14拉格朗日方程
动力
学拉朗格日 Lgaarge n17（36181-年4
）国数学法、力家学及天文学家。 家有18只的岁就他以纯析分的方法发展 了拉所开创的欧分法，奠变变分法 之定理论基础发。表大有关量分法、 变概论率微、方分程弦、动及振小作最 用理等原文。这论著作些他使成当 时为欧洲认的公一第数学家流。了 17到64年他，万有引力凭释月球天平解 问动题得获国巴黎科学法院奖。 176金6，年又因功成以微地分方理论程 近和似解法究科学研所提院出的一 个杂复的体六问题［木的星个卫星的四运 动题问］再度获奖。而写继了牛 顿又后一要经重典学力着作分《力析 学》1(878)。年书以内变原分理分析 及的方法把完，整和谐的学体系建力立起来， 使力分学析。化
十第章四拉格日朗方(程第二类方) 程14§1-动力学普方遍
达程朗伯原理虚位 移理
原r r r r (Fi+ FiN + igF δr) = 0 , i∑r rr∑ ( Fi Fi+ )grδi 0=
,r
r r (∑Fi + F iN+ Fi g = 0 ,)r
rr ( F + Fii )Nriδ =0, ∑
r
rr ( Fi −m i a )iri =δ ,0 ∑
∑
[(F
ni = 1
ix
m −i &i& )x iδ+ (Fi y− m &i& i)δyi+ (F z −i m i &&i)δ z =i0 , y xz
动]学普力遍方程
例1
41.一套-轮系滑悬统挂个重物.设:绳,滑两质轮不量.求计重 为:1P的体上升物的加速度a1。解:
−(P1 +F1 g )δS1 + ( P 2 −F 2 gδ) S 2=0 ,
1PP F1 g =a 1, 2 gF= 2 2 ,a gg 2 S1 + S = c 2, 2S1 δ+ δ 2S =0, a 2 1 a =,
2S1
δS1
δS
2 F2 g2a
S
F1g2 P
1
2 a1
PP 2 −P 11a = 2gP 2 +P1
例14-. 2棱柱三A沿三柱B棱光的斜滑面滑,动和A的B质量为各mA,mB.求 :棱柱B的加三速。 解度:
F g = BmB a B ,AgrF = m Aa Ar,
FA e = g Ama B
,）δ1x ≠A0 ,xδB =0 aAr = sgn iα +aB co αs ,
FgrA δxB aB Bmg
mAg FB α FN
g
AgF eAarδx
A(− FgAr +m gsi n +α FgAe osc )δα x = 0 A,
2
δ）x A = ,0δ Bx≠ 0
−（F B g− FAg +e FAg roc sα )δ x = B ,
a 0A
r
mBa B + m A a B , m = cAo αs
Amg sin 2α Ba= ,2 2( m A s n α i m + )B
14-3例调 器速稳定β时在:求与ωβ系,弹簧原关长2为。 le 2解:
F2δgxA + 2 mg yδ A +(m 2 g F+ δ)yC = ,0F
=2 l(1 − os α ck),
B
lF kβF ω lFA
g
xA = e +l in β ,s xδ A = lcs oδββ, yδA =− l s i βδnβ, yA =l ocs β,y =c2l os β c
,
g Fm1
g
yδC −=2 sin lββδ
,
2
l lmg
21m
Fg g= m ( e + l 1sn i βω) ,
{m2 (1e + l s in β)ω 2 l oscβ −2 m 1l sing −β [(m 2 g + k 2 (l1 − co β )s2]l in β s}δβ= 0 ,
[(
m + 1 2m) g 2kl+( 1 − co sβ) ω= ]tnaβ m1,( e+ lsni β
)
