二项式定理(通项公式)
二项式定理
二项式知识回顾
1. 二项式定理
0n 1n -11k n -k k n n
(a +b ) n =C n a +C n a b + +C n a b + +C n b ,
k k n -k k 以上展开式共n+1项,其中C n 叫做二项式系数,T k +1=C n a b 叫做二项展开式的通项.
(请同学完成下列二项展开式)
0n 1n -11k n -k k n n k n -k k (a -b ) n =C n a -C n a b + +(-1) k C n a b + +(-1) n C n b ,T k +1=(-1) k C n a b 01k k n n (1+x ) n =C n +C n x + +C n x + +C n x ① 01k n -1(2x +1) n =C n (2x ) n +C n (2x ) n -1+ +C n (2x ) n -k + C n (2x ) +1
=a n x n +a n -1x n -1+ +a n -k x n -k + a 1x +a 0 ②
01n ① 式中分别令x=1和x=-1,则可以得到 C n 即二项式系数和等于2; +C n + +C n =2n ,0213偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和,即C n +C n + =C n +C n + =2n -1
n
② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和.
2. 二项式系数的性质
m n -m (1)对称性:与首末两端等距离的两个二项式系数相等,即C n . =C n k (2)二项式系数C n 增减性与最大值:
当k
n +1n +1
时,二项式系数是递增的;当k ≥时,二项式系数是递减的. 22
n
2n
n -12n
当n 是偶数时,中间一项C 取得最大值. 当n 是奇数时,中间两项C 时取得最大值.
和C
n +12n
相等,且同
3. 二项展开式的系数a 0, a 1, a 2, a 3, …, a n 的性质:f(x )= a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3……+a n x n
⑴ a 0+a 1+a 2+a 3……+a n =f(1)
n
⑵ a 0-a 1+a 2-a 3……+(-1)a n =f(-1)
f (1) +f (-1)
⑶ a 0+a 2+a 4+a 6……=
2⑷ a 1+a 3+a 5+a 7……=
f (1) -f (-1)
2
经典例题
1、“(a +b ) n 展开式:
例1.求(3x +
【练习1】求(3x -
2. 求展开式中的项 例2.
已知在1x
) 4的展开式
1x
) 4的展开式;
n 的展开式中,第6项为常数项.
2
(1) 求n ; (2)求含x 的项的系数;(3)求展开式中所有的有理项.
【练习2】
若n 展开式中前三项系数成等差数列. 求:
(1)展开式中含x 的一次幂的项;(2)展开式中所有x 的有理项.
3. 二项展开式中的系数
例3.
已知x 2) 2n 的展开式的二项式系数和比(3x -1) n 的展开式的二项式系数和大992,求(2x -) 的展开式中:(1)二项式系数最大的项;(2)系数的绝对值最大的项
[练习3]
已知1.
(1)求展开式中含x 的项;(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.
32
1x
2n
2n *) (n ∈N ) 的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10:2x
4、求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数
例4.(x 2+1)(x -2) 7的展开式中,x 项的系数是 ; 3
5、求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数
例5(04安徽改编)(x +
1
x
-2) 3的展开式中,常数项是
6、求中间项
例6求(x -
1
3
x
) 10的展开式的中间项;
例7 (x -1
3
x
) 10的展开式中有理项共有项;
;
8、求系数最大或最小项
(1) 特殊的系数最大或最小问题
例8(00上海)在二项式(x -1) 11的展开式中,系数最小的项的系数是 ;
(2) 一般的系数最大或最小问题 例9求(x +
12x
) 8展开式中系数最大的项;
(3) 系数绝对值最大的项
例10在(x -y ) 7的展开式中,系数绝对值最大项是 ;
9、利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数,二项式系数和
例11.若(2x +) 4=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4, 则(a 0+a 2+a 4) 2-(a 1+a 3) 2的值为 ;
【练习1】若(1-2x ) 2004=a 0+a 1x +a 2x 2+... +2004x 2004, 则(a 0+a 1) +(a 0+a 2) +... +(a 0+a 2004) = ;
【练习2】设(2x -1) 6=a 6x 6+a 5x 5+... +a 1x +a 0, 则a 0+a 1+a 2+... +a 6= ;
【练习3】(x -
2
19
) 展开式中x 9的系数是; 2x