2010年辽宁丹东市中考数学试题及答案

2010年辽宁省丹东市中考数学试卷

一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）

1．（2010•丹东）在“2008北京”奥运会国家体育场的“鸟巢”钢结构工程施工建设中，首次使用了我国科研人员自主

88研制的强度为4.6×10帕的钢材，那么4.6×10的原数为（ ）

A ．4 600 000 B．46 000 000 C ．460 000 000 D ．4 600 000 000

2．（2010•丹东）五名同学在“爱心捐助”活动中，捐款数额为：8、10、10、4、6（单位：元），这组数据的中位数是（ ）

A ．10 B ．9 C ．8 D ．6

3．（2010•丹东）如图所示的一组几何体的俯视图是（ ）

A ． B ． C ． D．

4．（2010•丹东）图①是一个边长为（m+n）的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是（

）

22222 222 A ．（m+n）﹣（m ﹣n ）=4mn B ．（m+n）﹣（m +n）=2mn C ．（m ﹣n ）+2mn=m+n D ．（m+n）（m ﹣n ）22=m﹣n

5．（2010•丹东）某校春季运动会比赛中，八年级（1）班、（5）班的竞技实力相当，关于比赛结果，甲同学说：（1）班与（5）班得分比为6：5；乙同学说：（1）班得分比（5）班得分的2倍少40分．若设（1）班得x 分，（5）班得y 分，根据题意所列的方程组应为（ ）

A ． B ． C ． D ．

6．（2010•丹东）如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE 为5m ，AB 为1.5m （即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（ ）

A ．（）m B ．（）m C ．m D ．4m

7．（2010•丹东）如图，在平面直角坐标系中，以O （0，0），A （1，1），B （3，0）为顶点，构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（ ）

B ．（4，1） C ．（﹣2，1） D ．（2，﹣1）

8．（2010•丹东）把长为8cm 的矩形按虚线对折，按图中的虚线剪出一个直角梯形，打开得到一个等腰梯形，剪掉

2部分的面积为6cm ，则打开后梯形的周长是（ ）

A ．（﹣3，1）

A ．（10+2）cm B ．（10+）cm C ．22cm D ．18cm

二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）

9．函数

y=中，自变量x 的取值范围是

10．（2010•丹东）写出具有“图象的两个分支分别位于第二、四象限内”的反比例函数： _________ ．（写出一个即可）

11．（2010•丹东）如图，△ABC 与△A ′B ′C ′是位似图形，且位似比是1：2，若AB=2cm，则A ′B ′=cm ，请在图中画出位似中心O ．

12．（2010•丹东）某商场销售额3月份为16万元，5月份为25万元，该商场这两个月销售额的平均增长率是．

13．（2010•丹东）如图，整个圆表示某班参加课外活动的总人数，跳绳的人数占30%，表示踢毽的扇形圆心角是60°，踢毽和打篮球的人数比是1：2，那么表示参加“其它”活动的人数占总人数的 _________ %．

30天里做了如下记录：

其中w ＜50时空气质量为优，50≤w ≤100时空气质量为良，100＜w ≤150时空气质量为轻度污染，若1年按365天计算，请你估计该城市在一年中空气质量达到良以上（含良）的天数为 _________ 天．

15．（2010•丹东）已知△ABC 是边长为1的等腰直角三角形，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，第n 个等腰直角三角形的斜边长是 _________ ．

16．（2010•丹东）星期天，小明与小刚骑自行车去距家50千米的某地旅游，匀速行驶1.5小时的时候，其中一辆自行车出故障，因此二人在自行车修理点修车，用了半个小时，然后以原速继续前行，行驶1小时到达目的地．请在右面的平面直角坐标系中，画出符合他们行驶的路程S （千米）与行驶时间t （时）之间的函数图象．

三、解答题（共10小题，满分102分）

17．（2010•丹东）计算：（2cos45°﹣sin60°）+．

18．（2010•丹东）进入防汛期后，某地对河堤进行了加固．该地驻军在河堤加固的工程中出色完成了任务．这是记者与驻军工程指挥官的一段对话：

通过这段对话，请你求出该地驻军原来每天加固的米数．

19．（2010•丹东）某服装厂承揽一项生产夏凉小衫1600件的任务，计划用t 天完成．

（1）写出每天生产夏凉小衫w （件）与生产时间t （天）（t ＞4）之间的函数关系式；

（2）由于气温提前升高，商家与服装厂商议调整计划，决定提前4天交货，那么服装厂每天要多做多少件夏凉小衫才能完成任务？

20．（2010•丹东）如图，已知矩形ABCD 中，E 是AD 上的一点，F 是AB 上的一点，EF ⊥EC ，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD 的周长为32cm ，求AE 的长．

