也可按下述思路计算：1mol镁原子的真实体积为3，而在镁晶体中原子的堆积

系数为0.7405，故镁晶体的摩尔体积为：

443

πR3NA/0.7405=π(160pm)⨯6.022⨯1023mol-1/0.7405

3 3

3-1mol =13.95cm

1d002=

d001

2（d），对于A3型结构，d001=c

，故镁晶体002衍射面的面间距为：

111d002=d001=c==160pm=261.3pm

222

用六方晶系的面间距公式计算，所得结果相同。

【8.18】Ni是面心立方金属，晶胞参数a=352.4pm，用CrKa辐射（λ=229.1pm）拍粉末图，列出可能出现的铺线的衍射指标及其衍射角θ的数值。

h

解：对于点阵型式属于面心立方的晶体，可能出现的衍射指标的平方和(

4，8，11，12，16，19，20，24等。但在本题给定的实验条件下：

2

+k2+l2

)

为

3，

sinθ=

=

=0.32222222

当h+k+l≥11时，sinθ>1，这是不允许的。因此，h+k+l只能为

3，4和8，即只能出现

111，200和220衍射。相应的衍射角为：

θ111=arcsinθ111=arcsin=34.26︒θ200=arcsinθ200

θ220=arcsinθ220

(=arcsin(=40.55︒=arcsin(=66.82︒

【8.19】已知金属Ni为A1型结构，原子间接触距离为249.2pm，试计算： （a） Ni的密度及Ni的立方晶胞参数；

（b） 画出（100）、（110）、（111）面上原子的排布方式。 解：

（a） 由于金属Ni为A1型结构，因而原子在立方晶胞的面对角线方向上互相接触。由此

可求得晶胞参数：

晶胞中有4个Ni原子，因而晶体密度为：

a=249.2pm=352.4pm

4M4⨯58.69g mol-1

D=3=

aNA(352.4⨯10-10cm)3⨯6.022⨯1023mol-1

（b）

1 cm =8.9g

-3

【8.20】 金属锂晶体属立方晶系，（100）点阵面的面间距为350pm，晶体密度为

0.53g⋅cm-3，从晶胞中包含的原子数目判断该晶体属何种点阵型式？（Li的相对原子质

量为6.941）。

解：金属锂的立方晶胞参数为：

(100)

设每个晶胞中锂原子数为Z，则：

a=d=350pm

3

Z=

0.53g cm-3⨯(350⨯10-10cm)6.941g mol⨯(6.022⨯10mol

-1

23

-1-1

立方晶系晶体的点阵形式有简单立方、体心立方和面心立方三种，而对立方晶系的金属晶体，可能的点阵形式只有面心立方和体心立方两种。若为前者，则一个晶胞中应至少有4个原子。由此可知，金属锂晶体属于体心立方点阵。

【8.21】 灰锡为金刚石型结构，晶胞中包含8个Sn原子，晶胞参数a=648.9nm （a） 写出晶胞中8个Sn原子的分数坐标； （b） 算出Sn的原子半径；

（c） 灰锡的密度为5.75g⋅cm，求Sn饿相对原子质量；

（d） 白锡属四方晶系，a=583.2pm，c=318.1pm，晶胞中含有4个Sn原子，通过

计算说明由白锡转变为灰锡，体积是膨胀了，还是收缩了？ （e） 白锡中Sn-Sn间最短距离为302.2pm，试对比灰锡数据，估计哪一种锡的配位数

高？

解：

（a） 晶胞中8个锡原子的分数坐标分别为：

-3

)

=1.97≈2

[***********]0,0,0;,,0;,0,;0,,;,,;,,;,,;,,

[***********]

（b） 灰锡的原子半径为：

rSn(

灰)=

（c） 设锡的摩尔质量为M，灰锡的密度为

=648.9pm=140.5pm

DSn(灰)

，晶胞中原子数为Z，则：

M=

=

DSn(灰)a3NA

Z

3

5.75g cm-3⨯(648.9⨯10-10cm)⨯6.022⨯1023mol-1

8

=118.3g mol-1

即锡的相对原子质量为118.3。 （d） 由题意，白锡的密度为：

DSn(白)=

4Ma2cNA

=

4⨯118.3g mol-1

(583.2⨯10

-10

cm)⨯(318.1⨯10-10cm)⨯6.022⨯1023mol-1

2

=7.26g cm-3

可见，由白锡转变为灰锡，密度减小，即体积膨胀了。 （e） 灰锡中Sn－Sn间最短距离为：

2r=2⨯140.5pm=281.0pm

Sn(灰)

小于白锡中Sn－Sn间最短距离，由此可推断，白锡中原子的配位数高。

【8.22】 有一黄铜合金含Cu75%，Zn25%（质量），晶体的密度为8.5g⋅cm。晶体属立方面心点阵结构，晶胞中含4个原子。Cu的相对原子质量63.5，Zn65.4。 （a） （b） （c） （d） 解：

求算Cu和Zn所占的原子百分数； 每个晶胞中含合金的质量是多少克？ 晶胞体积多大？

统计原子的原子半径多大？

-3

（a） 设合金中铜的原子分数（即摩尔分数）为x，则锌的原子分数（即摩尔分数）为1-x，

由题意知，

()

解之得： x=0.755,1-x=0.245

所以，该黄铜合金中，Cu和Zn的摩尔分数分别为75.5%和24.5%。 （b） 每个晶胞中含合金的质量为：

63.5x:65.41-x=0.75:0.25

(0.75⨯63.5g mol

-1

+0.25⨯65.4g mol-1)⨯4

23

-1

6.022⨯10mol

（c） 晶胞的体积等于晶胞中所含合金的质量除以合金的密度，即：

=4.25⨯10-22g

4.25⨯10-22gV==5.0⨯10-23cm3

-3

8.5g cm

（d） 由晶胞的体积可求出晶胞参数：

a=V=(5.0⨯10cm

-23

13133

)

