直线与圆试题及答案

直线与圆单元测试题

一、选择题

1. 从点P (1，－2) 引圆(x +1)2+(y －1) 2=4的切线，则切线长是( ) A.4 B.3 C.2 D.1

2. 以M (－4,3) 为圆心的圆与直线2x +y －5=0相离，那么圆M 的半径r 的取值范围是( )

A ．0＜r ＜2 C ．0＜r ＜2 3. 圆(x +

B ．0＜r ＜ D ．0＜r ＜10

8112222

) +(y +1)=与圆(x －sin θ) +(y －1) = (θ为锐角) 的位置21616

关系是( )

A. 相离 B. 外切 C. 内切 D. 相交 4. 若m ≠0，则过（1，-1）的直线ax+3my+2a=0的斜率为（ ）

11

A.1 B.-3 C. D.-

33

22222

5. 使圆x +y =r 与x +y +2x －4y +4=0有公共点的充要条件是( )

A. r 5+1

C.|r －5|

6. 已知半径为1的动圆与圆(x －5) 2+(y +7)2=16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )

A ．(x －5) 2+(y +7)2=25 B．(x －5) 2+(y +7)2=17或(x －5) 2+(y +7)2=15 C ．(x －5) 2+(y +7)2=9 D．(x －5) 2+(y +7)2=25或(x －5) 2+(y +7)2=9 7. 已知圆x 2+y2=r2在曲线|x|+|y|=4的内部，则半径r 的范围是（ ）

A.0

π

4

B. π C.

3π

4

D.

3π 2

9. 过点(2，－3) 且与直线x －2y +4=0的夹角为arctan

2

的直线l 的方程是3

( ).

A. x+8y +22=0或7x －4y －26=0 B. x+8y +22=0 C. x-8y +22=0或7x +4y －26=0 D.7x －4y －26=0

⎧A =C ≠0,

10. 已知二元二次方程Ax +Cy+Dx+Ey+F=0，则⎨2是方程表示2

D +E -4F >0⎩

2

2

圆的（ ）

A. 充分非必要条件 B.必要非充分条件

C. 充要条件 D.既非充分又非必要条件

11. 圆x 2+y 2－2x +4y －20=0截直线5x －12y +c =0所得的弦长为8，则c 的值是( )

A ．10 B ．10或－68 C ．5或－34 D ．－68 12. 过点(2，1) 并与两坐标轴都相切的圆的方程是( )

A.(x －1) 2+(y －1) 2=1 B.(x －1) 2+(y －1) 2=1或(x －5) 2+(y －5) 2=5 C.(x －1) 2+(y －1) 2=1或(x －5) 2+(y －5) 2=25 D.(x －5) 2+(y －5) 2=5 二、填空题

13. 曲线y=|x-2|-3与x 轴转成的面积是 .

14. 已知M={(x,y)|x2+y2=1,0

15. 圆(x －3) 2+(y +1)2=1关于直线x +2y －3=0对称的圆的方程是_____.

22

16. 直线x －2y －2k =0与2x －3y －k =0的交点在圆x +y =25上，则k 的值是_____.

三、解答题 17. 求过A (1，2) 与B (3，4) 两点，且在x 轴上截得的弦长等于6的圆的方程． 18. 设t =3x －6y ，式中变量x 、y 满足下列条件

⎧|x -y |≤1,

⎨

⎩|2x +y |≤2,

① 求t 的最大值和最小值．

19. 已知圆x 2+y2+8x-4y=0与以原点为圆心的某圆关于直线y=kx+b对称， （1）求k 、b 的值；

（2）若这时两圆的交点为A 、B ，求∠AOB 的度数.

20.. 若动圆C 与圆(x-2)2+y2=1外切，且和直线x+1=0相切. 求动圆圆心C 的轨迹E 的方程.

21. 已知圆C ：x 2+y 2－2x +4y －4=0,是否存在斜率为1的直线l , 使l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点. 若存在，求出直线l 的方程; 若不存在，说明理由.

