2.2函数的表示方法2-函数的值域
2.2 函数的表示方法2—函数的值域
教学目的:
1.掌握求函数值域的基本方法(直接法、换元法、判别式法);掌握二次函数值域(最值)或二次函数在某一给定区间上的值域(最值)的求法. 2.培养观察分析、抽象概括能力和归纳总结能力; 教学重点:教学难点:授课类型:课时安排:1教 具教学过程:
一、复习引入:
函数的三要素是:定义域、值域和定义域到值域的对应法则;对应法则是函数的核心(它规定了x和y之间的某种关系),定义域是函数的重要组成部分(对应法则相同而定义域不同的映射就是两个不同的函数);定义域和对应法则一经函数的表示方法⑴解析法优点:一是简明、全面地概括了变量间的关系;二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数.
⑵列表法优点:不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值. ⑶图象法:优点:能直观形象地表示出自变量的变化,相应的函数值变化的趋势,这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质.
前面我们已经学习了函数定义域的求法和函数的表示法,今天我们来学习 二、讲解新课:
1.直接法:利用常见函数的值域来求 一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R,值域为R; 反比例函数y
k
(k0)的定义域为{x|x0},值域为{y|y0}; x
二次函数f(x)ax2bxc(a0)的定义域为R,
22
(4acb)(4acb)}. 当a>0时,值域为{y|y};当a
4a4a
例1.求下列函数的值域
① y=3x+2(-1x1) ②f(x)24x ③y
x ④yxx1解:①∵-1x1,∴-33x3,
∴-13x+25,即-1y5,∴值域是[-1,5] ②∵4x[0,) ∴f(x)[2,即函数f(x)2x的值域是 { y| y③y ∵
xx111
1 x1x1x1
1
0 ∴y1 x1
即函数的值域是 { y| yR且y1}(此法亦称分离常数法④当x>0,∴yx
121
)22, =(x
xx
121
)2)=-(x
xx
当x
∴值域是(,2][2,+).(此法也称为配方法) 函数yx
1
的图像为: x
2.二次函数比区间上的值域(最值): 例2 求下列函数的最大值、最小值与值域:
①yx24x1; ②yx24x1,x[3,4];
③yx24x1,x[0,1]; ④yx24x1,x[0,5];
解:∵yx24x1(x2)23,∴顶点为(2,-3),顶点横坐标为2. ①∵抛物线的开口向上,函数的定义域R,
∴x=2时,ymin=-3 ,无最大值;函数的值域是{y|y-3 }. ②∵顶点横坐标2[3,4], 当x=3时,y= -2;x=4时,y=1;
∴在[3,4]上,ymin=-2,ymax=1;值域为[-2,1].
③∵顶点横坐标2[0,1],当x=0时,y=1;x=1时,y=-2, ∴在[0,1]上,ymin=-2,ymax=1;值域为[-2,1].
④∵顶点横坐标2 [0,5],当x=0时,y=1;x=2时,y=-3, x=5时,y=6, ∴在[0,1]上,ymin=-3,ymax=6;值域为[-3,6]. 注:对于二次函数f(x)ax2bxc(a0), ⑴若定义域为R时,
2
b(4acb); ①当a>0时,则当x时,其最小值ymin2a4a2b(4acb). ②当a
⑵若定义域为x [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b]. ①若x0[a,b],则f(x0)是函数的最小值(a>0)时或最大值(a
②若x0[a,b],则[a,b]是在f(x)的单调区间内,只需比较f(a),f(b)的大小即可决定函数的最大(小)值.
注:①若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大(小)值;
②当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.
3.判别式法(△法):
判别式法一般用于分式函数,其分子或分母只能为二次式,解题中要注意二次项系数是否为0x25x6例3.求函数y2的值域
xx6
方法一:去分母得 (y1)x+(y+5)x6y6=0 ① 当 y1时 ∵xR ∴△=(y+5)+4(y1)×6(y+1)0 由此得 (5y+1)2
2
2
151检验 y 时 x2(代入①求根)
56
2()
5
∵2 定义域 { x| x2且 x3} ∴y再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y1
1 5
1x25x6
综上所述,函数y2的值域为 { y| y1且 y}
5xx6
方法二:把已知函数化为函数y 由此可得 y1
(x2)(x3)x36
(x2) 1
(x2)(x3)x3x3
∵ x=2时 y
11
即 y 55
1x25x6
∴函数y2的值域为 { y| y1且 y5xx6
说明:此法是利用方程思想来处理函数问题,一般称判别式法. 判别式法一般用于分式函数,其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否
为0的讨论.
4.换元法
例4.求函数y2x4x的值域 解:设 tx 则 t0 x=1t
代入得 yf (t)2(1t2)4t2t24t22(t1)24 ∵t0 ∴y4 5.分段函数
例5.求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.
2
2x1(x1)
解法1:将函数化为分段函数形式:y3(1x2),
2x1(x2)
画出它的图象(下图),由图象可知,函数的值域是{y|y3}.
解法2:∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1,2的距离之和,∴易见y的最小值是3,∴函数的值域是[3,+]. 如图
两法均采用“数形结合”,利用几何性质求解,称为几何法或图象法. 说明:以上是求函数值域常用的一些方法(观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等),随着知识的不断学习和经验的不断积累,还有如不等式法、三角代换法等.有的题可以用多种方法求解,有的题用某种方法求解比较简捷,同学们要通过不断实践,熟悉和掌握各种解法,并在解题中尽量采用简捷解法. 三、练习:
2
1 yx
1
9(x0); 2x
112
9(x)11,∴y11.
2
xx
2
解:∵x0,yx
另外,此题利用基本不等式解更简捷:yx22 y
1
92911 x2
5
2x24x3
2
∵2x-4x+3>0恒成立(为什么?), ∴函数的定义域为R,
∴原函数可化为2yx-4yx+3y-5=0,由判别式0, 即16y2-4×2y(3y-5)=-8y2+40y0(y0), 解得0y5,又∵y0, ∴0
注意:利用判别式法要考察两端点的值是否可以取到. 3 求函数的值域
①yx2x; ②y24xx2 解:①令u
2
2x0,则x2u2,
2
原式可化为y2uu(u)∵u0,∴y
12
2
9, 4
99,∴函数的值域是(-,]. 44
2
②解:令 t=4xx0 得 0x4
在此区间内 (4xx)max=4 ,(4xx)min =0 ∴函数y24xx2的值域是{ y| 0y2} 四、小结 本节课学习了以下内容:
求函数值域的基本方法(直接法、换元法、判别式法);二次函数值域(最值)或二次函数在某一给定区间上的值域(最值)的求法. 五、课后作业:课本第56习题2.2:5,6
2
2
x2x1
补充:求函数y=2值域
xx1
解:∵xx1(x)
2
12
2
33
0, 44
∴函数的定义域R,原式可化为y(x2x1)x2x1, 整理得(y1)x2(y1)xy10, 若y=1,即2x=0,则x=0; 若y1,∵xR,即有0, ∴(y1)2-4(y-1)20,解得综上:函数是值域是{y|六、板书设计(略) 七、课后记:
1
y3且 y1. 3
1
y3}. 3