21．（2010•丹东）为了丰富校园文化生活，某校计划在午间校园广播台播放“百家讲坛”的部分内容．为了了解学生的喜好，抽取若干名学生进行问卷调查（每人只选一项内容），整理调查结果，绘制统计图如下：

请根据统计图提供的信息回答以下问题：

（1）抽取的学生数为 _________ 名；

（2）该校有3000名学生，估计喜欢收听易中天《品三国》的学生有 _________ 名；

（3）估计该校女学生喜欢收听刘心武评《红楼梦》的约占全校学生的 _________ %；

（4）你认为上述估计合理吗？理由是什么？

22．（2010•铜仁地区）如图，已知在⊙O 中，AB=4，AC 是⊙O 的直径，AC ⊥BD 于F ，∠A=30度．

（1）求图中阴影部分的面积；

（2）若用阴影扇形OBD 围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径．

23．（2010•丹东）四张质地相同的卡片如图所示．将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上．

（1）求随机抽取一张卡片，恰好得到数字2的概率；

（2）小贝和小晶想用以上四张卡片做游戏，游戏规则见信息图．你认为这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图法说明理由，若认为不公平，请你修改规则，使游戏变得公平．

24．（2010•丹东）某办公用品销售商店推出两种优惠方法：①购1个书包，赠送1支水性笔；②购书包和水性笔一律按9折优惠．书包每个定价20元，水性笔每支定价5元．小丽和同学需买4个书包，水性笔若干支（不少于4支）．

（1）分别写出两种优惠方法购买费用y （元）与所买水性笔支数x （支）之间的函数关系式；

（2）对x 的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法购买比较便宜；

（3）小丽和同学需买这种书包4个和水性笔12支，请你设计怎样购买最经济．

25．（2010•丹东）如图，已知等边三角形ABC 中，点D ，E ，F 分别为边AB ，AC ，BC 的中点，M 为直线BC 上一动点，△DMN 为等边三角形（点M 的位置改变时，△DMN 也随之整体移动）．

（1）如图1，当点M 在点B 左侧时，请你判断EN 与MF 有怎样的数量关系？点F 是否在直线NE 上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；

（2）如图2，当点M 在BC 上时，其它条件不变，（1）的结论中EN 与MF 的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；

（3）若点M 在点C 右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN 与MF 的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由．

26．（2010•丹东）如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH ，点H 的坐标为（﹣8，0），点N 的坐标为（﹣6，﹣4）．

（1）画出直角梯形OMNH 绕点O 旋转180°的图形OABC ，并写出顶点A ，B ，C 的坐标（点M 的对应点为A ，点N 的对应点为B ，点H 的对应点为C ）；

（2）求出过A ，B ，C 三点的抛物线的表达式；

（3）截取CE=OF=AD=m，且E ，F ，D 分别在线段CO ，OA ，AB 上，求四边形BEFD 的面积S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；面积S 是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；

（4）在（3）的情况下，四边形BEFD 是否存在邻边相等的情况？若存在，请直接写出此时m 的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．

2010年辽宁省丹东市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）

1．（2010•丹东）在“2008北京”奥运会国家体育场的“鸟巢”钢结构工程施工建设中，首次使用了我国科研人员自主

88研制的强度为4.6×10帕的钢材，那么4.6×10的原数为（ ）

A ．4 600 000 B．46 000 000 C ．460 000 000 D ．4 600 000 000

考点：科学记数法—原数。

专题：应用题。

分析：可以把4.6的小数点向右移动8位．

8解答：解：4.6×10=460 000 000．

故选C ．

点评：用科学记数法表示的数还原成原数时，n ＞0时，n 是几，小数点就向右移几位．

2．（2010•丹东）五名同学在“爱心捐助”活动中，捐款数额为：8、10、10、4、6（单位：元），这组数据的中位数是（ ）

A ．10 B ．9 C ．8 D ．6

考点：中位数。

专题：应用题。

分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．

解答：解：题目中数据共有5个，

故中位数是按从小到大排列后第三数作为中位数，

故这组数据的中位数是8．

故选C ．

点评：本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．要明确定义．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项．

