自动控制理论第三版课后习题答案(夏德钤翁贻方版)
《自动控制理论 第3版》习题参考答案
第二章
2-1 (a)
U2sR1R2CSR2R2R1CS1
RRU1sR1R2CSR1R2R1R212
CS1
R1R2
(b)
U1s1
U2sR1R2C1C2s2(R1C1R1C2R2C2)s1
2-2 (a)
UsRU2sRCs1UsRR1
1 (b) 2 (c) 211Cs1 U1sRRU1sRCsU1sR4Cs1
4
2-3 设激磁磁通Kfif恒定
Cms
60Uas
sLaJs2LafRaJsRafCeCm
2
2-4
Cs
RsKACm
60
iLaJs3iLafRaJs2iRafCeCmsKACm
2
2-5 id2.191030.084ud0.2 2-8 (a)
G1G2G3G1G2G3G4CsCs (b)
Rs1G1H1G3Rs1G1G2H1G2G3G4H2G1H32-9 框图化简中间结果如图A-2-1所示。
图A-2-1 题2-9框图化简中间结果
Cs0.7s0.42
3
Rss0.90.7ks21.180.42ks0.52
2-10
G1G2G3CsG4
Rs1G2H1G1G2H1G2G3H2
2-11 系统信号流程图如图A-2-2所示。
图A-2-2 题2-11系统信号流程图
C1sG1G2G3Rs
1G1G2G4G1G2G4G5H1H2C
2sG1G2G4G5G6H2Rs
1G1G2G4G1G2G4G5H1H2
2-12
(a)
Cs1
Rs
1cdh
abcdefagdefabcdiadgiCsRs
R2R 1C1R2C2s2R1C1R2C1R2C2s1
2-13 由选加原理,可得
Cs
1
1HGG1G2RsG2D1sG2D2sG1G2H1D3s
11H2G2
第三章
3-1 分三种情况讨论 (a) 当1时
s1212n,s21
n
11ntctt21ntee
2122n22n211
(b) 当01时
s1j2n,s2
j2
nctt2
2
nt
2
122nt
n
e
cosnt
n
2esin2nt
n
t
2
1
sinnt
22
2
ntarctg2
n
e
n
122
(c) 当1时
s1,2n
ctt
2
2
ent1n
n
tn2(b)
设系统为单位反馈系统,有
ErsRscsRs
ss2n 22
s2nn
ss2n12
s2s22nsn2n
系统对单位斜坡输入的稳态误差为 esrims
s0
3-2 (1) Kp50,Kv0,Ka0 (2) Kp,KvK,Ka0
(3) Kp,Kv,Ka
KK
,Ka0 (4) Kp,Kv
10200
3-3 首先求系统的给定误差传递函数
es
误差系数可求得如下
E(s)1s(0.1s1)
R(s)1G(s)0.1s2s10
s(0.1s1)
02s0s0
0.1ss10
d10(0.2s1)
C1limeslim0.122s0s0
ds(0.1ss10)C0limeslim
d22(0.1s2s10)20(0.2s1)2
C2lim2eslim0
s0s0
ds(0.1s2s10)3
(1) r(t)R0,此时有rs(t)R0,
s(t)rr(t)0,于是稳态误差级数为 s
esrtC0rs(t)0,t0
(2) r(t)R0R1t,此时有rs(t)R0R1t,s(t)R1,rr(t)0,于是稳态误差级数为 s
s(t)0.1R1,t0 esrtC0rs(t)C1r
(3) r(t)R0R1t为
11
s(t)R1R2t,R2t2,此时有rs(t)R0R1tR2t2,r,于是稳态误差级数rs(t)R2
22
s(t)esrtC0rs(t)C1r
3-4 首先求系统的给定误差传递函数
C2
t0 rs(t)0.1(R1R2t),2!