例144- 量质50k为g匀质的,其杆端A地与光面接触以匀滑2m速/ 向s运左.动 已知杆长l=3m:,b1.=2m求:水平,F的力小与绳拉力 FT大。2 2解 D :vBv A n= ,aBn 瞬 时动: 平ωA B 0=, B =a bbb τ aBB τ aB= bα DB, vB = v A ,a A =0, cn α Α aB B= a τosc 300 lα =A cBos3 °0, τ B AaB 对AA:点m 2 g AF 0
vB 03 α= = 1. 82 1/ 2 s
AC
,bl oc s30
°1）
ϕ = 0δ，δ A ≠ x0
D
aCA δxA 30τ0c mg B gMF g1 C
bFδx
A− Fg1c
1
δx = A0, 2
m l m 3 F= τ =aα AC ⋅ =0 ⋅ 5⋅ .28 =14 8 NAC2 22
4F
A
α ΑC
例
41-A 质量为45kg0的质杆,其匀A端与地面滑接触光以匀速2/s m向运左. 已知动杆:l=长3mb=,.21m求:,平力水的大F与绳拉小力 T。F :解2） δ ≠ ϕ0δx ， 0=
A对A取: 矩−M gϕδ −F c1g ϕδ
l l
+T lF osc 03°δ ϕ mg −cso 30 δϕ 0=0, 22
3 l2
l ll 3 ( m− αA B− AC α m −m + gFT l) ϕδ= 0 , 21 22 2 2
2D B Mg
b T
FFT =139 N ,
F
ΑC
αδϕ
aACτ
03 0g
m
Fg1
C
r n
rr r r rr ∂ri (r i −Fm a i iδ)ri= 0 ,i r =r (q1 ,.i..rq , )t, riδ= ∑δq j,∑
§4-12拉朗格方日
程j= 1
r
r nr r iFriδ− m i a iδr∑i 0 ,=∑
n i =1 i =1
q j∂
i=
1(1 )
r r
r rr∂r i Fiδri∑ =∑ Fi ∂∑ q⋅ q jδ = 1∑ Qjq jδ rr r r j= i r1=j 1 = ∂jr i∂ r∂ rr r∂ & r&& & q =ji q 1+ i 2 +qL +i q j , ∑∂q s r ∂rir &q∂1∂q2 ∂ q jj 1= j∑mi a δrii= ∑ m(ivi ∑ q ∂δ qj ) rrj 1 = 2 nj∂v i∂r ir m vr n= 0 + =∑ iT i, r ∂ ir & &∂q ∂q jj)δq j =, ∑∑ (i vm i 2i=1 r rr ∂ q j j= i1 =1& rr r∂ri v∂ i ∂ri rd ∂ r ∂rr rd r∂id = = ., 2） mi &vi =i m( viii −) i vi , dmt ∂q j ∂qj q∂j ∂q jd t∂q j dt ∂ qj rr dT ∂ T ∂rr −mi a iδri= ∑( δq) ,jr ∂v ∑id ∂vr i& q j j ∂=1 dt∂q j=m( v)−m vi
i i &dt q∂ j q j ∂入 2代2 d ∂ i mi v mi∂vi = )(−( )1() & 式d t∂ jq ∂2qj 2
ir
rr r r ∂r ∂ 广义 & r& 1 )v i = ri =i+ ∑i qj ,∂ j = t1∂ qj 速
度 r rr ∂iδ W j =, Q = ∑ jFi q ∂jδ q j i = 1 义广力
∑
Q (
−j=1 j
r
dT ∂T ∂ )+q δj= 0 , d & ∂t q j∂ j
q
d ∂ ∂T T ( Q − d∑ t∂ +q∂q δq j) =0 ,&j =1 jj
jr
qδ j ≠0 ,
V , ∂∂ qj
∂ d ∂TT −= Q ,j& d t∂ jq ∂q j
定义拉氏函数L：T-=Vd ∂(
T −V) ∂( T− V ) − =, & 0t d∂qj q∂j
d L ∂∂ L )− (= 0,&j d t q∂ ∂qj
:或 L d∂ L ∂() − = Qj' , ∂&q jdt∂q j
jQ =−
d ∂V
() = 0, &jd t∂q
第
类二氏拉程 Qj方’非:有力势广义的力
