三垂线及二面角基础_老师
三垂线定理及其逆定理
例1：已知P 是平面ABC 外一点， PA ⊥平面ABC ， AC ⊥ BC ， 求证： PC ⊥ BC
证明：∵ P 是平面ABC 外一点 PA ⊥平面ABC
∴PC 是平面ABC 的斜线
∴AC 是PC 在平面ABC 上的射影 ∵BC ⊂平面ABC 且AC ⊥ BC ∴由三垂线定理得 PC ⊥ BC
A B
C
例2： PA ⊥正方形ABCD 所在平面，O 为对角线BD 的中点 求证：PO ⊥BD ，PC ⊥BD
证明：∵ABCD 为正方形 O 为BD 的中点
∴ AO ⊥BD
又∵AO 是PO 在ABCD 上的射影 ∴PO ⊥BD
同理 AC ⊥BD
∵ AO 是PO 在ABCD 上的射影 ∴PC ⊥BD
例3：已知：PA ⊥平面PBC ，PB=PC，M 是BC 的中点，求证：BC ⊥AM
证明：∵ PB =PC M 是BC 的中点
∴PM ⊥BC
∵PA ⊥平面PBC
∴PM 是AM 在平面PBC 上的射影 ∴BC ⊥AM
例4：判断下列命题的真假：
⑴若m 是平面α的斜线，直线n 垂直于m 在平面α内的射影， 则 m ⊥n （ ）
⑵若m 是平面α的斜线，平面β内的直线n 垂直于m 在平面α内的射影，
A C
P
A
B
C
D
C 1
则 m ⊥n （ ）
⑶若m 是平面α的斜线，直线n ⊂ α且n 垂直于m 在另一平面β内的射影, 则m ⊥n （ ）
A
⑷若m 是平面α的斜线,n ∥α, 直线 n 垂直于m 在平面α内的射影，
则 m ⊥n （ ）
C
例5：求证: 如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上．
已知：∠BAC 在平面α内，点P ，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，PO ⊥α，垂足分别是E 、F 、O ，PE=PF，求证：∠BAO = ∠CAO ． 证明：∵PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，PO ⊥α，
∴AB ⊥OE ，AC ⊥OF(三垂线定理的逆定理 ) ． ∵ PE=PF，PA= P A， ∴R t△ PAE ≌R t△ PAF ． ∴AE=AF． 又∵AO = A O，
∴R t △ AOE ≌R t △AOF ． ∴∠BAO=∠CAO ．
P
B
α
A
例6：道旁有一条河，彼岸有电塔AB ，高15m ，只有测角器和皮尺作测量工具，能否求出电塔顶与道路的距离？
解：在道边取一点C ，使BC 与道边所成水平角等于90°再在道边取一点D ，使水平角CDB 等于45°，测得C 、D 的距离等于20m ∵BC 是AC 的射影 且CD ⊥BC ∴CD ⊥AC 因此斜线AC 的长度就是电塔顶与道路的距离。
∵∠CDB=45°，CD ⊥BC ，CD=20m 在直角三角形ABC 中
AC2=AB2+BC2，AC= 152+202 =25(m)
练习：PA ⊥△ABC 所在平面，AB ＝AC ＝13，BC ＝10，PA ＝5，求点P 到直线BC 的距离． 解：设BC 的中点为D ，连结PD ． ∵AB ＝AC ＝13，BC ＝10， ∴AD ⊥BC ． 且AD ＝12．
又∵PA ⊥平面ABC ，
∴PD ⊥BC ．
即 PD 的长度就是P 到直线BC 的距离． 而 PD ＝13．
小结：求点到直线的距离，常运用三垂线定理（或逆定理）把垂线段作出，按“一作、二证、三计算”的步骤求解。
A
P
C
B
二面角应用
例1：已知锐二面角α－l － β ，A 为面α内一点，A 到β 的距离为 2，到 l 的距离为 4，求二面角 α－ l － β 的大小。
解：①作：过 A 作 AO ⊥α于O ，过 O 作 OD ⊥ l 于D ，连AD ②证：则由三垂线定理得 AD ⊥ l ∴∠ADO 就是二面角 α－ l － β 的平面角
③计算：∵ AO 为 A 到β的距离 ， AD 为 A 到 l 的距离
∴AO =2，AD =4 在Rt △ADO 中， ∵s in ∠ADO =
A O A D
4
=
2
∴ ∠ADO =60°
④结论∴二面角 α－ l － β 的大小为60 °
例2：如图，已知P 是二面角α－AB － β棱上一点，过P 分别在α、β内引射线PM 、PN ，且∠MPN =600，∠BPM =∠BPN =450，求此二面角的度数。 解：①作：在PB 上取不同于P 的一点O ，在α内过O
作OC ⊥AB 交PM 于C ，在 β 内作OD ⊥AB 交PN 于D ， 连结CD ，可得：
②证：∠COD 是二面角α－AB － β的平面角 ③计算：设PO = a ，∵∠BPM =∠BPN = 45º ∴CO=a，DO=a，
，
∵∠MPN=60º ∴
∴∠COD=90º
④结论 因此，二面角的度数为90º
A