es
误差系数可求得如下
E(s)1s(0.1s1)
R(s)1G(s)0.1s2s500
s(0.1s1)
02s0s0
0.1ss500
d500(0.2s1)1
C1limslimes0s0
ds(0.1s2s500)2500C0limeslim
d2100(0.1s2s500)1000(0.2s1)298
C2limslime
s0s0
ds2(0.1s2s500)35002
rs(t)sin5ts(t)5cos5tr
rs(t)25sin5t
稳态误差级数为
C
esrtC0225sin5tC15cos5t
2
4.9104sin5t1102cos5t
3-6 系统在单位斜坡输入下的稳态误差为 esr加入比例—微分环节后
2
n
CsRs1asCsGs
1asGsRs1asCsRs
1Gss2s
s2as
EsRsCsRs
2n
2
2
n
n
2
n
s2nsn
2
n
2
Rs
1s2
2an
esrimsEs
s0
n
可见取a
2
n
,可使esr0
3-7
0.598,n19.588
4
ss24s6
3-8 Gs
3-9 按照条件(2)可写出系统的特征方程
(s1j)(s1j)(sa)(s22s2)(sa)s(2a)s(22a)s2a0
将上式与1G(s)0比较,可得系统的开环传递函数
3
2
G(s)
2a
ss2(2a)s(22a)
根据条件(1),可得
Kv
解得a1,于是由系统的开环传递函数为
12a
0.5
esr22a
G(s)
2
ss23s4
1M3-10
2M
pp
46.6%,ts7.99s2%,(n2.12rad/s,0.24)16.3%,ts8s2%,(n1rad/s,0.5)
3t
s
15s,(n0.4rad/s,1.25),过阻尼系统,无超调。
3-11 (1)当a = 0时,0.354,n22。
(2)n不变,要求0.7,求得a = 0.25 3-12 1. 单位脉冲响应 (a) 无零点时 ct
n
2
entsi2nt,t0
(b)有零点z1时
2n2,t0 ctesintarctgn
1n2
比较上述两种情况,可见有z1零点时,单位脉冲响应的振幅较无零点时小,而且产生相移,相移角为
2nnn
2
nt
2n
。 a1n
2.单位阶跃响应 (a) 无零点时
ct1
1
2
e
nt
22
sinntarctg
,t0
(b)有零点z1时
ct1
2nn
2
2
2
entsin2ntarctg
n
,t0
加了z1的零点之后,超调量Mp和超调时间tp都小于没有零点的情况。
3-13 系统中存在比例-积分环节
K11s1
,当误差信号et0时,由于积分作用,该环节的输出保持不变,故系s
统输出继续增长,知道出现et0时,比例-积分环节的输出才出现减小的趋势。因此,系统的响应必然存在超调现象。
3-14 在rt为常量的情况下,考虑扰动nt对系统的影响,可将框图重画如下
图A-3-2 题3-14系统框图等效变换
Cs
K2s
Ns
s22s1K1K21s11 。 K1
根据终值定理,可求得nt为单位阶跃函数时,系统的稳态误差为0,系统的稳态误差为nt为单位斜坡函数时,
从系统的物理作用上看,因为在反馈回路中有一个积分环节,所以系统对阶跃函数的扰动稳态误差为零。在反馈回路中的积分环节,当输出为常量时,可以在反馈端产生一个与时间成正比的信号以和扰动信号平衡,就使斜坡函数的扰动输入时,系统扰动稳态误差与时间无关。 3-15 (1)系统稳定。
(2)劳斯阵列第一列符号改变两次,根据劳斯判据,系统有两个极点具有正实部,系统不稳定。 (3)劳斯阵列第一列符号改变两次,根据劳斯判据,系统不稳定。
(4)系统处于稳定的临界状态,由辅助方程As2s46s24可求得系统的两对共轭虚数极点
s1,2j;s3,4j2。须指出,临界稳定的系统在实际中是无法使用的。
3-16 (1)K>0时,系统稳定。 (2)K>0时,系统不稳定。 (3)0
3
2
列写劳斯表,得出系统稳定应满足的条件 由此得到和K应满足的不等式和条件
(2)(K1)2K
0
2
0
2(K1)
,K1,2
K1
9 2.5
15 2.28
30
2.13
100 2.04
K
2 6
3 4
4 3.3
5 3
根据列表数据可绘制K为横坐标、为纵坐标的曲线,闭环系统稳定的参数区域为图A-3-3中的阴影部分。
图A-3-3 闭环系统稳定的参数区域
3-18 根据单位反馈系统的开环传递函数
Gs
3
2
K(s3)
2
s(s2s2)