注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．

3．（2010•丹东）如图所示的一组几何体的俯视图是（ ）

A ． B ． C ． D．

考点：简单组合体的三视图。

分析：找到从上面看所得到的图形即可．

解答：解：圆锥的俯视图是圆和中间一点，正六棱柱的俯视图是正六边形，故选B ．

点评：本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．

4．（2010•丹东）图①是一个边长为（m+n）的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是（

）

22222 222 A ．（m+n）﹣（m ﹣n ）=4mn B ．（m+n）﹣（m +n）=2mn C ．（m ﹣n ）+2mn=m+n D ．（m+n）（m ﹣n ）

22=m﹣n

考点：完全平方公式的几何背景。

专题：计算题。

分析：根据图示可知，阴影部分的面积是边长为m+n的正方形减去中间白色的正方形的面积m +n，即为对角线分别是2m ，2n 的菱形的面积．据此即可解答．

222解答：解：（m+n）﹣（m +n）=2mn．

故选B ．

点评：本题是利用几何图形的面积来验证（m+n）﹣（m +n）=2mn，解题关键是利用图形的面积之间的相等关系列等式．

5．（2010•丹东）某校春季运动会比赛中，八年级（1）班、（5）班的竞技实力相当，关于比赛结果，甲同学说：（1）班与（5）班得分比为6：5；乙同学说：（1）班得分比（5）班得分的2倍少40分．若设（1）班得x 分，（5）班得y 分，根据题意所列的方程组应为（ ）

A ． B ． C ． D ． 22222

考点：由实际问题抽象出二元一次方程组。

分析：此题的等量关系有：（1）班得分：（5）班得分=6：5；（1）班得分=（5）班得分×2倍﹣40．

解答：根据（1）班与（5）班得分比为6：5，有

x ：y=6：5，得5x=6y；

根据（1）班得分比（5）班得分的2倍少40分，则x=2y﹣40． 可列方程组为．

故选D ．

点评：列方程组的关键是找准等量关系．同时能够根据比例的基本性质对等量关系①把比例式转化为等积式．

6．（2010•丹东）如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE 为5m ，AB 为1.5m （即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（ ）

A ．（）m B ．（）m C ．m D ．4m

考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题。

分析：应先根据相应的三角函数值算出CD 长，再加上AB 长即为树高．

解答：解：∵AD=BE=5米，∠CAD=30°，

∴CD=AD•tan30°=5×=．

（米）． ∴CE=CD+DE=CD+AB=

故选A ．

点评：此题主要考查学生对坡度坡角的理解及解直角三角形的综合运用能力．

7．（2010•丹东）如图，在平面直角坐标系中，以O （0，0），A （1，1），B （3，0）为顶点，构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（ ）

A ．（﹣3，1） B ．（4，1） C ．（﹣2，1） D ．（2，﹣1）

考点：坐标与图形性质；平行四边形的性质。

分析：所给点的纵坐标与A 的纵坐标相等，说明这两点所在的直线平行于x 轴，这两点的距离为：1﹣（﹣3）=4；点O 和点B 的纵坐标相等，这两点所在的直线平行于x 轴，这两点的距离为：3﹣0，相对的边平行，但不相等，所以A 选项的点不可能是行四边形顶点坐标．

解答：解：因为经过三点可构造三个平行四边形，即▱AOBC 1、▱ABOC 2、▱AOC 3B ．根据平行四边形的性质，可知

B 、C 、D 正好是C 1、C 2、C 3的坐标，

故选A ．

点评：理解平行四边形的对边平行且相等，是判断本题的关键．

8．（2010•丹东）把长为8cm 的矩形按虚线对折，按图中的虚线剪出一个直角梯形，打开得到一个等腰梯形，剪掉

2部分的面积为6cm ，则打开后梯形的周长是（ ）

A ．（10+2）cm B ．（10+）cm C ．22cm D ．18cm

考点：等腰梯形的性质。

分析：先根据剪掉部分的直角边的长求出斜边的长，即等腰梯形的腰长，再根据剪掉的直角边的长得等腰梯形的上底和下底的长，从而得到梯形的周长．

解答：解：剪掉部分的面积即为两个全等直角三角形的面积和，已知一个直角边为3，则另一个直角边即等腰梯形的高为2，斜边即等腰梯形的腰为，因为把长为8cm 的矩形按虚线对折后长为4，剪掉3，则等腰梯形的上底为2，下底为8，所以梯形的周长=2+++8=10+2．

