垂径定理教案
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课题
垂径定理
1.知识与技能 (1)探索并理解垂径定理 (2)熟练掌握垂径定理及其逆定理 2.过程与方法 (1)积极引导学生从事观察、测量、平移、旋转、推理证明等活动.•理 解定理的推导,掌握定理及公式. (2)在教学过程中,鼓励学生动手、动口、动脑,并进行同伴之间的交流. 3.情感、态度与价值观 经历探索圆及其相关结论的过程,发展学生的数学思考能力;通过积极 引导,帮助学生有意识地积累活动经验,获得成功的体验;利用现实生活 和数学中的素材,设计具有挑战性的情景,激发学生求知、探索的欲望. 1.重点:垂径定理及其运用. 2.难点与关键:探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题.
目
标
(三维目 标)
重点 难点 教法 学法
讲授法 示范指导法 教学过程: (详案)
演示法 启迪思维法 讨论 修改
一、复习引入
(学生活动)请同学口答下面问题(提问一、两个同学) 复习上节课内容:包括圆的概念以及与圆相关的概念
二、探索新知
(实践)把一个圆沿着它的任意一条直径对折,重复几次,你发现了什么?由 此你能得到什么结论? 结论: 圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线. (学生活动)请同学按下面要求完成下题: 如图,AB 是⊙O 的一条弦,作直径 CD,使 CD⊥AB,垂足为 M.
C A M O B
D
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(1)如图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? (2) 将圆 O 沿 CD 所在直线折叠,你能发现图中有哪些等量关系?说一说你 理由. (老师点评) (1)是轴对称图形,其对称轴是 CD. (2)AM=BM,弧 AC=弧 BC,弧 AD=弧 BD,即直径 CD 平分弦 AB,并且平 分弧 ACB 和弧 ADB. 这样,我们就得到下面的定理: 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. 下面我们用逻辑思维给它证明一下: 已知:直径 CD、弦 AB 且 CD⊥AB 垂足为 M
. , 求证:AM=BM, AD BD AC BC
分析:要证 AM=BM,只要证 AM、BM 构成的两个三角形全等.因此,只 要连结 OA、•OB 或 AC、BC 即可. 证明:如图,连结 OA、OB,则 OA=OB 在 Rt△OAM 和 Rt△OBM 中
C
OA OB OM OM
∴Rt△OAM≌Rt△OBM ∴AM=BM ∴点 A 和点 B 关于 CD 对称 ∵⊙O 关于直径 CD 对称
A
M O
B
重合, ∴当圆沿着直线 CD 对折时, 点 A 与点 B 重合, AD 与 BD AC 与 BC
重合.
, ∴ AD BD AC BC
三、 学生活动(证明垂径定理的逆定理)
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 已知:直径 CD、弦 AB(除直径) 且 AM=BM 求证: (1)CD⊥AB
, AD BD
(2) AC BC
四、 例题讲解
1、 如图所示, AB 是⊙O 的弦, OC⊥AB 于 C, 若 AB=2 5 cm, OC=1cm,则⊙O 的半径长为______cm.
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2.在直径为 50cm 的圆中,弦 AB 为 40cm,弦 CD 为 48cm,且 AB∥CD,求 AB•与 CD 之间距离. 解:如图所示,过 O 作 OM⊥AB, ∵AB∥CD,∴ON⊥CD. 在 Rt△BMO 中,BO=25cm. 由垂径定理得 BM=
1 1 AB= ×40=20cm, 2 2
∴OM= OB2 BM 2 252 202 =15cm. 同理可求 ON= OC2 CN 2 252 242 =7cm, 所以 MN=OM-ON=15-7=8cm. 以上解答有无漏解,漏了什么解,请补上
五、拓展训练
,点 O 是 CD 的圆心, 例 1.如图,一条公路的转弯处是一段圆弦(即图中 CD 上一点,且 OE⊥CD,垂足为 F,EF=90m,求这段弯 •其中 CD=600m,E 为 CD
路的半径. 分析:例 1 是垂径定理的应用,解题过程中使用了列方程的方法,这种用代 数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握. 解:如图,连接 OC 设弯路的半径为 R,则 OF=(R-90)m C ∵OE⊥CD ∴CF=
1 1 CD= ×600=300(m) 2 2
O
E F D
根据勾股定理,得:OC2=CF2+OF2 即 R2=3002+(R-90)2 解得 R=545 ∴这段弯路的半径为 545m.
练习
1.有一石拱桥的桥拱是圆弧形, 如图 24-5 所示, 正常水位下水面宽 AB=•60m, 水面到拱顶距离 CD=18m,当洪水泛滥时,水面宽 MN=32m 时是否需要采取紧 急措施?请说明理由.
M A
D E C O
N B
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六、教学总结与反思
本节课应掌握: 1.圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴. 2.垂径定理及其推论以及它们的应用.
七、作业设计
一、选择题. 1.如图 1,如果 AB 为⊙O 的直径,弦 CD⊥AB,垂足为 E,那么下列结论中, •错误的是( ) . A.CE=DE
BD B. BC
C.∠BAC=∠BAD
D.AC>AD
A
C
O C B E
O
O A
B
D
P D
B
A
M
(1) (2) (3) 2.如图 2,⊙O 的直径为 10,圆心 O 到弦 AB 的距离 OM 的长为 3,则弦 AB 的长是( ) A.4 B.6 C.7 D.8 3.如图 3,在⊙O 中,P 是弦 AB 的中点,CD 是过点 P 的直径,•则下列结论中 不正确的是( ) A.AB⊥CD 二、填空题 B.∠AOB=4∠ACD
C. AD BD
D.PO=PD
中点,OE 交 BC 于点 D,BD=3,AB=10, 1.如图 4,AB 为⊙O 直径,E 是 BC
则 AC=_____.
E
A O D C E B
B A C F O D
(4) (5) 2. P 为⊙O 内一点, OP=3cm, ⊙O 半径为 5cm, 则经过 P 点的最短弦长为________;
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•最长弦长为_______. 3. 如图 5, OE、 OF 分别为⊙O 的弦 AB、 CD 的弦心距, 如果 OE=OF, 那么_______ (只需写一个正确的结论) 三、综合提高题 1.如图 24-11,AB 为⊙O 的直径,CD 为弦,过 C、D 分别作 CN⊥CD、DM• ⊥CD,•分别交 AB 于 N、M,请问图
中的 AN 与 BM 是否相等,说明理由.
D B E A C O
O N A C
M
B
D
2.如图,⊙O 直径 AB 和弦 CD 相交于点 E,AE=2,EB=6,∠DEB=30°,求 弦 CD 长. 3. (开放题)AB 是⊙O 的直径,AC、AD 是⊙O 的两弦,已知 AB=16,AC=8, AD=•8,•求∠DAC 的度数.