得到特征方程s2s(K2)s3K0,列写劳斯表
s3s2s1s0
124KK
2K3K
根据劳斯判据可得系统稳定的K值范围 0K4
当K4时系统有一对共轭虚数极点,此时产生等幅振荡,因此临界增益Kc4。
2
根据劳斯表列写Kc4时的辅助方程 2s120
解得系统的一对共轭虚数极点为s1,2j6,系统的无阻尼振荡频率即为6rad/s。
第四章
4-2(1)Gs
K1
ss1s3分离点(0.45,j0),与虚轴交点j3K112。常规根轨迹如图A-4-2所示。
图A-4-2 题4-2系统(1)常规根轨迹
(2)Gs
K1
2
ss4s4s20
分离点2,j0,2j2.5,与虚轴交点K1260。常规根轨迹如图A-4-3所示。
图A-4-3 题4-2系统(2)常规根轨迹
4-3(1)Gs
K1
s2s2分离点为0,j0;常规根轨迹如图A-4-4(a)所示。从根轨迹图可见,当K10便有二个闭环极点位于右半s平面。所以无论K取何值,系统都不稳定。
图A-4-4 题4-3系统常规根轨迹
(2)Gs
K1s1 2
ss2 分离点为0,j0;常规根轨迹如图A-4-4(b)所示。从根轨迹图看,加了零点z1后,无论K取何值,系统都是稳定的。
4-7 系统特征方程为
s21s10
以为可变参数,可将特征方程改写为
1
s
s2s1
0
从而得到等效开环传递函数
Geq(s)
s
s2s1
根据绘制常规根轨迹的方法,可求得分离点为1,j0,出射角为P150。参数根轨迹如图A-4-8所示。
图A-4-8 题4-7系统参数根轨迹
(1) 无局部反馈时0,单位速度输入信号作用下的稳态误差为esr1;阻尼比为0.5;调节时间为
ts6s5%
(2) 0.2时,esr1.2,0.6,ts5s(5%)
比较可见,当加入局部反馈之后,阻尼比变大,调节时间减小,但稳态误差加大。
(3) 当1时,系统处于临界阻尼状态,此时系统有二重闭环极点s1,21。 4-9 主根轨迹如图A-4-9所示。系统稳定的K值范围是0K14.38。
图A-4-9 题4-9系统主根轨迹
Kes
4-10 GsHs
s
主根轨迹分离点
1
,j0;与虚轴交点j,临界K值。主根轨迹如图A-4-10所示。
22
图A-4-10 题4-10系统主根轨迹
4-11(1)GsHs
K1ss
的根轨迹如图A-4-11所示。
图A-4-11 GsHs
K1ss
根轨迹
K1(2)GsHs
2s
s12s
分离点
212,j0;会合点212
,j0;与虚轴交点j2
如图A-4-12所示。
图A-4-12 GsHs
K1(/2)ss1(/2)s根轨迹 K值为2
。根轨迹
;临
(3)GsHs
K
ss1分离点
1
,根轨迹如图A-4-13所示。
2,j0
图A-4-13 GsHs
K
根轨迹
ss1讨论:当较小时,且K在某一范围内时,可取近似式
K
。若较大,取上述近似式误差就大,此时应取近似
ss1K1s2。 式
s1s2
4-12 系统的根轨迹如图A-4-14所示。
图A-4-14 题4-12系统的根轨迹
4-13 当0aA-4-15所示。
111
时,有两个分离点,当a时,有一个分离点,当a时,没有分离点。系统的根轨迹族如图
999
图A-4-15 题4-13系统的根轨迹族
第五章
5-1 (1)Gs
1
ss1Gj
1
2
5.0
Gj900arctg
Gj Gj
0.5 1.79 -116.6
1.0 0.707 -135
1.5 0.37 -146.3
2.0 0.224 -153.4
10.0 0.0095
0.039 -168.7
-174.2
系统的极坐标图如图A-5-1所示。
图A-5-1 题5-1系统(1)极坐标图
(2) Gs
1
1s12s
242
Gjarctgarctg2
Gj
1
Gj Gj
0 1 0
0.2 0.91 -15.6
0.5 0.63 -71.6
0.8 0.414 -96.7
1.0 0.317 -108.4
2.0 0.172 -139.4
5.0 0.0195 -162.96
系统的极坐标图如图A-5-2所示。
图A-5-2 题5-1系统(2)极坐标图
(3) Gs
1
ss12s1 242
Gj900arctgarctg2
Gj
1
Gj Gj
0.2 4.55 -105.6
0.3 2.74 -137.6
0.5 1.27 -161
1 0.317 -198.4
2 0.054 -229.4
5 0.0039 -253
系统的极坐标图如图A-5-3所示。