故选A ．

点评：此题主要考查了学生对等腰梯形的性质及翻折掌握情况．

二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）

9．函数

y=中，自变量x 的取值范围是．

考点：函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件。

分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式求解．

解答：解：根据题意得：x+2＞0，

解得x ＞﹣2．

点评：函数自变量的范围一般从三个方面考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．

10．（2010•丹东）写出具有“图象的两个分支分别位于第二、四象限内”

．（写出一个即可）

考点：反比例函数的性质。

专题：开放型。

分析：根据反比例函数的性质解答．

解答：解：根据题意，反比例函数的性质图象的两个分支分别位于第二、四象限内，

所以反比例函数k ＜0就可以，

例如y=﹣（答案不唯一）．

点评：本题主要考查反比例函数当k ＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k ＜0时，图象分别位于第二、四象限．

11．（2010•丹东）如图，△ABC 与△A ′B ′C ′是位似图形，且位似比是1：2，若AB=2cm，则A ′B ′= 4 cm ，请在图中画出位似中心O ．

考点：作图-位似变换。

分析：根据△ABC 与△A ′B ′C ′是位似图形，可知△ABC ∽△A ′B ′C ′，利用位似比是1：2，即可求得A ′B ′=4cm． 解答：解：∵△ABC 与△A ′B ′C ′是位似图形

∴△ABC ∽△A ′B ′C ′

∵位似比是1：2

∴AB ：A ′B ′=1：2

∵AB=2cm

∴A ′B ′=4cm．

位似中心如图，点O 即为所求．

点评：本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比．

12．（2010•丹东）某商场销售额3月份为16万元，5月份为25万元，该商场这两个月销售额的平均增长率是%． 考点：一元二次方程的应用。

专题：增长率问题。

分析：原来的数量为a ，平均每次增长百分率为x 的话，则四月份的销售额是16（1+x），五月份的销售额是16（1+x）（1+x）即16（1+x），据此即可列出方程．

解答：解：设这两个月销售额的平均增长率是x ，则可以得到方程

216（1+x）=25，

解得x 1=0.25；x 2=﹣2.25（不合理舍去）．

答：商场这两个月销售额的平均增长率是25%．

点评：本题考查数量平均变化率问题，解题的关键是正确列出一元二次方程．增长用“+”，下降用“﹣”．

13．（2010•丹东）如图，整个圆表示某班参加课外活动的总人数，跳绳的人数占30%，表示踢毽的扇形圆心角是60°，踢毽和打篮球的人数比是1：2，那么表示参加“其它”活动的人数占总人数的 20 %．

2

考点：扇形统计图。

分析：由“踢毽的扇形圆心角是60°，踢毽和打篮球的人数比是1：2”可得，踢毽的人数占总人数的比例以及打篮球的人数占的比例，由“各部分占总体的百分比之和为1”可得：参加“其它”活动的人数占总人数的比例．

解答：解：由题意知，踢毽的人数占总人数的比例=60°÷360°=，

则打篮球的人数占的比例=×2=，

∴表示参加“其它”活动的人数占总人数的比例=1﹣﹣﹣30%=20%．

故答案为：20%．

点评：本题考查的是扇形图的定义．在扇形统计图中，各部分占总体的百分比之和为1，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．

30天里做了如下记录：

其中w ＜50时空气质量为优，50≤w ≤

100时空气质量为良，100＜w ≤150时空气质量为轻度污染，若1年按365天计算，请你估计该城市在一年中空气质量达到良以上（含良）的天数为 292 天．

考点：用样本估计总体。

专题：计算题。

分析：30天中空气质量达到良以上的有24天，即所占比例为

上（含良）的天数．

解答：解：3+5+10+6=24，=292天． ，然后乘以365即可求出一年中空气质量达到良以

点评：本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．

15．（2010•丹东）已知△ABC 是边长为1的等腰直角三角形，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，第n 个等腰直角三角形的斜边长是 ．