由于该合金属立方面心点阵结构，因而统计原子在晶胞面对角线方向上相互接触，由此可推得统计原子半径为：

=368pm

r=

=

=130pm

【8.23】AuCu无序结构属立方晶系，晶胞参数a=358pm⎣

有（a）变为（c）时，晶胞大小看作不变，请回答； （a） 无序结构的点阵型式和结构单元；

（b） 有序结构的点阵型式、结构单元、和原子分数坐标；

线的最小衍射角(θ)的数值。

⎡如图9.3.1(c)⎤⎦

。若合金结构

（c） 用波长154pm的X射线拍粉末图，计算上述两种结构可能在粉末图中出现的衍射

解：

（a） 无序结构的点阵型式为面心立方，结构基元为Cu1-Aux，即一个统计原子。

（b） 有序结构的点阵型式为简单四方，结构基元为CuAu，上述所示的立方晶胞[图9.23

（b）]可进一步划分成两个简单四方晶胞，相当于两个结构基元。取[图9.23（b）]

中面对角线的1/2为新的简单四方晶胞的a轴和b轴，而c轴按[图9.23（b）]不变，在新的简单四方晶胞中原子分数坐标为：

111

Au:0,0,0;Cu:,,.

222

（c） 无序结构的点阵型式为面心立方，它的最小衍射角指标应为111，因此最小衍射角

为：

⎡λ2221⎤

θ111=arcsinθ111=arcsin⎢(1+1+1)2⎥

⎣2a⎦

有序结构属四方晶系，其面间距公式为：

2

=arcsin=arcsin(0.3464)⎝⎭=20.3︒

2

2

-1

2

⎛h+kl⎫dhkl= +22⎪ac⎝⎭

根据Bragg方程，最小衍射角对应于最大衍射面间距，即对应于最小衍射指标平方和。最小

衍射指标平方和为1。因此。符合条件的衍射可能为100，010和001。但有序结构的点阵型式为简单四方，c>a，因此符合条件的衍射只有001。最小衍射角θ001可按下式计算： sinθ001=λ/2d001=λ/2c =0.200

=154pm/2⨯385pm

θ001=11.5︒

【8.24】α-Fe和γ-Fe分别属于体心立方堆积（bcp）和面心立方堆积（ccp）两种晶型。前者的原子半径为124.0pm，后者的原子半径为127.94pm/

（a） 对α-Fe：

① 下列“衍射指标”中哪些不出现？

110，200，210，211，220，221，310，222，321，⋅⋅⋅，521。

② 计算最小Bragg角对应的衍射面间距；

③ 写出使晶胞中两种位置的Fe原子重合的对称元素的名称、记号和方位。 （b） 对γ-Fe：

① 指出密置层的方向；

② 拖把该密置层中所形成的三角形空隙看作具体的结构，支持该结构的结构单元； ③ 计算二维堆积密；

④ 请计算两种铁的密度之比。 解：（1）（a）体心的衍射指标要求指标之和为偶数，即h+k+l=偶数。所以210，221两个衍射不可能出现。

（b）最小角度的衍射指标为110。

d110=a=

a/半径为r的原子进行体心密堆积，a=4r

a=4⨯124.1pm=286.6pm

d110=286.6pm=202.7pm

1110,0,0;,,.

222 （c）晶胞中两种位置上Fe原子的坐标为

（Ⅰ）和c轴平行，(

x,y)坐标为(1/4,1/4)的21轴。

)面平行，z坐标为1/4的n滑移面。 （Ⅱ）和(

均可使晶胞中的两个Fe原子重合。 （2）（a）密置层和（1 1 1）面平行。

（b）密置层的结构基元为1个Fe原子，即其素晶胞包含1个Fe原子。晶胞中含三角形空隙2个，即结构基元为1个Fe原子和2个三角形空隙。

001

（c）密置层的二维堆积密度为：

2πr/(2r)sin60︒=0.906

原子所占面积/六方素晶胞的面积=

2

（d）若面心立方堆积以下标F表示，体心堆积以下标I表示，则：

2(286.6pm)DF4M/NAVF2VI2aI32(

286.6pm)===3===0.99333

DI2M/NAVIVFaF(361.9pm)4r33

(

【8.25】某金属晶体属于hcp结构，原子半径为160.0pm：

（a） 计算d003；

（b） 画出该警惕的晶胞沿特征对称元素的投影图，在图上标出特征对称元素的位置并给

出名称（亦可用符号表示）； （c） 画出该晶体的多面体空隙中心沿特征对称元素的投影图（可分别用O和T表示八面

体和四面体），画出由O和T构成的二维点阵结构的点阵素单位，指出结构单元。

111d003=c==160.0pm=174.2pm

333解：（a

）

（b）该晶体属六方晶系，特征对称元素为六重对称轴，包括和63轴。六方晶胞沿六重轴

1

的投影图及特征对称元素的位置分别示于图9.25（a）和9.25（b）。原子旁标明的0，2等

数字表示它在c轴（或z轴）上的分数坐标位置。

（c）hcp晶体结构中存在四面体空隙（以黑球表示其中心位置）和八面体空隙（以白球表示其中心位置），如图9.25所示。图中多面体空隙的位置是相对图9.25（a）所示的结构，标明的数字是c轴的分数坐标，结构基元是4个四面体空隙和2个八面体空隙。