图A-5-3 题5-1系统(3)极坐标图
(4) Gs
1
2
s1s12s 2242
Gj1800arctgarctg2
Gj
1
Gj Gj
0.2 22.75
0.25 13.8
0.3 7.86 -227.6
0.5 2.52 -251.6
0.6 0.53 -261.6
0.8 0.65 -276.7
1 0.317 -288.4
-195.6 -220.6
系统的极坐标图如图A-5-4所示。
图A-5-4 题5-1系统(4)极坐标图
5-2 (1) Gs
1
j1j系统的伯德图如图A-5-5所示。
图A-5-5 题5-2系统(1)伯德图
(2) Gs
1
1j1j2系统的伯德图如图A-5-6所示。
图A-5-6 题5-2系统(2)伯德图
(3) Gs
1
j1j1j2
系统的伯德图如图A-5-7所示。
图A-5-7 题5-2系统(3)伯德图
(4) Gs
1
j1j1j22
系统的伯德图如图A-5-8所示。
图A-5-8 题5-2系统(4)伯德图
5-3 Gs
1
s0.1s10.5s1Gj
1
(0.1)2(0.5)2
2.0 3.5
3.0 1.77
Gj900arctg0.1arctg0.5
Gj Gj
0.5 17.3
1.0 8.9
1.5 5.3 -135.4
5.0 0.67
10.0 0.24
-106.89 -122.3 -146.3 -163 -184.76 -213.7
系统的极坐标图如图A-5-9所示。
图A-5-9 题5-3系统极坐标图
系统的伯德图如图A-5-10所示。
图A-5-10 题5-3系统伯德图
相角裕度0.7,增益裕量GM3.55dB 5-4 (1)Gj
1
,此为非最小相位环节,其幅频、相频特性表达式为 j1
2
Gj1800arctg
该环节的伯德图如图A-5-11所示。
Gj
1
图A-5-11 题5-4伯德图
(2)惯性环节Gj
1
是最小相位的,其幅频、相频特性表达式为 j1
2
Gjarctg
该环节的伯德图如图A-5-11点划线所示。由图可见,两个环节具有相同的幅频特性,相频特性有根本区别。 5-7 (a) Gs
Gj
1
,系统的相频特性曲线如图A-5-12所示。
0.5s1
图A-5-12 题5-7Gs
相频特性曲线
0.5s1
(b) Gs
3.92
,系统的相频特性曲线如图A-5-13所示。
s0.5s1
图A-5-13 题5-7Gs
3.92
相频特性曲线
s0.5s1(c) Gs
0.52s1,系统的相频特性曲线如图A-5-14所示。
2
s0.5s1
图A-5-14 题5-7Gs
0.52s1相频特性曲线 s20.5s15-8 (a) 闭环系统不稳定。 (b) 闭环系统稳定。 (c) 闭环系统稳定。 (d) 闭环系统稳定。
2es
5-9 Gs
s1s10.5s0时,经误差修正后的伯德图如图A-5-15所示。从伯德图可见系统的剪切频率c1.15rad/s,在剪切频
率处系统的相角为
(c)90arctgcarctg0.5c168.9
由上式,滞后环节在剪切频处最大率可有11.1的相角滞后,即
180
11.1
解得0.1686s。因此使系统稳定的最大值范围为00.1686s。
图A-5-15 题5-9系统伯德图
5-10 由GsHs图A-5-16所示。
1K
知两个转折频率1rad/s,21rad/s。令K1,可绘制系统伯德图如
3s1s13s
图A-5-16 题5-10系统伯德图
确定()180所对应的角频率g。由相频特性表达式
(g)90arctg0.33garctgg180
可得 arctg
1.33g
2
10.33g
90
解出
g31.732rad/s
在图A-5-16中找到L(g)2.5dB,也即对数幅频特性提高2.5dB,系统将处于稳定的临界状态。因此
20lgK2.5dBK
5-11 由L(0.1)0dB知K1;
由L(1)3dB知1是惯性环节由
4
为闭环系统稳定的临界增益值。 3
1
的转折频率; s1
从1增大到10,L()下降约23dB,可确定斜率为20dB/dec,知系统无其他惯性环节、或微分环节和振
荡环节。
es
由(0.1)0和(1)83知系统有一串联纯滞后环节e。系统的开环传递函数为 GsHs
s
由(1)arctg1180
83解得0.66s。可确定系统的传递函数为 GsHse0.66s
s1 5-12 系统的开环传递函数为 GsHs0.1K
s0.1s2
s0.001 系统稳定的增益范围0K0.1。
s1