考点：等腰直角三角形。

专题：规律型。

分析：依次、反复运用勾股定理计算，根据计算结果即可得到结论．

2解答：解：根据勾股定理，第1个等腰直角三角形的斜边长是，第2个等腰直角三角形的斜边长是2=（），

3n 第3个等腰直角三角形的斜边长是2=（），第n 个等腰直角三角形的斜边长是（）．

点评：根据勾股定理一步一步计算，找出规律，解答．

16．（2010•丹东）星期天，小明与小刚骑自行车去距家50千米的某地旅游，匀速行驶1.5小时的时候，其中一辆自行车出故障，因此二人在自行车修理点修车，用了半个小时，然后以原速继续前行，行驶1小时到达目的地．请在右面的平面直角坐标系中，画出符合他们行驶的路程S （千米）与行驶时间t （时）之间的函数图象．

考点：函数的图象。

专题：作图题。

分析：分析题意可知，2.5个小时走完全程50千米，所以1.5小时走了30千米，休息0.5小时后1小时走了20千米，由此作图即可．

解答：解：

点评：主要考查了函数图象的画图能力．要能根据题中的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，利用描点法准确的画出图象．

三、解答题（共10小题，满分102分）

17．（2010•丹东）计算：（2cos45°﹣sin60°）+．

考点：实数的运算；二次根式的性质与化简；特殊角的三角函数值。

专题：计算题。

分析：熟记特殊角的锐角三角函数值：cos45°=，sin60°=，二次根式的化简：=2．

解答：解：原式=

==2． 点评：传统的小杂烩计算题，特殊角的三角函数值也是常考的．同时注意二次根式的化简．

18．（2010•丹东）进入防汛期后，某地对河堤进行了加固．该地驻军在河堤加固的工程中出色完成了任务．这是记者与驻军工程指挥官的一段对话：

通过这段对话，请你求出该地驻军原来每天加固的米数．

考点：分式方程的应用。

专题：工程问题。

分析：这是工程问题．

工作效率：设原来每天加固x 米，则提高效率后每天加固2x 米；

工作量：分别是600米，（4800﹣600）米； 工作时间表示为：

=9，建立方程．

解答：解：设原来每天加固x 米． 根据题意得：． ，共用9天完成．即：加固600米用的时间+加固（4800﹣600）米用的时间

去分母得：1200+4200=18x．（或18x=5400）

解得：x=300．

检验：当x=300时，2x ≠0（或分母不等于0）．

∴x=300是原方程的解．

答：该地驻军原来每天加固300米．

点评：找到合适的等量关系是解决问题的关键．把这个工程问题分成两个时间段：原效率完成600米，提高效率完成剩下的（4800﹣600）米，这样他们用的时间和是9天，就可以建立等量关系了．

19．（2010•丹东）某服装厂承揽一项生产夏凉小衫1600件的任务，计划用t 天完成．

（1）写出每天生产夏凉小衫w （件）与生产时间t （天）（t ＞4）之间的函数关系式；

（2）由于气温提前升高，商家与服装厂商议调整计划，决定提前4天交货，那么服装厂每天要多做多少件夏凉小衫才能完成任务？

考点：反比例函数的应用。

专题：应用题。

分析：（1）根据实际意义可列出夏凉小衫w （件）与生产时间t （天）（t ＞4）之间的函数关系式；

（2）根据题意列出t ﹣4对应的式子，与（1）中的式子相减即可．

；（4分） 解答：解：（1）由题意可得，函数关系式为：

（2）（8分） =

=．（或）．（9分）

答：每天多做（或）件夏凉小衫才能完成任务．（10分）

点评：主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，注意函数中自变量的不同．

20．（2010•丹东）如图，已知矩形ABCD 中，E 是AD 上的一点，F 是AB 上的一点，EF ⊥EC ，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD 的周长为32cm ，求AE 的长．

考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质。

分析：先证∠AEF=∠ECD ，再证Rt △AEF ≌Rt △DCE ，然后结合题目中已知的线段关系求解．

解答：解：在Rt △AEF 和Rt △DEC 中，EF ⊥CE ．

∴∠FEC=90°．

∴∠AEF+∠DEC=90°．

而∠ECD+∠DEC=90°．

∴∠AEF=∠ECD ．（3分）

又∵∠FAE=∠EDC=90°，EF=EC．

∴Rt △AEF ≌Rt △DCE （AAS ）．（5分）

∴AE=CD．（6分）

AD=AE+4．

∵矩形ABCD 的周长为32cm ．

∴2（AE+AE+4）=32．（8分）

解得，AE=6（cm ）．（10分）

点评：本题综合考查直角三角形和三角形全等的知识．

21．（2010•丹东）为了丰富校园文化生活，某校计划在午间校园广播台播放“百家讲坛”的部分内容．为了了解学生的喜好，抽取若干名学生进行问卷调查（每人只选一项内容），整理调查结果，绘制统计图如下：