22. 设圆满足(1)y 轴截圆所得弦长为2.(2)被x 轴分成两段弧，其弧长之比为3∶1，在满足(1)、(2)的所有圆中，求圆心到直线l :x －2y =0的距离最小的圆的方程．

参考答案 一、选择题

1.B 2.C 3.D 4.D 5.D 6.D 7.A 8.B 9.A 10.D 11.B 12.C 1. 解析:勾股定理. 答案B

2. 解析:圆心到直线的距离d >r . 答案C

3解析:两圆心之间的距离d =(sinθ+) 2+(1+1) 2=(sinθ+) 2+4,

1212

∵θ为锐角，∴0

11317125

∴

55

222

答案D

4. 解析:由a+3m(-1)+2a=0，得m=a.又m ≠0, ∴a ≠0. ∴直线的方程可写成

1

x+3y+2=0，斜率为-. 答案D

3

5. 解析:由x 2+y 2+2x －4y +4=0得：(x +1)2+(y －2) 2=1,两圆心之间的距离为

2+22=，∵|r －1|≤≤r +1,∴5－1≤r ≤+1,即－1≤r －≤

1, ∴|r －5|≤1. 答案D

6. 解析:有内切、外切两种情况. 答案D 7. 解析:曲线|x|+|y|=4是顶点为（±4，0）、（0，±4）的正方形，其中一条边的方程为x+y-4=0(0≤x ≤4). ∵圆在正方形的内部，∴0

8. 解析:由图知，所围成的图形最小面积为圆x 2+y 2=4的面积的

|0+0-4|

2

>r.即

1

. 答案B 4

1-k |

2

9. 解析:设直线l 的方程为y +3=k (x －2), 由夹角公式可得：=.

13|1+k |2

|

解得：k =－或k =

187

∴直线l 的方程为x +8y +22=0或7x －4y －26=0.答案A 4

⎧A =C ≠0,

10. 解析:取A=C=4，D=2，E=2，F=1时，满足⎨2但是2

D +E -4F >0⎩

4x 2+4y2+2x+2y+1=0不表示圆，∴条件不是充分的.

1111

方程x 2+y 2+x+y+1=0表示圆，其中A=，C=，D=1，E=1，F=1，不满足

3333

22

D +E-4F>0. ∴条件不是必要的. 答案D

11. 解析:∵弦长为8，圆半径为5，∴弦心距为52-42=3，∵圆心坐标为(1，－2) ，∴

|5⨯1-12⨯(-2) +c |

=3，∴c =10或c =－68. 答案B

13

12. 解析:设圆的方程是(x －a ) 2+(y －b ) 2=r 2(r ＞0), ∵圆过第一象限的点

⎧a >0,

⎧a =1⎧a =5⎪b >0,

⎪⎪⎪

(2，1) 并与两坐标轴都相切，∴⎨解之得⎨b =1或⎨b =5

⎪r =1⎪r =5. ⎪|a |=|b |=r ,

⎩⎩222⎪(2-a ) +(1-b ) =r . ⎩

因此，所求圆的方程是(x －1) 2+(y －1) 2=1或(x －5) 2+(y －5) 2=25.(此题也可

画图排除A 、B 、D) .答案C

二、填空题

13. 答案9 ,14. 答案-1

1923

) +(y -) 2=1, 16. 答55

⎧x -5(x ≥2),

13. 解析:y=|x-2|-3可写成y=⎨曲线y=|x-2|-3与x 轴转成一

⎩-x -1(x

1

[5-（-1）]³3=9. 2

14. 解析:集合M 为单位圆的上半圆，集合N 为直线，M ∩N ≠∅，是指直线

与半圆有公共点. 画出图形，易知-1

15. 解析:已知圆的圆心(3，－1) 关于直线x +2y －3=0的对称点的坐标是(

193

, ) ，所以圆(x －3) 2+(y +1)2=1关于直线x +2y －3=0对称的圆的方程是55

1923

) +(y -) 2=1. 55

16. 解析:由⎨

(x -

⎧x -2y -2k =0⎧x =-4k

, 得⎨, ∵交点(－4k , －3k ) 在圆

⎩2x -3y -k =0⎩y =-3k

x 2+y 2=25上，∴(－4k ) 2+(－3k ) 2=25,∴k =±1.

三、解答题

17. 解 设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，由题意，得

⎧1+4+D +2E +F =0⎧D =12⎧D =-8⎪⎪⎪9+16+3D +4E +F =0E =-22解之, 得, 或⎨⎨⎨E =-2 ⎪⎪F =27, ⎪F =7. 2

⎩⎩D -4F =6. ⎩

∴所求圆的方程为x 2+y 2+12x －22y +27=0或x 2+y 2－8x －2y +7=0.