例41- 5量为m质,杆长l簧弹刚度为的图示杆.求:系统k微分方程振动 的周. 解期：
1 1 2T = (l 2 m)θ&2 3平条衡件: − mg l k+ δ0b 0 2=
1lk k 22V = m g + θ( 0δ + θ b )2− δ0 = b θ2 , 2 2 22
[
]
P
1 k 1 = (L l 2 )m&θ2 − θ 2 2b2 3 2
∂
L1 2 & &=3 ml θ θ∂
bθ k
∂L
∂L ( &d)− =0 ∂ θdt∂θ 1
2& & ( lm)θ + kb 2 θ = 0 ,3
k3b2 θ& + θ &= 0 ml2
ml 2
T= 2π= k3b 2ω0
2π
14例6-空心 的轮量质为m、半1R径绳子,一端的悬一质量为挂 2m的物体,A一另固端结在簧上弹求.物:体的A动周期振 ω .解 ：1 11 1 ϕ & m&T = J 0ϕ 2 m 2 + v 2= ( m 1+ 2 m) 2R 2 2 ϕ 221 1
21 &2L =T − V =( m 1 +m 2)R2 ϕ
2
− Rk ϕ2 ,2V kR = ,ϕ2 22∂L d ∂L &= ( m + 1 m2) R ϕ 2 ,&( )= ( m1 + m 2 ) R ϕ&2 & 2m ϕ ∂& dt ϕ∂
∂ =L −k 2R ϕ ∂, ϕd ∂L∂ &L = (&m1 + m 2) R2ϕ + k 2Rϕ =0 ( − ) &ϕ∂ t d∂ϕ
k
A
&
& +
k ϕϕ=0 m1 + m
2
m + 1m 2 T= =2 π ω k
,2
π
1例-46A空 心的质轮为m量、半1R,径子的一端绳挂悬质一量 m2为物体A,另的端一固在结弹上.现簧物在A上再体加增根弹一，簧求:系 统动振程。方ω y r
= y −ϕR 双自由问度 题解 m1 1m & & & & =TJ ϕ 2 0 2+y 2= m1 Rϕ 2 + 2 2y 2： 2 22 2(ϕ R )2 1 (ky − ϕ R )2 k 2 = +V L = T− V 2 2,
d∂ LL∂ )−(= &0dt ∂ϕ ∂ϕ
m ϕ1
∂L= Rϕ2 k + 1 k2( y− ϕ )R −(R ), ϕ∂
d∂ ∂LL () −= 0 &td∂y y
∂L & =∂ 2m ,y& ∂
∂Ly &= m1 R2 ,ϕ &∂ϕ
m
2 y
k2 A
1k
&1 mR 2& ϕ ϕR + 21 k+ y ( −Rϕ)k 2 ( − )R =0 ,& m 1R 2&ϕ +ϕR 2( 1 +k 2 k)= k 2 R y,
m2 &&+ k 2 y k=2 ϕ R, y
∂L =
( y− R ϕk)2 , ∂ y
1例47- 半径r的园柱在地面纯滚动质量,m圆的盘质在心挂长悬3, 质rm量 均质杆的求.微摆:动方程 解：= m 0 2 +vJ 0 θ22 & mv + 2c + cJθ1&2 ，T
3 3 θ 12V = − A =m rg (1− os cθ1 ) = gm r( ), 22
212
12
12
1
2
微 动振时动能项取， ：r7 T =2πsi nθ=,0cosθ=,势能1取:项g 5
sin =θ, coθsθ=−1θ/22
&。& = x, θ 2r
mJ0 = r 2 ,
J2C =
m
3 (3r )2 m=r 2,4 12
2 2& &v c= x + 2v r− 2 xv r cos θ 1 ,rv=
22
2&
或:v c = cv +xv y =c x( +v r csoθ 1)2+ v( rsinθ 1)2vr θ 1 θ 23 θ13xc = + x sinrθ 1 ,& &x c = + x cosrθ θ11 &, 0v2 2 c 3 3 &,& , & x& = 0 = vθ r 2c y= r os θc , 1yc= r inθs1θ 1 2 23 33 9 c2v =θ&2 2r 2 ( r+ co sθ 1&θ1 )2+ ( r snθi 1θ&1) 2+ θ&2 2r 2 oscθ 1θ& 1 =&2θ2 r +2r 2 θ1& 2+3 θ2θ&& cos1θ 1 r 2 , 22 24 11 12 2&1 3 2 1T= m θ &22 r + 2rm θ 2 + v cm2+ m rθ&2 双自1由问度 题222 22