请根据统计图提供的信息回答以下问题：

（1）抽取的学生数为 300 名；

（2）该校有3000名学生，估计喜欢收听易中天《品三国》的学生有 1060 名；

（3）估计该校女学生喜欢收听刘心武评《红楼梦》的约占全校学生的 15 %；

（4）你认为上述估计合理吗？理由是什么？

考点：条形统计图；用样本估计总体。

专题：图表型。

分析：（1）男女生所有人数之和；

（2）求出抽取的样本中收听品三国的学生所占的比例，乘3000即可求解；

（3）听红楼梦的女生人数除以总人数．

解答：解：（1）20+10+30+15+30+38+64+42+6+45=300人；

（2）×3000=1060人；

（3）样本中校女学生喜欢收听刘心武评《红楼梦》的约占样本容量的百分比为45÷300=15%，

则该校女学生喜欢收听刘心武评《红楼梦》的约占全校学生的15%；

（4）合理．理由中体现用样本估计总体即可．

点评：本题考查从统计表中获取信息的能力，及统计中用样本估计总体的思想．

22．（2010•铜仁地区）如图，已知在⊙O 中，AB=4，AC 是⊙O 的直径，AC ⊥BD 于F ，∠A=30度．

（1）求图中阴影部分的面积；

（2）若用阴影扇形OBD 围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径．

考点：扇形面积的计算；弧长的计算。

专题：几何综合题。

分析：（1）先利用同弧所对的圆周角等于所对的圆心角的一半，求出扇形的圆心角为120度，在Rt △ABF 中根据勾股定理可求出半径的长，利用扇形的面积公式即可求解；

（2）直接根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得圆锥的底面圆的半径．

解答：解：（1）法一：过O 作OE ⊥AB 于E ，则 AE=AB=2．

． 在Rt △AEO 中，∠BAC=30°，cos30°=

∴OA=

==4．

又∵OA=OB，

∴∠ABO=30度．

∴∠BOC=60度．

∵AC ⊥BD ，∴．

∴∠COD=∠BOC=60度．

∴∠BOD=120度．

∴S 阴影=

=．

法二：连接AD ．

∵AC ⊥BD ，AC 是直径，

∴AC 垂直平分BD ．

∴AB=AD，BF=FD，

∴∠BAD=2∠BAC=60°，

∴∠BOD=120度．

∵

BF=AB=2

AF=AB•sin60°=4222． ，sin60°=×， =6． ． ∴OB =BF+OF．即

∴OB=4．

∴S 阴影=S 圆=．

法三：连接BC ．

∵AC 为⊙O 的直径，

∴∠ABC=90度．

∵AB=4， ∴．

∵∠A=30°，AC ⊥BD ，

∴∠BOC=60°，∴∠BOD=120度．

∴S 阴影=π•OA =×4•π=22．

以下同法一；

（2）设圆锥的底面圆的半径为r ，则周长为2πr ， ∴

∴． ． 点评：本题主要考查了扇形的面积公式和圆锥的侧面展开图与底面周长之间的关系．本题还涉及到圆中的一些性质，如垂径定理等．

23．（2010•丹东）四张质地相同的卡片如图所示．将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上．

（1）求随机抽取一张卡片，恰好得到数字2的概率；

（2）小贝和小晶想用以上四张卡片做游戏，游戏规则见信息图．你认为这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图法说明理由，若认为不公平，请你修改规则，使游戏变得公平．

考点：游戏公平性；概率公式；列表法与树状图法。

分析：游戏是否公平，关键要看是否游戏双方各有50%赢的机会，本题中即小贝赢或小晶赢的概率是否相等，求出概率比较，即可得出结论．

解答：解：（1）P （抽到2）=

；（3分）

（5分）

从表（或树状图）中可以看出所有可能结果共有16种，符合条件的有10种，

∴P （两位数不超过32）=．（7分）

∴游戏不公平．（8分）

调整规则：

法一：将游戏规则中的32换成26～31（包括26和31）之间的任何一个数都能使游戏公平．（10分）

法二：游戏规则改为：抽到的两位数不超过32的得3分，抽到的两位数超过32的得5分；能使游戏公平．（10分） 法三：游戏规则改为：组成的两位数中，若个位数字是2，小贝胜，反之小晶胜．