18. 解 作出不等式组①表示的平面区域平行四边形ABCD 的边界和内部．ABCD 的顶点坐标分别为A (－1，

0) 、B (-, -

13414

) 、C (1，0) 、D (, ) ．

333

11x -t , 26

1

3

4

)=7．当l 过D 点时， 3

作动直线l :3x －6y =t (t ∈R ) ． ∵l 的方程可写成y =

∴当l 的纵截距最大时，t 最小; 当l 的纵截距最小时，t 最大． 由图知当l 过B 点时，t 最大=3³(－) －6³(－

14

t 最小=3³() －6³()=－7．

33

19. 解 （1）圆x 2+y2+8x-4y=0可写成(x+4)2+(y-2)2=20.

∵圆x 2+y2+8x-4y=0与以原点为圆心的某圆关于直线y=kx+b对称， ∴y=kx+b为以两圆圆心为端点的线段的垂直平分线.

2-0∴³k=-1，k=2. 点（0，0）与（-4，2）的中点为（-2，1），∴1=2-4-0

³(-2)+b，b=5.∴k=2，b=5.

（2）圆心（-4，2）到2x-y+5=0的距离为d=而圆的半径为25，∴∠AOB=120°.

20. 解 设动圆的圆心C 的坐标为（x ，y ），则x-(-1)+1=(x -2) 2+y 2，即x+2=(x -2) 2+y 2，整理得y 2=8x.所以所求轨迹E 的方程为y 2=8x.

21. 解法一 假设存在斜率为1的直线l , 使l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点. 设l 的方程为y =x +b , A (x 1, y 1), B (x 2, y 2).

由OA ⊥OB 知，k OA ²k OB =－1, 即

2⨯(-4) -2+5

5

=5.

y 1y 2

⋅=－1, ∴y 1y 2=－x 1x 2. x 1x 2

⎧y =x +b , 22由⎨2, 得2x +2(b +1)x +b +4b －4=0, 2

⎩x +y -2x +4y -4=0

b 2

∴x 1+x 2=－(b +1),x 1²x 2=+2b －2,

2

2

b 22b y 1y 2=(x 1+b )(x 2+b )=x 1x 2+b (x 1+x 2)+b =+2b －2－b (b +1)+b =+b －2 22

2

b 2b 2

∵y 1y 2=－x 1x 2 ∴+b －2=－(+2b －2)

22

即b 2+3b －4=0. ∴b =－4或b =1.

又Δ=4(b +1)2－8(b 2+4b －4)=－4b 2－24b +36=－4(b 2+6b －9) 当b =－4时，Δ=－4³(16－24－9)>0; 当b =1时，Δ=－4³(1+6－9)>0

故存在这样的直线l , 它的方程是y =x －4或y =x +1,即x －y －4=0或x －y +1=0.

解法二 圆C 化成标准方程为(x －1) 2+(y +2)2=9,

假设存在以AB 为直径的圆M ，圆心M 的坐标为(a , b ).

由于CM ⊥l , ∴k CM ²k l =－1, 即∴b =－a －1,

b +2

³1=－1, a -1

①

直线l 的方程为y －b =x －a , 即x －y +b －a =0,∴|CM |=∵以AB 为直径的圆M 过原点，∴|MA |=|MB |=|OM |，

|b -a +3|

, 2

(b -a +3) 2

而|MB |=|CB |－|CM |=9－,

2

2

2

2

(b -a +3) 222

|OM |=a +b , ∴9－=a +b ,

2

2

2

2

②

把①代入②得2a 2－a －3=0, ∴a =

3

或a =－1, 2

当a =

35

时，b =－此时直线l 的方程为x －y －4=0; 22

当a =－1时，b =0此时直线l 的方程为x －y +1=0.

故这样的直线l 是存在的，它的方程为x －y －4=0或x －y +1=0.

22. 解 设圆的圆心为P (a , b ), 半径为r ，则P 到x 轴，y 轴的距离分别为｜b ｜、｜a ｜，由题设知圆P 截x 轴所得劣弧所对圆心角为90°, 故圆P 截x 轴所得弦长为2r =2b . ∴r 2=2b 2

①

②

又由y 轴截圆得弦长为2， ∴r 2=a 2+1

由①、②知2b 2－a 2=1.又圆心到l :x －2y =0的距离d =

|a -2b |

, ∴5d 2=(a －2b ) 2=a 2+4b 2－4ab ≥a 2+4b 2－2(a 2+b 2)=2b 2－a 2=1.当且仅当a =b 时“=”号成立，

⎧a =b ∴当a =b 时，d 最小为，由⎨2 2

5⎩2b -a =1

得⎨

⎧a =1⎧a =-1

或⎨由①得r =2. ⎩b =1⎩b =-1

∴(x －1) 2+(y －1) 2=2或(x +1)2+(y +1)2=2为所求．