43
&r 1θ, 2
0v
x
例1
-47 A径r半园的在地面柱滚纯,动量质m的盘在圆质悬心挂长 r,质量m3的 均杆.求:质摆微动程。方 解 T ： =1 θm2&2r 2 + 1 1 r2 m θ&22+ 1 mv +c 1 3mr2 θ&1
2 θ3 12V − = A =g mr( , )2
2222 2 1 5 = m r 2 θ&2( +2 θ&23&θ +1 θ&321 )2 2 24
v 0v θ1 rv0
x θ 1θ c27
&& gθ +1θ1 = , 5 r
30 15 =L mr 2 (θ &22 + θ32θ&1 &+ 3&θ12 − m)grθ 21, 42 2
d ∂ LL &∂ && &+ θ3 & = 0 − , θ3& +12θ 1& +gθ 1 = 0 , & (& )− = 0 , 5θ 2 51 rdt ∂ θ 2 θ ∂
d2∂L L∂ ( )− &=0, dt θ 1∂∂ θ 1
&& g θ 2 &+2 &1θ θ+1 = ,0
& r&1 +θ
5g
1θ= , 7r
0T
= 2
7rπ g5
摆动程
方14-例8用拉氏 方程立定建轴转的动分方微 程解
T：= Jz
z
ω
22
ω
Qϕ
=
W = ∂∂ϕ
∑
M z (i )Fϕ
δϕδ
F
iF 1i rim v Fi2
∂ dL ∂L =Q' ,j) (− ∂q d t ∂jq
& jJz & ϕ=∑ z M (F )i
,
14-9例 无绳重一索悬端质挂量m1块，物另一绕质量m端，2滚 动作的空圆柱，放心光表滑。求面运：动
微分方 程解
T：=
& & x
2 = rω − x1 ,
1 1
1 22m x11 m + x 2 +2 J 0 ω 2 22 2mg 2 &&1 11 x +x 12&2 & 2 = m1x 1+ m x 2 2 +m2 r 2 ( ) 2 2 22r x 21 1 12&+ 2mx 2 +1 2 mx 2 +2m 2 x2x 1 &&& &= m1 β x22 V = −1m gsi αn1 − m x g2 is nβ 2x,
L ∂ &&& = 1m 1x+ m2x1 + m 2x , 2& ∂1x ∂L = 1m gs in α, ∂ 1x d∂L （ ） m2 &1&+ m22 &2 ,&= x x &dt∂ 2 dx L ∂ m= &11 + m &2&&1 + m 2 && , 2 x xx &dt ∂ x
1x
α1 1mg
m 1&& 1 + 2 &&1m+ m 2 && 2 =m g1 isnα xx x
∂
L = 2m gisnβ , x ∂
2
2m &1 +& 2m 2 &2& =m 2 g sin β x x
例14
11- 图示质量为m小的，球计不绳质索量。：小求微摆球动的 运方动。程 rsn θir θ 解 ： &1
22 V − mg =([ l+ rθ) c s o θ r −sn i ],θ
d∂T T∂∂V ( & )− ,− = dt ∂θ∂ ∂θθ
T=
m ((
+l θr)θ ) ,
(
lr +θ) cos
θl
∂T =
m (l rθ+)2θ& , ∂θ& ∂
T= r (m l rθ )θ+& ,2∂θ
d T∂ &= m (l r+θ )2& θ+2 mr( + rθ )θl&2 ,& dt∂ θ
V∂& ( l r+ )θ& + θθ 2 &r + sgin = 0 θ= −mg ( (−l +r θ )inθs +r c s θ −o rco sθ )∂θ &= − mg ( + lθr) sinθ m (l+ θ )2θ&r+ m θ & 2 ( +l r )θr+ m g(l +r θ) ins θ=0