（只要游戏规则调整正确即得2分）

点评：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

24．（2010•丹东）某办公用品销售商店推出两种优惠方法：①购1个书包，赠送1支水性笔；②购书包和水性笔一律按9折优惠．书包每个定价20元，水性笔每支定价5元．小丽和同学需买4个书包，水性笔若干支（不少于4支）．

（1）分别写出两种优惠方法购买费用y （元）与所买水性笔支数x （支）之间的函数关系式；

（2）对x 的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法购买比较便宜；

（3）小丽和同学需买这种书包4个和水性笔12支，请你设计怎样购买最经济．

考点：一次函数的应用。

专题：应用题。

分析：（1）由于①购1个书包，赠送1支水性笔，而需买4个书包，由此得到还要买（x ﹣4）支水性笔， 所以得到y 1=（x ﹣4）×5+20×4；又购书包和水性笔一律按9折优惠，所以得到y 2=（5x+20×4）×0.9；

（2）设y 1＞y 2，求出当x ＞24时选择2优惠；当4≤x ≤24时，选择1优惠．

（3）分别求出方案一与方案二所用的价钱，再相比较．

解答：解：（1）设按优惠方法①购买需用y 1元，按优惠方法②购买需用y 2元（1分）

y 1=（x ﹣4）×5+20×4=5x+60，y 2=（5x+20×4）×0.9=4.5x+72．（3分）

（2）设y 1＞y 2，即5x+60＞4.5x+72，∴x ＞24．当x ＞24整数时，选择优惠方法②．（5分）

设y 1=y2，∴当x=24时，选择优惠方法①，②均可．

∴当4≤x ＜24时，选择优惠方法①．（7分）

（3）因为需要购买4个书包和12支水性笔，而12＜24，

购买方案一：用优惠方法①购买，需5x+60=5×12+60=120元；（8分）

购买方案二：采用两种购买方式，用优惠方法①购买4个书包，

需要4×20=80元，同时获赠4支水性笔；

用优惠方法②购买8支水性笔，需要8×5×90%=36元．

共需80+36=116元．显然116＜120．（9分）

∴最佳购买方案是：用优惠方法①购买4个书包，获赠4支水性笔；再用优惠方法②购买8支水性笔．（10分） 点评：（1）利用一次函数求最值时，主要应用一次函数的性质；

（2）用一次函数解决实际问题是近年中考中的热点问题．

25．（2010•丹东）如图，已知等边三角形ABC 中，点D ，E ，F 分别为边AB ，AC ，BC 的中点，M 为直线BC 上一动点，△DMN 为等边三角形（点M 的位置改变时，△DMN 也随之整体移动）．

（1）如图1，当点M 在点B 左侧时，请你判断EN 与MF 有怎样的数量关系？点F 是否在直线NE 上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；

（2）如图2，当点M 在BC 上时，其它条件不变，（1）的结论中EN 与MF 的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；

（3）若点M 在点C 右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN 与MF 的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由．

考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质。

专题：动点型；探究型。

分析：（1）可通过全等三角形来证明EN 与MF 相等，如果连接DE ，DF ，那么DE 就是三角形ABC 的中位线，可得出三角形ADE ，BDF ，DFE ，FEC 都是等边三角形，那么∠DEF=∠DFM=60°，DE=DF，而∠MDF 和∠NDE 都是60°加上一个∠NDF ，因此三角形MDF 和EDN 就全等了（ASA ）．由此可得出EN=MF，∠DNE=∠DMB ，已知了BD=DF，DM=DN，因此三角形DBM ≌三角形DFN ，因此∠DFN=∠DBM=120°，因此∠DFN 是三角形DFE 的外角因此N ，F ，E 在同一直线上．

（2）（3）证法同（1）都要证明三角形MDF 和EDN 全等，证明过程中都要作出三角形的三条中位线，然后根据三条中位线分成的小等边三角形的边和角相等来得出两三角形全等的条件，因此结论仍然成立．

解答：解：（1）判断：EN 与MF 相等（或EN=MF），点F 在直线NE 上，

（2）成立．

连接DF ，NF ，证明△DBM 和△DFN 全等（SAS ），

∵△ABC 是等边三角形，

∴AB=AC=BC．

又∵D ，E ，F 是三边的中点，

∴EF=DF=BF．

∵∠BDM+∠MDF=60°，∠FDN+∠MDF=60°，

∴∠BDM=∠FDN ，

又∵DM=DN，∠ABM=∠DFN=60°，

∴△DBM ≌△DFN ，

∴BM=FN，∠DFN=∠FDB=60°，

∴NF ∥BD ，

∵EF ∥BD ，

∴F 在直线NE 上，

∵BF=EF，

∴MF=EN．

（3）如图③，MF 与EN 相等的结论仍然成立（或MF=NE成立）．

连接DF 、DE ，

由（2）知DE=DF，∠NDE=∠FDM ，DN=DM，

∴△DNE ≌△DMF ，

∴MF=NE．

点评：本题主要考查了等边三角形的性质/三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识点，根据等边三角形的性质以及三角形中位线定理得出全等三角形的条件是解题的关键．

26．（2010•丹东）如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH ，点H 的坐标为（﹣8，0），点N 的坐标为（﹣6，﹣4）．

（1）画出直角梯形OMNH 绕点O 旋转180°的图形OABC ，并写出顶点A ，B ，C 的坐标（点M 的对应点为A ，点N 的对应点为B ，点H 的对应点为C ）；

（2）求出过A ，B ，C 三点的抛物线的表达式；

（3）截取CE=OF=AD=m，且E ，F ，D 分别在线段CO ，OA ，AB 上，求四边形BEFD 的面积S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；面积S 是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；

（4）在（3）的情况下，四边形BEFD 是否存在邻边相等的情况？若存在，请直接写出此时m 的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．

考点：二次函数综合题。

专题：压轴题。

分析：（1）利用点关于中心对称性质，画出梯形OABC ，分别求出各点的坐标．

（2）因为已知A ，B ，C 三点的坐标，所以可用待定系数法求出过此三点抛物线的解析式；

（3）根据梯形及三角形的面积公式可求出四边形BEFD 的面积S 与m 之间的函数关系式，因为在梯形AOBE 中，OA 最短为4，故m 的取值范围为0＜m ＜4．根据S 与m 之间的关系式可知当m=4时，S 取最小值．又因为m=4时，原函数是无意义，故不存在m 值，使S 取得最小值．

（4）此题应分四种情况讨论：①BE=FE，②FD=DB，③DB=BE，④FE=FD．

解答：解：（1）利用中心对称性质，画出梯形OABC ．（1分）

∵A ，B ，C 三点与M ，N ，H 分别关于点O 中心对称，

∴A （0，4），B （6，4），C （8，0）（3分）

（写错一个点的坐标扣1分）．

（2）设过A ，B ，C 三点的抛物线关系式为y=ax+bx+c，

∵抛物线过点A （0，4），

∴c=4．则抛物线关系式为

2y=ax+bx+4．（4分）

将B （6，4），C （8，0）两点坐标代入关系式， 得（5分） 2

解得（6分）

所求抛物线关系式为：y=﹣x +x+4．（7分）

（3）∵OA=4，OC=8，

∴AF=4﹣m ，OE=8﹣m ．（8分）

∴S 四边形EFDB =S梯形ABCO ﹣S △ADF ﹣S △EOF ﹣S △BEC =OA （AB+OC）AF •AD OE •OF CE •OA 2=×4×（6+8）﹣m （4﹣m ）﹣m （8﹣m ）﹣×4m

=m﹣8m+28（0＜m ＜4）（10分）

2∵S=（m ﹣4）+12．

∴当m=4时，S 的取最小值．

又∵0＜m ＜4， 2

∴不存在m 值，使S 的取得最小值．（12分）

（4）①BE=FE，显然不成立；

②FD=DB；根据勾股定理列方程得（4﹣m ）+m=（6﹣m ），

解得m=﹣2+2或m=﹣2﹣2（负值舍去）．

③DB=BE；且BE ⊥CO 时，因为BE=4，则DB=4，m=AB﹣DB=6﹣4=2．

④FE=FD；

2222根据勾股定理列方程得（4﹣m ）+m=6+m，

2整理得m ﹣8m ﹣20=0，m=﹣2或m=10，

经检验均不合题意．

∴当m=﹣2+2时，DB=DF，当m=2时，BE=BD．（14分）

222

点评：本题结合梯形的性质考查二次函数的综合应用，注意某个图形无法解答时，常常放到其他图形中，利用图形间的“和差“关系求解．要充分利用图形特点，为解题提供思路．