例411- 2体A物重量P，放光滑表为面，被绳索约，绳的束另 端一挂重悬为P的量B物体，：求动的运微方程分。q 1 = ,rq = φt = t 0, B = 0 r,取 个二由度自广的义标:坐 ：解 [法方一
2]
2 &
&vB = 2r+ ( rφ) 2
,T=
φδ 2 .δφ =0 ,δr≠ 0 ,W δ 2δ2W= P c o sδ φ r, r Q = = pco sφ, rδ &P&2 & & ( φ r +&2r r φ) =−Pr s n iφ, r 2φ& +2 rrφ+ g rs n φi= 0 &
& gP2P & & − &φ2 r= P c o φ s , g g &rr 2 &&− φr 2 g−c soφ = 0
. 1δ = 0 rδφ ,≠0 , δ W1 − =P is φrnφδ ,δW1 =− Psi φr , Qn φ
=1
P 2 P1 &2& & +r( +rr 2φ )2 2g2 g ∂T 2 P & r =, 2 P &22& &( 2r + rφ) =g ∂ r g2
∂
T P2 & & = gr φ ,φ
∂T =0∂ ∂ φT P∂& 2 = φ rr ∂
gd
∂T ∂T − =Q ,j &d t∂ q j∂ qj
广义求:力0 r
A
φ &r
φB
P
r &
1例4-12 A物体A重量P为，放光表面，被滑绳约索，绳的束一另端 挂悬量重为的P物B体求：运动的，微分方。 q1程= r , = φ tq= t 0, 0 B= , [r方法二 ] 解取个二由度的广自坐义: 标P1P 2 1 2 ：2 &P& && ( 2 r 2+ 2φ& r2 )V= − r cPso φ &&v B =r 2+( φr) 2, T= r + ( r + r φ2 ) =
2
∂2L 2 P& ,r =&g ∂ r
2
g 2g∂L P 2& = φ r +posφc , ∂ g
r2
g d∂ ∂L =L , − 0& t ∂d rr
P∂& 2P & && − φ2r = Pocs φ, 2&& −rφ 2− cos φ g = r 0r A g g∂
LP 2& = r φ, &g ∂φ
∂ = − LPrsi φ , n∂φ
0
r
dL ∂L ∂& −∂φ =0 dt,∂φ
&φ&& r 2 &φ+ 2 rrφ + r gsniφ =
0&rφ
P &B&2 & &( φ r 2rr+φ) −= Prsi nφ , g
P
r&
例14
13-二 个量重的圆柱P圆，柱绕绳B后下滚求：下滚时。 ω 心质的动方运。程& 1 P 2 & 1 2 (y − r1)2φ P && 解 T= y +J φ+ J 2A g2 2 2 r &&y − rφ 3P & ：B φ=1P 2 2
1P&2 + &&& = y rφ −rφyr 4 g2 g 2
Vg= − y P∴ :
L∂= 0 ∂,
φQ: d∂ L ( ) =, Q0：∂ L =c,& dt ∂ ϕ& φ
1∂ pP 2 & − &ry c1= ,rφ 2 g g
& &rφ2 − y =1c
P
By&& y
2φ − &r = &0 &3 & −rφ= 2g y & &
能
量恒守:T +=VC，
3P 21 2P 2P 1&& & r&y −φ Py =c 2 rφ − y 2+ g2 4g
g3 2 ∂d ∂L L& r 2 φ +2− r yφ −2g y c=2 或 :(& & & )y = 0− , &2 d t y∂ y
∂
14-例31A 个重量P二的柱，圆圆B绕柱后绳下滚。求 ：滚下时心质运的动程。方解
&&： y2 φr− && = 0,3& & −φ =r2 g y &&,t
0,
=滚下质心的时动运方
程ω
PA
&&φ=
2g
r
5& &
φ = y = φ =y =0,
P
B y
φ
1= 2g t, 5r
2 2y= gt ,
5 −y φr1 g 2 φ B = t= r 5r
本
章结束